Examkin

Soru

Zorluk: ZorAralarında Asal Sayılar
xx, yy ve zz pozitif tam sayılardır.
3x=4y3x = 4y
ve yy ile zz aralarında asal sayılardır.
x+y+z=35x + y + z = 35
olduğuna göre, z−yz - y farkının alabileceği en küçük değer kaçtır?
  1. A
    −9-9
  2. B
    55
  3. −5-5Cevap
  4. D
    1313
  5. E
    1515

Cevap

-5
Belirlenen olası durumlar arasında, y = 12 ve z = 7 değerleri için sayılar aralarında asaldır ve bu durum z - y farkının en küçük değeri olan -5 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği ortak bir değişken cinsinden ifade etme
x=4kx = 4k ve y=3ky = 3k (burada kk pozitif bir tam sayıdır)
3x=4y3x = 4y eşitliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı oranlarını bulmak için katsayılar çaprazlanır.
2
Değişkenleri toplam denklemine yerleştirme
4k+3k+z=35  ⟹  7k+z=354k + 3k + z = 35 \implies 7k + z = 35
x+y+z=35x + y + z = 35 denklemini tek bir bilinmeyen kk ve zz cinsinden ifade etmek için.
3
Pozitif tam sayı koşuluna göre olası kk ve zz değerlerini belirleme
z=35−7kz = 35 - 7k olup, z≥1z \ge 1 koşulu altında k<5k < 5 olmalıdır. O halde k∈{1,2,3,4}k \in \{1, 2, 3, 4\} olabilir.
zz sayısının pozitif tam sayı olması sınırlandırmasını kullanarak kk'nın alabileceği de��er aralığını bulmak için.
4
Her kk değeri için yy ve zz değerlerini hesaplayıp aralarında asallık durumunu test etme
k=1  ⟹  y=3,z=28k=1 \implies y=3, z=28 (EBOB(3, 28) = 1, aralarında asal). Fark: 28−3=2528 - 3 = 25.
k=2  ⟹  y=6,z=21k=2 \implies y=6, z=21 (EBOB(6, 21) = 3, aralarında asal değil).
k=3  ⟹  y=9,z=14k=3 \implies y=9, z=14 (EBOB(9, 14) = 1, aralarında asal). Fark: 14−9=514 - 9 = 5.
k=4  ⟹  y=12,z=7k=4 \implies y=12, z=7 (EBOB(12, 7) = 1, aralarında asal). Fark: 7−12=−57 - 12 = -5.
yy ile zz'nin aralarında asal olma koşulunu sağlayan geçerli durumları ve bu durumlar için z−yz - y farkını bulmak için.
5
Elde edilen farklar arasından en küçük olanı seçme
En küçük değer −5-5 olarak bulunur.
Soruda istenen en küçük fark değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki sayının aralarında asal olması, birden başka ortak pozitif bölenlerinin olmaması anlamına gelir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.

İpuçları

1
3x = 4y eşitliğinden yararlanarak x ve y sayılarını ortak bir k parametresi cinsinden yazın.
2
x + y + z = 35 denkleminde x ve y yerine k cinsinden değerlerini yazarak z'yi k cinsinden bulun ve z'nin pozitif tam sayı olma koşulunu kullanarak k'nın sınırlarını belirleyin.
3
Bulduğunuz k değerleri için y ve z sayı çiftlerini elde edin. Bu çiftlerin en büyük ortak böleninin (EBOB) 1 olup olmadığını kontrol ederek aralarında asal olanları belirleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, toplamları sabit olan ve aralarında asallık koşulu içeren çarpım en büyük/en küçük değer sorularını çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralarında Asal Sayılar

Bu konudan daha fazla soru