Examkin

Soru

Zorluk: OrtaHareket Problemleri

Dairesel bir pist üzerinde aynı noktadan, aynı anda ve sabit hızlarla koşmaya başlayan iki sporcudan hızlı olanının hızı V1V_1, yavaş olanının hızı ise V2V_2'dir. Bu sporcular aynı yönde koşarlarsa 6060 dakika sonra ilk kez yan yana geliyorlar. Zıt yönde koşarlarsa 1212 dakika sonra ilk kez karşılaşıyorlar.

Buna göre, hızlı olan sporcu pistin tamam��nı tek başına kaç dakikada koşar?

  1. 20Cevap
  2. B
    15
  3. C
    24
  4. D
    30
  5. E
    36

Cevap

Hızlı olan sporcu pistin tamamını tek başına 20 dakikada koşar.
Hızlı sporcunun hızı V1V_1 ve yavaş sporcunun hızı V2V_2 olmak üzere; aynı yöndeki hareketten x=60(V1−V2)x = 60(V_1 - V_2) ve zıt yöndeki hareketten x=12(V1+V2)x = 12(V_1 + V_2) denklemleri kurulur. Bu iki denklem birbirine eşitlendiğinde 60(V1−V2)=12(V1+V2)  ⟹  5(V1−V2)=V1+V2  ⟹  4V1=6V2  ⟹  V2=23V160(V_1 - V_2) = 12(V_1 + V_2) \implies 5(V_1 - V_2) = V_1 + V_2 \implies 4V_1 = 6V_2 \implies V_2 = \frac{2}{3}V_1 elde edilir. Pistin çevresi olan xx ifadesinde V2V_2 yerine bu değer yazılırsa x=12(V1+23V1)=20V1x = 12(V_1 + \frac{2}{3}V_1) = 20V_1 bulunur. Buradan da hızlı sporcunun pisti tek başına tamamlama süresi xV1=20\frac{x}{V_1} = 20 dakika olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşucuların pisti tamamlama sürelerini değişkenlerle ifade edelim.
Hızlı sporcunun pisti tamamlama süresi t1t_1, yavaş sporcunun süresi t2t_2 ve pistin çevresi xx olsun. Hızlar: V1=xt1V_1 = \frac{x}{t_1} ve V2=xt2V_2 = \frac{x}{t_2} olur.
Süreler ve hızlar arasında yol formülüne dayalı bir ilişki kurmak için.
2
Aynı yönde ve zıt yönde karşılaşma sürelerine göre denklemleri kuralım.
Aynı yönde koşarlarsa aralarındaki mesafe farkı 1 tur (xx) olmalıdır: x=(V1−V2)⋅60  ⟹  1t1−1t2=160x = (V_1 - V_2) \cdot 60 \implies \frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60}. Zıt yönde koşarlarsa toplam aldıkları yol 1 tur (xx) olmalıdır: x=(V1+V2)⋅12  ⟹  1t1+1t2=112x = (V_1 + V_2) \cdot 12 \implies \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}.
Hareket yönlerinin hızlar üzerindeki etkisini denkleme yansıtmak için.
3
Elde edilen denklem sistemini taraf tarafa toplayarak hızlı sporcunun süresini (t1t_1) bulalım.
(1t1−1t2)+(1t1+1t2)=160+112\left(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2}\right) + \left(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\right) = \frac{1}{60} + \frac{1}{12}
2t1=160+560=660=110\frac{2}{t_1} = \frac{1}{60} + \frac{5}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}
Taraf tarafa toplama yaparak t2t_2 terimini yok etmek ve t1t_1 değerine ulaşmak için.
4
2t1=110\frac{2}{t_1} = \frac{1}{10} denkleminden t1t_1 değerini çekelim.
t1=20t_1 = 20 dakika.
İçler dışlar çarpımı yaparak hızlı koşucunun süresini netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Dairesel pistlerde karşılaşma ve yakalama problemlerinde hızlar toplamı ve hızlar farkının yol ile ilişkisi.

İpuçları

1
Dairesel pistteki hareketlerde aynı yönde koşulduğunda hızlar farkı, zıt yönde koşulduğunda ise hızlar toplamı kullanılır.
2
Pistin çevresini xx kabul edip iki durum için de xx değerini veren denklemleri kurun ve bu denklemleri birbirine eşitleyerek V1V_1 ile V2V_2 arasındaki oranı bulun.
3
5(V1−V2)=V1+V25(V_1 - V_2) = V_1 + V_2 eşitliğinden V2=23V1V_2 = \frac{2}{3}V_1 bağıntısını elde ettikten sonra, bu oranı zıt yönde hareket formülünde yerine koyarak pistin çevresinin V1V_1 cinsinden değerini bulabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, koşucuların hızlarının oranını doğrudan soran veya pistin çevresinin belirli bir uzunlukta verildiği problemleri çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Süreler üzerinden işçi problemi mantığıyla da çözülebilir. Hızlı koşucunun bitirme süresi t1t_1, yavaş koşucunun bitirme süresi t2t_2 olsun. Aynı yönde hareket ettiklerinde birim zamandaki tur farkı 1t1−1t2=160\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} olur. Zıt yönde hareket ettiklerinde ise birim zamandaki tur toplamı 1t1+1t2=112\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} olur. Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak 2t1=160+112  ⟹  2t1=660=110  ⟹  t1=20\frac{2}{t_1} = \frac{1}{60} + \frac{1}{12} \implies \frac{2}{t_1} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \implies t_1 = 20 dakika bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru