Examkin

Soru

Zorluk: ZorNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, üçüncü bölgede bulunan bir A(a,−3)A(a, -3) noktası ile birinci bölgede bulunan bir B(8,b)B(8, b) noktası veriliyor.

AA ve BB noktalarının orta noktası yy-ekseni üzerinde olup bu iki nokta arasındaki uzaklık 2020 birimdir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımının değeri kaçtır?

  1. A
    -120
  2. B
    -8
  3. -72Cevap
  4. D
    72
  5. E
    120

Cevap

İki noktanın koordinat değerleri belirlendikten sonra yapılan çarpım işleminin sonucu olan -72 sayısı doğru cevaptır.
Orta noktanın y-ekseni üzerinde olması apsisinin 0 olmasını gerektirir, buradan a = -8 bulunur. A ve B noktaları arasındaki uzaklık formülüyle (20 birim) kurulan denklem çözüldüğünde ve B noktasının birinci bölgede olmasından kaynaklı b > 0 şartı uygulandığında b = 9 bulunur. Bu iki değerin çarpımı ise -72 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Orta noktanın y-ekseni üzerinde olma özelliğini kullanarak a değerini bulma
a=−8a = -8 elde edilir.
Bir noktanın y-ekseni üzerinde olması için apsisinin sıfır olması gerekir. A(a,−3)A(a, -3) ve B(8,b)B(8, b) noktalarının orta noktasının apsisi a+82\frac{a + 8}{2} formülüyle hesaplanır. Bu değerin sıfır olması gerektiğinden a+8=0  ⟹  a=−8a + 8 = 0 \implies a = -8 bulunur. Bulunan bu değer, AA noktasının üçüncü bölgede yer alması (a<0a < 0) şartıyla da uyumludur.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak b değerini bulma
b=9b = 9 elde edilir.
A(−8,−3)A(-8, -3) ve B(8,b)B(8, b) noktaları arasındaki uzaklık 2020 birim olarak verilmiştir. Uzaklık formülü uygulandığında: (8−(−8))2+(b−(−3))2=20  ⟹  162+(b+3)2=202  ⟹  256+(b+3)2=400  ⟹  (b+3)2=144\sqrt{(8 - (-8))^2 + (b - (-3))^2} = 20 \implies 16^2 + (b + 3)^2 = 20^2 \implies 256 + (b + 3)^2 = 400 \implies (b + 3)^2 = 144 elde edilir. Buradan b+3=12b + 3 = 12 veya b+3=−12b + 3 = -12 olur. B(8,b)B(8, b) noktası birinci bölgede yer aldığından ordinatı pozitif olmalıdır (b>0b > 0). Dolayısıyla b+3=12  ⟹  b=9b + 3 = 12 \implies b = 9 olarak seçilir.
3
Bulunan a ve b değerlerinin çarpımını hesaplama
a⋅b=−72a \cdot b = -72 olarak bulunur.
Soruda bizden istenen a⋅ba \cdot b çarpımıdır. a=−8a = -8 ve b=9b = 9 değerleri çarpıldığında −8⋅9=−72-8 \cdot 9 = -72 sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Noktanın Analitik İncelenmesi ve İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Analitik İncelenmesi

Bu konudan daha fazla soru