Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olan ve 4x+3y−7=04x + 3y - 7 = 0 doğrusu üzerinde bulunan iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A
    2
  2. B
    525\sqrt{2}
  3. 10Cevap
  4. D
    626\sqrt{2}
  5. E
    14

Cevap

İki nokta arasındaki uzaklık 10 birimdir.
Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri eşittir. Bu durum y=xy=x ve y=−xy=-x doğrularını tanımlar. Verilen doğrunun bu doğrularla kesim noktaları sırasıyla (1,1)(1, 1) ve (7,−7)(7, -7) olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden sonuç 10 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eksenlere eşit uzaklıkta olan noktaların koordinat ilişkisini belirleme.
∣x∣=∣y∣|x| = |y| olduğundan noktalar y=xy = x veya y=−xy = -x doğruları üzerindedir.
Koordinat eksenlerine eşit uzaklıktaki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri birbirine eşittir.
2
y=xy = x durumu için doğru üzerindeki noktayı bulma.
4x+3x−7=0⇒7x=7⇒x=14x + 3x - 7 = 0 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1 ve y=1y = 1 olup nokta P1(1,1)P_1(1, 1) olarak bulunur.
Noktanın verilen doğru üzerinde olması için doğrunun denklemini sağlaması gerekir.
3
y=−xy = -x durumu için doğru üzerindeki noktayı bulma.
4x+3(−x)−7=0⇒4x−3x−7=0⇒x=74x + 3(-x) - 7 = 0 \Rightarrow 4x - 3x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7 ve y=−7y = -7 olup nokta P2(7,−7)P_2(7, -7) olarak bulunur.
İkinci olası durum olan y=−xy = -x ilişkisini sağlayan doğru üzerindeki noktayı tespit etmek gerekir.
4
Bulunan iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplama.
d=(7−1)2+(−7−1)2=62+(−8)2=10d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-7 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10 birim.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü

İpuçları

1
Koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olan noktaların koordinatları mutlak değerce birbirine eşittir.
2
Apsis ve ordinat arasındaki bu ilişkiyi y=xy = x ve y=−xy = -x olmak üzere iki farklı durum olarak ele alın ve her iki durumu da doğru denkleminde yerine yazın.
3
Elde ettiğiniz P1(1,1)P_1(1, 1) ve P2(7,−7)P_2(7, -7) noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları toplamı veya farkı verilen bir doğrunun sınırladığı bölgenin alanını hesaplayan soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğrunun açıortay doğruları olan y=xy = x ve y=−xy = -x doğruları ile kesişim noktaları çizilerek koordinat düzleminde bir dik üçgen oluşturulabilir. Bu dik üçgenin kenarları 6 birim ve 8 birim olduğundan, hipotenüs (noktalar arasındaki uzaklık) 3-4-5 üçgeninin katı olan 6-8-10 üçgeninden doğrudan 10 birim olarak bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru