Analitik Geometri Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Analitik düzlemde, $A(2, 3)$ ve $B(6, -1)$ noktalarından geçen $d_1$ doğrusuna, bu iki noktanın orta noktasında dik olan $d_2$ doğrusu çiziliyor. Buna göre, $d_2$ doğrusunun koordinat eksenleriyle sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{9}{2}

9

\frac{25}{2}

8

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{9}{2}$

Cevap

Doğrunun koordinat eksenleriyle sınırladığı kapalı bölgenin alanı

\frac{9}{2}

birimkaredir.

Verilen iki noktanın orta noktası

(4, 1)

olarak bulunur. İki noktadan geçen doğrunun eğimi

-1

olduğundan, buna dik olan doğrunun eğimi

1

'dir. Bu nokta ve eğimle yazılan doğru denklemi

y = x - 3

olur. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar

(3, 0)

ve

(0, -3)

olduğundan, eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alanı

\frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2}

birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

A(2, 3)

ve

B(6, -1)

noktalarının orta noktasını (

M

) hesaplayın.

M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (4, 1)

d_2

doğrusunun geçtiği noktayı belirlemek için orta nokta formülü uygulanır.

2

A

ve

B

noktalarından geçen

d_1

doğrusunun eğimini (

m_1

) bulun.

m_1 = \frac{-1-3}{6-2} = \frac{-4}{4} = -1

Dik doğruların eğimleri çarpımı ilişkisini kullanabilmek için önce verilen noktaların eğimi bulunur.

3

d_2

doğrusunun eğimini (

m_2

) diklik şartını kullanarak bulun.

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow (-1) \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = 1

Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı

-1

'dir.

4

M(4, 1)

noktasından geçen ve eğimi

m_2 = 1

olan

d_2

doğrusunun denklemini yazın.

y - 1 = 1 \cdot (x - 4) \Rightarrow y = x - 3

Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılır.

5

d_2

doğrusunun eksenleri kestiği noktaları belirleyin ve alanı hesaplayın.

x=0

için

y=-3

ve

y=0

için

x=3

. Alan

= \frac{1}{2} \cdot |3| \cdot |-3| = \frac{9}{2}

Eksenlerle sınırlı bölge, kenarları eksen kesim noktalarının mutlak değerleri olan bir dik üçgendir.

Anahtar Kavram

İki noktası bilinen doğrunun eğimi, orta nokta koordinatları, dik doğruların eğimleri arasındaki ilişki ve doğrunun eksenlerle oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı.

Soru 2Soru →

Dik koordinat düzleminde,

y = 2x - 4

y = -x + 5

doğruları ile

y

-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

\frac{27}{2}

\frac{3}{2}

3

27

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{27}{2}$

Cevap

Doğrular ile y-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı \frac{27}{2} birimkaredir.

Verilen doğruların ortak çözümü yapılarak kesişim noktasının koordinatları

(3, 2)

olarak bulunur. Bu noktanın apsisi (

3

), y-eksenini taban kabul eden üçgenin yüksekliğidir. Doğruların y-eksenini kestiği noktalar olan

(0, -4)

ve

(0, 5)

arasındaki uzaklık ise taban uzunluğu olan

9

birimi verir. Buradan üçgenin alanı

\frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2}

birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların kesişim noktasını bulmak üzere ortak çözüm yapın.

2x - 4 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3

bulunur. Bu değer kesişim noktasının apsisidir ve y-eksenine olan dik uzaklığı (yüksekliği) temsil eder. Herhangi bir denklemde yerine yazıldığında

y = 2(3) - 4 = 2

elde edilir. Kesişim noktası

(3, 2)

'dir.

Bölgeyi sınırlayan köşelerden birini ve bu köşeden y-eksenine indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulmak için ortak çözüm gereklidir.

2

Doğruların y-eksenini kestiği noktaları belirlemek için denklemlerde

x = 0

yazın.

y = 2x - 4

doğrusu için

x = 0 \Rightarrow y = -4

olur. Nokta:

(0, -4)

.

y = -x + 5

doğrusu için

x = 0 \Rightarrow y = 5

olur. Nokta:

(0, 5)

.

Üçgenin y-ekseni üzerinde kalan tabanının uç noktalarını belirlemek için eksen kesim noktaları bulunmalıdır.

3

y-ekseni üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplayarak taban uzunluğunu bulun.

Taban uzunluğu (

b

) =

|5 - (-4)| = 9

birimdir.

Üçgenin alanını hesaplayabilmek için y-ekseni üzerindeki taban kenarının uzunluğuna ihtiyaç duyulur.

4

Taban ve yükseklik değerlerini üçgenin alan formülünde yerine yazın.

Alan = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2}

birimkare bulunur.

Yüksekliği ve taban uzunluğu bilinen üçgenin alan formülü uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde doğruların kesim noktalarının bulunması ve eksenlerle sınırladığı kapalı bölgenin alan hesabı.

İpuçları

1

Bölgeyi sınırlayan üçgenin köşelerinden birini bulmak için öncelikle iki doğrunun kesişim noktasını ortak çözüm yaparak bulun.

2

Kesişim noktasının y-eksenine olan dik uzaklığı (yani apsis değeri) oluşturacağınız üçgenin yüksekliğini temsil eder.

3

Doğruların y-eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemlerde

x=0

yazın. Bu noktaların arasındaki mesafe üçgenin y-ekseni üzerindeki taban uzunluğunu verir.

Daha Fazla Pratik

Bu soruyu pekiştirmek için aynı doğruların x-ekseni ile sınırladığı bölgenin alanını hesaplamayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alan formülü kullanılabilir. Üçgenin köşeleri

(0, 5)

,

(0, -4)

ve

(3, 2)

noktalarıdır. Bu noktalar matris/determinant biçiminde yazılarak alan formülü uygulandığında:

Alan = \frac{1}{2} |0(-4 - 2) + 0(2 - 5) + 3(5 - (-4))| = \frac{1}{2} |27| = \frac{27}{2}

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Analitik düzlemde $A(2, -1)$ ve $B(5, 8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

-3

\frac{7}{3}

3

\frac{1}{3}

1

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğrunun eğimi 3'tür.

Verilen iki noktadan geçen doğrunun eğimi, y-koordinatlarının farkının x-koordinatlarının farkına oranı ile bulunur. Formüldeki işaretlere dikkat edilerek

m = \frac{8 - (-1)}{5 - 2} = 3

hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrunun eğim formülünü belirleme.

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

formülü kullanılacaktır.

İki noktası bilinen doğrunun eğimini hesaplamak için bu formül gereklidir.

2

Verilen noktaları formülde yerine yazarak hesaplama yapma.

m = \frac{8 - (-1)}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3

olarak bulunur.

A(2, -1)

ve

B(5, 8)

noktaları için koordinat farkları oranlanır.

Anahtar Kavram

İki noktadan geçen doğrunun eğimi

Soru 4Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = x + 2$ doğrusu üzerinde bulunan ve $A(1, 5)$ ile $B(5, 3)$ noktalarına eşit uzaklıkta olan noktanın apsisi kaçtır?

-1

3

4

6

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Apsis değeri 4 olan nokta

Doğru üzerindeki bir noktanın genel koordinatları

(x, x+2)

biçimindedir. Bu noktanın verilen iki noktaya olan uzaklıklarının karesi birbirine eşitlendiğinde elde edilen

2x^2 - 8x + 10 = 2x^2 - 12x + 26

denkleminin çözümü

x = 4

olarak bulunur. Bu değer noktanın apsisidir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğru üzerindeki noktanın koordinatlarını değişken cinsinden ifade etme.

Aranan nokta

P(x, y)

olsun. Bu nokta

y = x + 2

doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları

P(x, x+2)

şeklinde yazılır.

Noktanın doğru denklemini sağlaması gerektiği için ordinatı apsis cinsinden ifade ederiz.

2

P(x, x+2)

noktasının

A(1, 5)

ve

B(5, 3)

noktalarına olan uzaklıklarının karesini yazma.

PA^2 = (x - 1)^2 + (x + 2 - 5)^2 = (x - 1)^2 + (x - 3)^2 = 2x^2 - 8x + 10

ve

PB^2 = (x - 5)^2 + (x + 2 - 3)^2 = (x - 5)^2 + (x - 1)^2 = 2x^2 - 12x + 26

elde edilir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak eşit uzaklık ilişkisini cebirsel olarak kurmak.

3

Uzaklıkların karelerini birbirine eşitleyerek bilinmeyen

x

değerini bulma.

2x^2 - 8x + 10 = 2x^2 - 12x + 26 \Rightarrow -8x + 10 = -12x + 26 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = 4

bulunur.

Elde edilen denklemi çözerek noktanın apsisini bulmak.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık ve doğru üzerindeki noktaların koordinat ilişkisi

Soru 5Soru →

Analitik düzlemde, $A(2, 4)$ noktasından geçen ve $3x - 4y + 8 = 0$ doğrusuna dik olan doğrunun $y$ -eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

\frac{5}{2}

\frac{4}{3}

\frac{20}{3}

4

-\frac{8}{3}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{20}{3}$

Cevap

Dik doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatı

\frac{20}{3}

'tür.

Verilen doğrunun eğimi

\frac{3}{4}

'tür. Bu doğruya dik olan doğrunun eğimi ise

-\frac{4}{3}

olur.

A(2, 4)

noktasından geçen bu doğrunun denklemi

y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)

olarak yazılır. Doğrunun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için

x = 0

koyduğumuzda

y = \frac{20}{3}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen

3x - 4y + 8 = 0

doğrusunun eğimini bulalım.

Doğru denklemi düzenlendiğinde

y = \frac{3}{4}x + 2

elde edilir, buradan eğim

m_1 = \frac{3}{4}

olarak bulunur.

İki doğrunun diklik ilişkisini kurabilmek için öncelikle verilen doğrunun eğimini bilmemiz gerekir.

2

Aranan doğrunun eğimini diklik şartını kullanarak hesaplayalım.

Dik doğruların eğimleri çarpımı

-1

olduğundan,

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \frac{3}{4} \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -\frac{4}{3}

olur.

İki doğrunun birbirine dik olması, eğimleri çarpımının

-1

olmasını gerektirir.

3

A(2, 4)

noktasından geçen ve eğimi

m_2 = -\frac{4}{3}

olan doğrunun denklemini yazalım ve y-eksenini kestiği noktayı bulalım.

Doğru denklemi

y - 4 = -\frac{4}{3}(x - 2)

şeklindedir. y-eksenini kestiği noktayı bulmak için

x = 0

yazılırsa,

y - 4 = -\frac{4}{3}(0 - 2) \Rightarrow y - 4 = \frac{8}{3} \Rightarrow y = \frac{20}{3}

bulunur.

Bir doğrunun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için denklemde x yerine 0 yazılır.

Anahtar Kavram

Dik doğruların eğimleri ilişkisi ve doğru denklemi yazma

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijinde olan $OABC$ karesinin ardışık $A$ ve $C$ köşeleri sırasıyla $y = -\frac{1}{2}x$ ve $y = 2x$ doğruları üzerindedir. Bu karenin alanı $20\text{ birimkare}$ ve $B$ köşesi koordinat düzleminin birinci bölgesinde olduğuna göre, $B$ noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

4

6

8

10

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8

Karenin ardışık kenarlarının dikliği ve eşit uzunlukta olması prensipleri kullanılarak köşe noktaları parametrik olarak belirlenir. Alan formülü ile parametrelerin mutlak değerleri bulunur. B noktasının birinci bölgede bulunması koşulu (

x > 0, y > 0

) kullanılarak doğru işaretler seçilir ve koordinatları (6, 2) olarak bulunur. Bu koordinatların toplamı 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların dikliğini kontrol etme

y = 2x

doğrusunun eğimi

m_1 = 2

ve

y = -\frac{1}{2}x

doğrusunun eğimi

m_2 = -\frac{1}{2}

'dir. Eğimlerin çarpımı

m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

olduğundan bu iki doğru orijinde birbirine diktir. Bu durum karenin diklik şartını sağlar.

Karenin orijinde birleşen ardışık kenarlarının birbirine dik olduğunu doğrulamak için.

2

Köşe koordinatlarını parametrik olarak yazma

C

noktası

y = 2x

üzerinde olduğundan

C(c, 2c)

şeklinde,

A

noktası ise

y = -\frac{1}{2}x

üzerinde olduğundan

A(2a, -a)

şeklinde ifade edilir.

Doğrular üzerindeki noktaları tek bilinmeyen cinsinden temsil etmek için.

3

Alan bilgisini kullanarak parametrelerin değerlerini bulma

Karenin alanı

20\text{ birimkare}

olduğuna göre kenar uzunluklarının karesi

OA^2 = OC^2 = 20

olmalıdır. Buradan

OC^2 = c^2 + (2c)^2 = 5c^2 = 20 \implies c^2 = 4 \implies c = \pm 2

bulunur. Benzer şekilde,

OA^2 = (2a)^2 + (-a)^2 = 5a^2 = 20 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2

elde edilir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle koordinat bileşenlerini hesaplamak için.

4

B noktasının koordinatlarını bulma ve bölge kontrolü yapma

Kare özelliğinden

\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}

olduğundan

B(2a+c, -a+2c)

olur.

B

noktasının birinci bölgede olması için her iki koordinatı da pozitif olmalıdır.

a = 2

ve

c = 2

seçildiğinde

B(2(2)+2, -2+2(2)) = B(6, 2)

noktası elde edilir ve bu nokta birinci bölgededir. Diğer işaret kombinasyonları

B

noktasını farklı bölgelere taşır.

Birinci bölge şartını (

x > 0, y > 0

) sağlayan doğru parametre işaretlerini belirlemek için.

5

B noktasının koordinatları toplamını hesaplama

B(6, 2)

noktasının koordinatları toplamı

6 + 2 = 8

olarak bulunur.

Soru kökündeki nihai talebe ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde doğruların dikliği, iki nokta arasındaki uzaklık ve karenin köşe koordinatları ilişkisi.

Soru 7Soru →

Dik koordinat düzleminde, $A(1, 5)$ noktasının $y = x + 1$ doğrusuna göre simetriği $B$ noktası, $y = -x + 5$ doğrusuna göre simetriği ise $C$ noktasıdır. Buna göre; $B$ ve $C$ noktalarından geçen doğrunun koordinat eksenleriyle oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

32

27

16

4

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $16$

Cevap

Doğrunun eksenlerle oluşturduğu kapalı bölgenin alanı

16

birimkaredir.

Doğru cevap olan

16

değeri, simetrik noktalar olan

B(4, 2)

ve

C(0, 4)

noktalarından geçen

x + 2y = 8

doğrunun eksenleri kestiği noktaların

(8, 0)

ve

(0, 4)

olmasıyla elde edilir. Bu eksenlerle oluşan dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısı olup,

\frac{8 \times 4}{2} = 16

birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

A(1, 5)

noktasının

y = x + 1

do��rusuna göre simetriği olan

B

noktasının koordinatlarını bulma.

B(4, 2)

Bir

(x_0, y_0)

noktasının

y = x + k

doğrusuna göre simetriği

(y_0 - k, x_0 + k)

kuralıyla bulunabilir. Burada

k = 1

olduğundan, simetrik nokta

B(5 - 1, 1 + 1) = B(4, 2)

olur.

2

A(1, 5)

noktasının

y = -x + 5

doğrusuna göre simetriği olan

C

noktasının koordinatlarını bulma.

C(0, 4)

Bir

(x_0, y_0)

noktasının

y = -x + k

doğrusuna göre simetriği

(k - y_0, k - x_0)

kuralıyla bulunabilir. Burada

k = 5

olduğundan, simetrik nokta

C(5 - 5, 5 - 1) = C(0, 4)

olur.

3

B(4, 2)

ve

C(0, 4)

noktalarından geçen doğrunun denklemini yazma.

x + 2y = 8

İki noktası bilinen doğrunun eğimi

m = \frac{4 - 2}{0 - 4} = -\frac{1}{2}

olarak bulunur. Eğimi

-\frac{1}{2}

olan ve

C(0, 4)

noktasından geçen doğrunun denklemi

y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 0)

düzenlendiğinde

x + 2y = 8

elde edilir.

4

x + 2y = 8

doğrusunun eksenleri kestiği noktaları belirleme.

x

-eksenini kestiği nokta

(8, 0)

ve

y

-eksenini kestiği nokta

(0, 4)

Doğru denkleminde

y = 0

yazılarak

x

-eksenini kestiği nokta

x = 8

,

x = 0

yazılarak

y

-eksenini kestiği nokta

y = 4

bulunur.

5

Eksenlerle doğru arasında kalan üçgensel bölgenin alanını hesaplama.

16

Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin dik kenar uzunlukları

8

ve

4

birimdir. Alan =

\frac{8 \times 4}{2} = 16

birimkare olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir noktanın birinci ve ikinci açıortay doğrularına paralel doğrulara göre simetrisi, iki noktadan geçen doğrunun denklemi ve doğrunun eksenlerle sınırladığı kapalı bölgenin alan hesabı.

Soru 8Soru →

Dik koordinat düzleminde, uç noktaları $A(-3, 8)$ ve $B(5, -2)$ olan $AB$ doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

2

6

4

7

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Orta noktanın koordinatları toplamı 4'tür.

Orta noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Apsis

x_0 = \frac{-3+5}{2} = 1

ve ordinat

y_0 = \frac{8+(-2)}{2} = 3

olarak elde edilir. Bu koordinatların toplamı ise

1+3=4

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Orta noktanın apsisini (

x_0

) bulmak için uç noktaların apsisleri toplanıp ikiye bölünür.

x_0 = \frac{-3 + 5}{2} = 1

Orta noktanın apsisi, uç noktaların apsislerinin aritmetik ortalamasıdır.

2

Orta noktanın ordinatını (

y_0

) bulmak için uç noktaların ordinatları toplanıp ikiye bölünür.

y_0 = \frac{8 + (-2)}{2} = 3

Orta noktanın ordinatı, uç noktaların ordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

3

Bulunan koordinat değerleri toplanarak sonuç elde edilir.

1 + 3 = 4

Soruda orta noktanın koordinatlarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde iki noktanın orta noktasının koordinatlarını bulma.

Soru 9Soru →

Dik koordinat düzleminde, köşeleri $A(0, 12)$ , $B(9, 0)$ ve $O(0, 0)$ noktaları olan $OAB$ üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin iç açıortaylarının kesim noktas��nın koordinatları toplamı kaçtır?

3

7

6

8

12

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İç açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamı 6'dır.

Doğru cevap olan 6 değeri, üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı

r = 3

birim olarak bulunduktan sonra merkez noktasının

I(3, 3)

olması ve bu koordinatların toplamının (

3 + 3 = 6

) alınmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin kenar uzunluklarını belirlemek.

Dik kenarlar

OA = 12

birim ve

OB = 9

birimdir. Hipotenüs uzunluğu Pisagor bağıntısı yardımıyla

AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15

birim olarak hesaplanır.

İç teğet çemberinin yarıçapını bulabilmek için üçgenin tüm kenar uzunluklarının bilinmesi gerekir.

2

İç teğet çemberinin yarıçapını (

r

) hesaplamak.

Dik üçgende iç teğet çemberinin yarıçapı

r = \frac{a+b-c}{2}

formülü ile hesaplanır. Buradan

r = \frac{9+12-15}{2} = 3

birim bulunur.

Köşeleri eksenler üzerinde ve dik köşesi orijinde olan dik üçgenlerde, iç teğet çemberin merkezi birinci bölgede yer alır ve koordinatları

I(r, r)

olur.

3

Açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamını bulmak.

Merkez noktası

I(3, 3)

olduğundan koordinatları toplamı

3 + 3 = 6

olur.

Soruda bizden açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir dik üçgende iç teğet çemberinin merkezi (iç açıortayların kesim noktası) koordinatlarının geometrik özellikler yardımıyla bulunması.

İpuçları

1

Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası, o üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

2

Köşesi orijinde olan dik üçgenin dik kenarları koordinat eksenleri üzerindedir. İç teğet çemberinin merkezi

I(r, r)

biçimindedir. Burada

r

iç teğet çemberin yarıçapıdır.

3

9-12-15 dik üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı

r = \frac{9 + 12 - 15}{2}

formülü ile bulunabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, köşeleri koordinat eksenleri üzerinde olan farklı dik üçgenler için iç teğet çember merkezinin koordinatlarını bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İç teğet çemberinin yarıçapını bulmak için alan formülü de kullanılabilir:

\text{Alan} = u \cdot r

. Burada

u

üçgenin yarı çevresidir. Üçgenin alanı

\frac{9 \cdot 12}{2} = 54

, yarı çevresi ise

u = \frac{9+12+15}{2} = 18

'dir.

54 = 18 \cdot r \implies r = 3

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Dik koordinat düzleminde, birinci bölgede bulunan $A(2, 6)$ noktasından geçen bir $d$ doğrusu, koordinat eksenleri ile birinci bölgede alanı $25$ birimkare olan dik bir üçgen oluşturmaktadır.

Buna göre, bu $d$ doğrusunun eğimi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

-3

2

-2

-\frac{1}{2}

-\frac{5}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-2$

Cevap

Doğrunun eğimi

-2

olabilir.

Doğrunun eksenleri kestiği noktalar

a

ve

b

olmak üzere, alan formülünden

a \cdot b = 50

ve

A(2,6)

noktasının doğru denkleminde yerine yazılmasıyla

b + 3a = 25

denklemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümünden elde edilen iki olası

a

değerinden biri

5

, buna karşılık gelen

b

değeri ise

10

'dur. Buradan doğrunun eğimi

m = -\frac{b}{a} = -\frac{10}{5} = -2

olarak bulunur. Bu değer seçeneklerde yer alan

-2

ifadesi ile tam olarak uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları tanımlayalım.

Doğrunun eksenleri kestiği noktalar

(a, 0)

ve

(0, b)

olsun. Eksenlerle birinci bölgede oluşturulan üçgen dik üçgen olduğundan

a > 0

ve

b > 0

olmalıdır.

Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemini yazmak için koordinatları değişken olarak belirleriz.

2

Doğru denklemini eksenleri kestiği noktalar cinsinden yazalım ve verilen noktanın koordinatlarını yerine koyalım.

Doğru denklemi

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

şeklindedir. Doğru

A(2, 6)

noktasından geçtiği için bu koordinatları yerine yazdığımızda

\frac{2}{a} + \frac{6}{b} = 1

elde ederiz.

Verilen noktanın doğrunun üzerinde olması, koordinatlarının doğru denklemini sağlamasını gerektirir.

3

Üçgenin alan formülünü kullanarak

a

ve

b

değişkenleri arasındaki ilişkiyi bulalım ve denklem sistemini kuralım.

Eksenlerle oluşturulan dik üçgenin alanı

\frac{a \cdot b}{2} = 25 \implies a \cdot b = 50 \implies b = \frac{50}{a}

olur. Bu ifadeyi birinci adımda bulduğumuz denklemde yerine yazarsak:

\frac{2}{a} + \frac{6a}{50} = 1 \implies \frac{2}{a} + \frac{3a}{25} = 1

elde edilir.

İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli bir denkleme dönüştürmek için yerine koyma metodunu uygularız.

4

Elde edilen rasyonel denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem elde edelim ve çarpanlarına ayıralım.

Payda eşitleyip düzenlediğimizde

50 + 3a^2 = 25a \implies 3a^2 - 25a + 50 = 0

olur. Çarpanlara ayırdığımızda

(3a - 10)(a - 5) = 0

elde edilir. Buradan

a = 5

veya

a = \frac{10}{3}

bulunur.

İkinci derece denklemin kökleri, doğrunun

x

-eksenini kesebileceği olası noktaları verir.

5

Bulunan

a

değerlerine karşılık gelen

b

değerlerini bulalım ve doğrunun eğimini hesaplayalım.

a = 5

için

b = 10

olur. Bu durumda eğim

m = -\frac{b}{a} = -\frac{10}{5} = -2

elde edilir.

a = \frac{10}{3}

için

b = 15

olur. Bu durumda eğim

m = -\frac{15}{10/3} = -\frac{9}{2}

elde edilir. Seçeneklerde

-2

değeri bulunduğundan doğru cevap bu değerdir.

Eksenleri kestiği noktaları bilinen bir doğrunun eğimini bulmak için eğim formülünü uygularız.

Anahtar Kavram

Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemi ve Eğimi

İpuçları

1

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları

(a, 0)

ve

(0, b)

olarak belirleyip, eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alan formülünü yazın.

2

Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğru denklemini yazın ve

A(2, 6)

noktasının bu denklemi sağlaması gerektiğini kullanarak bir denklem sistemi oluşturun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantık kullanarak, doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanını minimum yapan doğrunun eğimini türev yardımıyla veya aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği kullanarak bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğrunun eğimine

m

diyelim.

A(2, 6)

noktasından geçen ve eğimi

m

olan doğrunun denklemi

y - 6 = m(x - 2)

şeklindedir. Bu doğrunun

x

ve

y

eksenlerini kestiği noktaları

m

cinsinden bulabiliriz.

x = 0

için

y = 6 - 2m

ve

y = 0

için

x = 2 - \frac{6}{m}

olur. Eksenlerle sınırlanan bölgenin alanı

\frac{1}{2} \cdot \left(2 - \frac{6}{m}\right) \cdot (6 - 2m) = 25

olur. Bu denklemi düzenleyip çözerek de

m

değerlerini doğrudan bulabilirsiniz:

2m^2 + 13m + 18 = 0 \implies (2m + 9)(m + 2) = 0 \implies m = -2

veya

m = -\frac{9}{2}

.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 11Soru →

Dik koordinat düzleminde, $A(2, 5)$ ve $B(6, -1)$ noktalarına eşit uzaklıkta bulunan ve $y = 3x - 2$ doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

y = 3x - 1

y = 3x - 9

y = 3x + 9

y = 3x - 10

y = 3x + 10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $y = 3x - 10$

Cevap

Eğimi 3 olan ve orta nokta koordinatları

(4, 2)

olan noktadan geçen

y = 3x - 10

doğrusudur.

Doğru cevap olan ifade, verilen iki noktanın orta noktası olan koordinatları

(4, 2)

olan noktadan geçen ve eğimi

3

olan

y = 3x - 10

doğrusudur. Bu doğru üzerindeki her noktanın verilen iki noktaya olan dik uzaklıkları birbirine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1

Orta noktanın belirlenmesi

C(4, 2)

İki noktaya eşit uzaklıkta bulunan bir doğru, bu noktaları birleştiren doğru parçasına paralel değilse, bu doğru parçasının orta noktasından geçmelidir.

2

Eğimin belirlenmesi

m = 3

Paralel doğruların eğimleri eşittir. İstenen doğru

y = 3x - 2

doğrusuna paralel olduğu için eğimi 3 olmalıdır.

3

Doğru denkleminin yazılması

y = 3x - 10

Eğimi 3 olan ve

C(4, 2)

noktasından geçen doğrunun denklemi

y - y_1 = m(x - x_1)

formülüyle

y - 2 = 3(x - 4)

olarak kurulur ve düzenlenir.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde paralel doğruların eğimleri ve orta nokta özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Dik koordinat düzleminde, koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olan ve $4x + 3y - 7 = 0$ doğrusu üzerinde bulunan iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir?

2

5\sqrt{2}

10

6\sqrt{2}

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İki nokta arasındaki uzaklık 10 birimdir.

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri eşittir. Bu durum

y=x

ve

y=-x

doğrularını tanımlar. Verilen doğrunun bu doğrularla kesim noktaları sırasıyla

(1, 1)

ve

(7, -7)

olarak bulunur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden sonuç 10 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Eksenlere eşit uzaklıkta olan noktaların koordinat ilişkisini belirleme.

|x| = |y|

olduğundan noktalar

y = x

veya

y = -x

doğruları üzerindedir.

Koordinat eksenlerine eşit uzaklıktaki noktaların apsis ve ordinat değerlerinin mutlak değerleri birbirine eşittir.

2

y = x

durumu için doğru üzerindeki noktayı bulma.

4x + 3x - 7 = 0 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1

ve

y = 1

olup nokta

P_1(1, 1)

olarak bulunur.

Noktanın verilen doğru üzerinde olması için doğrunun denklemini sağlaması gerekir.

3

y = -x

durumu için doğru üzerindeki noktayı bulma.

4x + 3(-x) - 7 = 0 \Rightarrow 4x - 3x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7

ve

y = -7

olup nokta

P_2(7, -7)

olarak bulunur.

İkinci olası durum olan

y = -x

ilişkisini sağlayan doğru üzerindeki noktayı tespit etmek gerekir.

4

Bulunan iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplama.

d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-7 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10

birim.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Eksenlere eşit uzaklıktaki noktalar ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü

İpuçları

1

Koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olan noktaların koordinatları mutlak değerce birbirine eşittir.

2

Apsis ve ordinat arasındaki bu ilişkiyi

y = x

ve

y = -x

olmak üzere iki farklı durum olarak ele alın ve her iki durumu da doğru denkleminde yerine yazın.

3

Elde ettiğiniz

P_1(1, 1)

ve

P_2(7, -7)

noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, bir noktanın eksenlere olan uzaklıkları toplamı veya farkı verilen bir doğrunun sınırladığı bölgenin alanını hesaplayan soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Doğrunun açıortay doğruları olan

y = x

ve

y = -x

doğruları ile kesişim noktaları çizilerek koordinat düzleminde bir dik üçgen oluşturulabilir. Bu dik üçgenin kenarları 6 birim ve 8 birim olduğundan, hipotenüs (noktalar arasındaki uzaklık) 3-4-5 üçgeninin katı olan 6-8-10 üçgeninden doğrudan 10 birim olarak bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Dik koordinat düzleminde, $y = 2x$ ve $y = -\frac{1}{2}x$ doğruları ile $x + y = 6$ doğrusunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

10

18

30

42

60

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kapalı bölgenin alanı 30 birimkaredir.

Doğruların kesim noktaları olan

O(0,0)

,

A(2,4)

ve

B(12,-6)

noktaları bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dik kenar uzunlukları

\sqrt{20}

ve

\sqrt{180}

birimdir. Alanı ise bu iki değerin çarpımının yarısı olan 30 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1

Doğruların kesim noktalarını bulalım.

y = 2x

ve

y = -\frac{1}{2}x

doğruları orijinde, yani

O(0,0)

noktasında kesişir.

y = 2x

ile

x + y = 6

doğrularının kesişim noktası

A(2,4)

ve

y = -\frac{1}{2}x

ile

x + y = 6

doğrularının kesişim noktası

B(12,-6)

olarak bulunur.

Sınırlı bölgenin köşe koordinatlarını belirlemek için doğruları ortak çözmemiz gerekir.

2

Elde edilen üçgenin kenar özelliklerini inceleyelim.

y = 2x

doğrusunun eğimi

m_1 = 2

ve

y = -\frac{1}{2}x

doğrusunun eğimi

m_2 = -\frac{1}{2}

'dir. Bu iki eğimin çarpımı

m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

olduğundan, bu doğrular birbirine diktir. Dolayısıyla, köşe noktaları

O(0,0)

,

A(2,4)

ve

B(12,-6)

olan

OAB

üçgeni, dik köşesi

O

noktası olan bir dik üçgendir.

Dik üçgenin alanını dik kenarlarının uzunlukları çarpımının yarısı olarak kolayca hesaplayabilmek için dikliği kontrol ederiz.

3

Dik kenarların uzunluklarını hesaplayıp alanı bulalım.

|OA| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}

birim ve

|OB| = \sqrt{12^2 + (-6)^2} = \sqrt{180}

birimdir. Üçgenin alanı:

\text{Alan}(OAB) = \frac{|OA| \cdot |OB|}{2} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{180}}{2} = \frac{\sqrt{3600}}{2} = \frac{60}{2} = 30

birimkaredir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak kenar uzunlukları bulunur ve dik üçgen alan formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Analitik Geometride doğruların kesim noktalarını bulma, doğruların diklik şartı ve iki nokta arası uzaklık formülü ile alan hesabı.

İpuçları

1

Doğruların eğimlerini bulup çarpımlarını kontrol edin. Bu size doğruların birbirine dik olup olmadığını gösterecektir.

2

Kesişim noktalarını

O(0,0)

,

A(2,4)

ve

B(12,-6)

olarak belirledikten sonra,

OA

ve

OB

dik kenarlarının uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde birbirine dik iki doğru ile eksenleri kesen başka bir doğrunun sınırladığı bölgelerin alanlarını çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin köşeleri belirlendikten sonra, köşeleri bilinen üçgenin alan formülü olan

\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|

bağıntısı kullanılarak da doğrudan alana ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Analitik Geometri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem