Examkin

Soru

Zorluk: ZorAnalitik Geometri

Analitik düzlemde, A(2,3)A(2, 3) ve B(6,−1)B(6, -1) noktalarından geçen d1d_1 doğrusuna, bu iki noktanın orta noktasında dik olan d2d_2 doğrusu çiziliyor. Buna göre, d2d_2 doğrusunun koordinat eksenleriyle sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. 92\frac{9}{2}Cevap
  2. B
    99
  3. C
    252\frac{25}{2}
  4. D
    88
  5. E
    1818

Cevap

Doğrunun koordinat eksenleriyle sınırladığı kapalı bölgenin alanı 92\frac{9}{2} birimkaredir.
Verilen iki noktanın orta noktası (4,1)(4, 1) olarak bulunur. İki noktadan geçen doğrunun eğimi −1-1 olduğundan, buna dik olan doğrunun eğimi 11'dir. Bu nokta ve eğimle yazılan doğru denklemi y=x−3y = x - 3 olur. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar (3,0)(3, 0) ve (0,−3)(0, -3) olduğundan, eksenlerle oluşturduğu dik üçgenin alanı 3×32=92\frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
A(2,3)A(2, 3) ve B(6,−1)B(6, -1) noktalarının orta noktasını (MM) hesaplayın.
M=(2+62,3+(−1)2)=(4,1)M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (4, 1)
d2d_2 doğrusunun geçtiği noktayı belirlemek için orta nokta formülü uygulanır.
2
AA ve BB noktalarından geçen d1d_1 doğrusunun eğimini (m1m_1) bulun.
m1=−1−36−2=−44=−1m_1 = \frac{-1-3}{6-2} = \frac{-4}{4} = -1
Dik doğruların eğimleri çarpımı ilişkisini kullanabilmek için önce verilen noktaların eğimi bulunur.
3
d2d_2 doğrusunun eğimini (m2m_2) diklik şartını kullanarak bulun.
m1⋅m2=−1⇒(−1)⋅m2=−1⇒m2=1m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow (-1) \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = 1
Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı −1-1'dir.
4
M(4,1)M(4, 1) noktasından geçen ve eğimi m2=1m_2 = 1 olan d2d_2 doğrusunun denklemini yazın.
y−1=1⋅(x−4)⇒y=x−3y - 1 = 1 \cdot (x - 4) \Rightarrow y = x - 3
Noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi formülü kullanılır.
5
d2d_2 doğrusunun eksenleri kestiği noktaları belirleyin ve alanı hesaplayın.
x=0x=0 için y=−3y=-3 ve y=0y=0 için x=3x=3. Alan =12⋅∣3∣⋅∣−3∣=92= \frac{1}{2} \cdot |3| \cdot |-3| = \frac{9}{2}
Eksenlerle sınırlı bölge, kenarları eksen kesim noktalarının mutlak değerleri olan bir dik üçgendir.

Anahtar Kavram

İki noktası bilinen doğrunun eğimi, orta nokta koordinatları, dik doğruların eğimleri arasındaki ilişki ve doğrunun eksenlerle oluşturduğu sınırlı bölgenin alanı.
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru