Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, koordinatları tam sayılardan oluşan AA ve BB noktaları için [AB][AB] doğru parçasının orta noktası C(0,3)C(0, 3)'tür. AA noktası koordinat düzleminin ikinci bölgesinde yer almaktadır. AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birim olduğuna göre, AA noktasının orijine olan uzaklığının alabileceği en büyük değer kaç birimdir?

  1. A
    525\sqrt{2}
  2. B
    34\sqrt{34}
  3. C
    2132\sqrt{13}
  4. 58\sqrt{58}Cevap
  5. E
    65\sqrt{65}

Cevap

A noktasının orijine olan uzaklığının alabileceği en büyük değer 58\sqrt{58} birimdir.
Verilen sınırlamalara uygun olarak elde edilen en büyük uzaklık değeri, koordinatları A(−3,7)A(-3, 7) olan nokta için geçerlidir ve orijine uzaklığı (−3)2+72=58\sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{58} birimdir.

Adım Adım Çözüm

1
Orta nokta formülünü kullanarak AA ve BB noktalarının koordinatları arasındaki bağıntıyı kurun.
A(xA,yA)A(x_A, y_A) ve B(xB,yB)B(x_B, y_B) noktalarının orta noktası C(0,3)C(0, 3) olduğundan, xA+xB=0  ⟹  xB=−xAx_A + x_B = 0 \implies x_B = -x_A ve yA+yB=6  ⟹  yB=6−yAy_A + y_B = 6 \implies y_B = 6 - y_A elde edilir.
Orta noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşittir.
2
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayarak denklemi sadeleştirin.
∣AB∣=10  ⟹  (xB−xA)2+(yB−yA)2=100|AB| = 10 \implies (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 100 denkleminde birinci adımdaki eşitlikler yerine yazılırsa: (−2xA)2+(6−2yA)2=100  ⟹  4xA2+4(3−yA)2=100  ⟹  xA2+(3−yA)2=25(-2x_A)^2 + (6 - 2y_A)^2 = 100 \implies 4x_A^2 + 4(3 - y_A)^2 = 100 \implies x_A^2 + (3 - y_A)^2 = 25 elde edilir.
Uzaklık formülünü sadeleştirip tek bir bağıntı elde etmek çözümü kolaylaştırır.
3
AA noktasının ikinci bölgede bulunması ve tam sayı koordinatlara sahip olması koşullarını uygulayarak olası noktaları belirleyin.
A(xA,yA)A(x_A, y_A) ikinci bölgede olduğundan xA<0x_A < 0 ve yA>0y_A > 0 olmalıdır. xA2+(3−yA)2=25x_A^2 + (3 - y_A)^2 = 25 denkleminde xAx_A ve yAy_A birer tam sayı olacağına göre:
1) xA=−3x_A = -3 için (3−yA)2=16  ⟹  3−yA=−4  ⟹  yA=7(3 - y_A)^2 = 16 \implies 3 - y_A = -4 \implies y_A = 7 (nokta A(−3,7)A(-3, 7)),
2) xA=−4x_A = -4 için (3−yA)2=9  ⟹  3−yA=−3  ⟹  yA=6(3 - y_A)^2 = 9 \implies 3 - y_A = -3 \implies y_A = 6 (nokta A(−4,6)A(-4, 6)),
3) xA=−5x_A = -5 için (3−yA)2=0  ⟹  yA=3(3 - y_A)^2 = 0 \implies y_A = 3 (nokta A(−5,3)A(-5, 3)).
Bölge sınırlamaları ve tam sayı olma koşulu olası çözüm kümesini sonlu sayıda noktaya indirger.
4
Bulunan olası AA noktalarının orijine olan uzaklıklarını hesaplayıp karşılaştırın.
Orijin O(0,0)O(0, 0) noktası olmak üzere:
- A(−3,7)A(-3, 7) için uzaklık: (−3)2+72=58\sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{58} birim,
- A(−4,6)A(-4, 6) için uzaklık: (−4)2+62=52=213\sqrt{(-4)^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} birim,
- A(−5,3)A(-5, 3) için uzaklık: (−5)2+32=34\sqrt{(-5)^2 + 3^2} = \sqrt{34} birimdir. En büyük değer 58\sqrt{58} olarak bulunur.
Olası noktalar içinden en büyük uzaklığı veren noktayı seçmek sorunun nihai hedefidir.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta formülü ve analitik düzlemde bölgeler

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, AA noktasının C(0,3)C(0,3) merkezli ve 55 birim yarıçaplı bir çember üzerinde yer alması gerektiği görülür. Çemberin II. bölgesindeki tam sayı koordinatlı noktaları doğrudan koordinat düzleminde çizerek veya x2+(y−3)2=25x^2 + (y-3)^2 = 25 çember denkleminden yararlanarak hızlıca bulabilir ve orijine olan uzaklıklarını karşılaştırabilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Analitik İncelenmesi

Bu konudan daha fazla soru