Examkin

Soru

Zorluk: ZorNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, ikinci bölgede bulunan bir A(a,b)A(a, b) noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamı 88 birimdir. Bu noktanın yy-eksenine olan uzaklığı, xx-eksenine olan uzaklığından daha azdır. AA noktasının orijine olan uzaklığı 2102\sqrt{10} birim olduğuna göre, AA noktasının B(2,3)B(2, 3) noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

  1. A
    3
  2. 5Cevap
  3. C
    7
  4. D
    8
  5. E
    9

Cevap

A noktasının B noktasına olan uzaklığı 5 birimdir.
A noktasının koordinatları ikinci bölge özellikleri, eksenlere uzaklık ilişkileri ve orijine olan uzaklık denklemi birlikte çözülerek A(−2,6)A(-2, 6) olarak belirlenir. Bu noktanın B(2,3)B(2, 3) noktasına olan uzaklığı iki nokta arası uzaklık formülü yardımıyla 5 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci bölgedeki A(a,b) noktasının koordinat işaretlerini belirleme ve eksenlere uzaklık bağıntısını yazma.
a<0a < 0 ve b>0b > 0 olduğu için A(a,b)A(a, b) noktas��nın yy-eksenine olan uzaklığı ∣a∣=−a|a| = -a birim, xx-eksenine olan uzaklığı ise ∣b∣=b|b| = b birimdir. Eksenlere olan uzaklıkları toplam�� 88 birim olduğundan −a+b=8  ⟹  b=a+8-a + b = 8 \implies b = a + 8 bağıntısı elde edilir.
Noktanın bulunduğu bölgeye göre eksenlere olan uzaklık denklemini doğru kurabilmek için.
2
Eksenlere olan uzaklıkların karşılaştırma koşulunu belirleme.
Noktanın yy-eksenine olan uzaklığı (∣a∣|a|), xx-eksenine olan uzaklığından (∣b∣|b|) daha az olduğundan ∣a∣<∣b∣  ⟹  −a<b|a| < |b| \implies -a < b olmalıdır.
İki farklı olası noktadan doğru olanını seçebilmek için sınır şartını belirlemek.
3
Orijine olan uzaklık denkleminden A noktasının koordinatlarını bulma.
Orijine olan uzaklık formülünden a2+b2=(210)2  ⟹  a2+b2=40a^2 + b^2 = (2\sqrt{10})^2 \implies a^2 + b^2 = 40 olur. Burada b=a+8b = a + 8 yazılarak a2+(a+8)2=40  ⟹  2a2+16a+24=0  ⟹  a2+8a+12=0  ⟹  (a+6)(a+2)=0a^2 + (a+8)^2 = 40 \implies 2a^2 + 16a + 24 = 0 \implies a^2 + 8a + 12 = 0 \implies (a+6)(a+2) = 0 elde edilir. Kökler a=−6a = -6 veya a=−2a = -2 olarak bulunur. Eğer a=−6a = -6 ise b=2b = 2 olur fakat bu durumda ∣−6∣<∣2∣|-6| < |2| (6<26 < 2) şartı sağlanmaz. Eğer a=−2a = -2 ise b=6b = 6 olur ve ∣−2∣<∣6∣|-2| < |6| (2<62 < 6) şartı sağlanır. Dolayısıyla AA noktası A(−2,6)A(-2, 6) olarak bulunur.
Verilen iki uzaklık bilgisini ortak çözerek A noktasının koordinatlarını kesinleştirmek için.
4
A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesaplama.
A(−2,6)A(-2, 6) ve B(2,3)B(2, 3) noktaları arasındaki uzaklık ∣AB∣=(2−(−2))2+(3−6)2=42+(−3)2=16+9=25=5|AB| = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 birim olarak hesaplanır.
İki nokta arasındaki en kısa mesafeyi bulmak için mesafe formülünü uygulamak.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde noktanın eksenlere ve orijine olan uzaklığı ile iki nokta arasındaki uzaklık formülü.

Alternatif Yöntem

Denklemleri çözüp olası A(−2,6)A(-2, 6) ve A(−6,2)A(-6, 2) noktalarını bulduktan sonra, koordinat düzleminde bu noktaları ve eksenleri çizerek uzaklık ilişkisi görsel olarak kıyaslanabilir. AA ve BB noktalarından eksenlere paraleller çizilerek oluşturulan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak da uzaklık bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Analitik İncelenmesi

Bu konudan daha fazla soru