Bir E örnek uzayında tanımlı A ve B olayları için, A olayının gerçekleşip B olayının gerçe… — ALES

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için, $A$ olayının gerçekleşip $B$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $P(A \cap B') = \frac{1}{3}$ , $B$ olayının gerçekleşip $A$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $P(B \cap A') = \frac{1}{4}$ ve bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ olarak verilmektedir.

Buna göre, hem $A$ hem de $B$ olayının birlikte gerçekleşme olasılığı olan $P(A \cap B)$ değeri kaçtır?

A
$\frac{1}{12}$
B
$\frac{2}{5}$
$\frac{1}{60}$ Cevap
D
$\frac{4}{15}$
E
$\frac{11}{35}$

Cevap

Hem

A

hem de

B

olayının birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{60}

'tır.

İki olayın birleşim olasılığı, bu olayların kesişimi ile sadece birinin gerçekleşip diğerinin gerçekleşmediği fark olaylarının olasılıklarının toplamıdır.

P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(B \cap A') + P(A \cap B)

formülünde verilen değerleri yerine yazdığımızda

\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B)

denklemi elde edilir. Buradan

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}

toplamı bulunup birleşim olasılığı olan

\frac{3}{5}

'ten çıkarıldığında

P(A \cap B) = \frac{1}{60}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Birleşim formülünü fark ve kesişim kümeleri cinsinden ifade etme

P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(B \cap A') + P(A \cap B)

İki olayın birleşimi; sadece ilk olayın gerçekleştiği, sadece ikinci olayın gerçekleştiği ve her ikisinin de gerçekleştiği ayrık bölgelerin toplamına eşittir.

Verilen olasılık değerlerini formülde yerine koyma

\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B)

Soruda verilen

P(A \cap B') = \frac{1}{3}

P(B \cap A') = \frac{1}{4}

P(A \cup B) = \frac{3}{5}

değerlerini formüle yerleştirmek için.

Rasyonel sayıları toplama ve payda eşitleme

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

ve denklem

\frac{3}{5} = \frac{7}{12} + P(A \cap B)

halini alır.

Bilinmeyen kesişim olasılığını yalnız bırakmak amacıyla bilinen değerleri toplamak için.

P(A \cap B)

değerini bulmak için çıkarma işlemi yapma

P(A \cap B) = \frac{3}{5} - \frac{7}{12} = \frac{36}{60} - \frac{35}{60} = \frac{1}{60}

Denklemin her iki tarafından

\frac{7}{12}

çıkarıp paydaları 60'ta eşitleyerek kesi��im olasılığını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki olayın birleşim olasılığı, bu olayların ayrık alt bölgelerinin olasılıklarının toplamına eşittir.

İpuçları

Birleşim kümesinin, kesişim kümesi ve fark kümelerinin birleşiminden oluştuğunu hatırlayın.

Venn şeması çizerek A fark B, B fark A ve A kesişim B bölgelerini yerleştirin. Bu üç bölgenin toplam olasılığı A birleşim B olasılığına eşit olacaktır.

3/5 = 1/3 + 1/4 + P(A kesişim B) denklemini kurun ve rasyonel sayılarda paydaları eşitleyerek bilinmeyeni çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda bağımsız olaylar verildiğinde kesişim olasılığının nasıl hesaplanacağını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması üzerinde tüm olasılıkları ortak bir payda olan 60'a genişleterek düşünebilirsiniz: P(A fark B) = 20/60, P(B fark A) = 15/60 ve P(A birleşim B) = 36/60 olur. Birleşim bölgesi bu üç parçanın toplamı olduğundan, kesişim bölgesi 36/60 - (20/60 + 15/60) = 1/60 olarak kolayca bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru