Olasılık Kavramı ve Özellikleri Alıştırma Soruları — ALES

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için,

$P(A' \cap B') = \frac{1}{6}$

$P(A \setminus B) = \frac{1}{3}$

$P(B \setminus A) = \frac{1}{4}$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $A$ ve $B$ olaylarının kesişimi olan $P(A \cap B)$ olas��lığı kaçtır?

\frac{1}{12}

\frac{5}{12}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

\frac{7}{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{4}$

Cevap

A ve B olaylarının aynı anda gerçekleşme olasılığı olan kesişim değeri 1/4'tür.

Doğru yanıt olan 1/4 değeri, bir örnek uzaydaki tüm ayrık alt bölge olasılıklarının (sadece A'nın gerçekleşme olasılığı, sadece B'nin gerçekleşme olasılığı, kesişim olasılığı ve her ikisinin de gerçekleşmeme olasılığı) toplamının 1'e eşit olması ilkesinden yola çıkılarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek uzayı oluşturan ayrık alt bölgeleri belirlemek.

E

örnek uzayı; sadece

A

'nın gerçekleştiği bölge (

A \setminus B

), sadece

B

'nin gerçekleştiği bölge (

B \setminus A

), her iki olayın birlikte ger��ekleştiği bölge (

A \cap B

) ve iki olayın da gerçekleşmediği dış bölge (

(A \cup B)' = A' \cap B'

) olmak üzere dört ayrık bölgenin birleşimidir.

Olasılık aksiyomlarına göre, bir örnek uzayda tanımlı tüm ayrık durumların olasılıkları toplamı

1

'e eşit olmalıdır.

2

Verilen olasılık değerleriyle örnek uzay denklemini kurmak.

P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B) + P(A' \cap B') = 1

eşitliğinden

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B) + \frac{1}{6} = 1

elde edilir.

Bilinmeyen

P(A \cap B)

değerini bulmak için cebirsel bir eşitlik oluşturulur.

3

Payda eşitleyerek bilinmeyeni çözmek.

Paydalar

12

ile eşitlenir:

\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + P(A \cap B) + \frac{2}{12} = 1 \Rightarrow \frac{9}{12} + P(A \cap B) = 1 \Rightarrow P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

bulunur.

Rasyonel terimlerde toplama işlemini tamamlayıp bilinmeyeni yaln��z bırakmak için.

Anahtar Kavram

Bir örnek uzayı oluşturan tüm ayrık olayların olasılıkları toplamı 1'dir. Farklı küme işlemlerini (fark, tümleyen, kesişim) örnek uzay üzerinde ayrık bölgeler şeklinde ifade ederek olasılık hesaplaması yapılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir torbada üzerinde 1'den 10'a kadar (1 ve 10 dahil) tam sayıların yazılı olduğu 10 adet kart bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın üzerindeki sayının asal sayı olma olayı $A$ , çift sayı olma olayı $B$ olarak tanımlanıyor. Buna göre, çekilen kartın üzerindeki sayının $A \cup B$ olayının tümleyeni (yani $(A \cup B)'$ ) olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{10}

\frac{1}{10}

\frac{1}{5}

\frac{4}{5}

\frac{3}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{5}$

Cevap

\frac{1}{5}

Doğru cevap olan

\frac{1}{5}

seçeneği, tümleyen kuralı kullanılarak elde edilir. Örnek uzaydaki 10 elemandan asal olanlar

\{2, 3, 5, 7\}

ve çift olanlar

\{2, 4, 6, 8, 10\}

'dur. Bu iki kümenin birleşimi olan

A \cup B

kümesi

\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\}

elemanlarından oluşur ve eleman sayısı 8'dir. Bu kümenin tümleyeni ise örnek uzayda olup bu birleşimde yer almayan

\{1, 9\}

kümesidir. Dolayısıyla istenen olasılık

\frac{2}{10} = \frac{1}{5}

'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek uzayı (

S

) ve eleman sayısını belirleme.

S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

ve

|S| = 10

olur.

Olasılık hesabında tüm olası durumların sayısını bulmak için.

2

A

(asal sayı olma) ve

B

(çift sayı olma) olaylarının kümelerini belirleme.

A = \{2, 3, 5, 7\}

ve

B = \{2, 4, 6, 8, 10\}

olur.

1 sayısı asal sayı olmadığından

A

kümesine dahil edilmez.

3

A \cup B

olayının kümesini ve eleman sayısını bulma.

A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10\} \implies |A \cup B| = 8

olur.

Asal veya çift sayı olan kartların tamamını belirlemek için.

4

A \cup B

olayının tümleyeni olan

(A \cup B)'

olayının elemanlarını ve olasılığını hesaplama.

(A \cup B)' = \{1, 9\} \implies |(A \cup B)'| = 2

olur. Olasılık ise

P((A \cup B)') = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}

olarak bulunur.

Çekilen kartın üzerindeki sayının asal veya çift olmama olasılığını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Olasılıkta tümleyen kuralı ve kümelerin birleşimi özelliğinin olasılık fonksiyonuna uygulanması.

Soru 3Soru →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için, $A$ veya $B$ olayının gerçekleşme olasılığı ile her iki olayın da birlikte gerçekleşme olasılığı arasındaki fark $\frac{1}{2}$ 'dir.

P(A') + P(B') = \frac{5}{4}

olduğuna göre, $A$ ve $B$ olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı kaçtır?

\frac{1}{8}

\frac{1}{4}

\frac{3}{8}

\frac{5}{8}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{8}$

Cevap

A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{8}

'dir.

Tümleyenlerin olasılık kurallarından

P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

elde edilir. Birleşim olasılığı formülü olan

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

ifadesi, soruda verilen

P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}

eşitliğinde yerine konulursa

P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2}

elde edilir. Burada bulunan toplam yerine yazıldığında

\frac{3}{4} - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2}

denklemi çözülerek her iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{8}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Tümleyen özelliklerini kullanarak olayların kendi olasılıkları toplamını bulun.

P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

P(A') = 1 - P(A)

ve

P(B') = 1 - P(B)

eşitlikleri

P(A') + P(B') = \frac{5}{4}

denkleminde yerine yazıldığında,

2 - (P(A) + P(B)) = \frac{5}{4} \implies P(A) + P(B) = \frac{3}{4}

elde edilir.

2

Birleşim olasılığı formülünü kullanarak soruda verilen fark ifadesini düzenleyin.

P(A \cup B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

olduğu bilindiğinden, bu ifadeden

P(A \cap B)

çıkarıldığında elde edilen eşitlik kullanılır.

3

Bulunan değerleri ve denklemleri birleştirerek kesişim olasılığ��nı hesaplayın.

P(A \cap B) = \frac{1}{8}

P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} \implies \frac{3}{4} - 2P(A \cap B) = \frac{1}{2} \implies 2P(A \cap B) = \frac{1}{4} \implies P(A \cap B) = \frac{1}{8}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Olasılık fonksiyonunun özellikleri, tümleyen olayın olasılığı ve iki olayın birleşiminin olasılığı.

Soru 4Soru →

Bir torbada kırmızı, mavi ve yeşil renkli bilyeler bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin yeşil renkli olma olasılığı $\frac{2}{7}$ 'dir. Buna göre, bu torbadan rastgele çekilen bir bilyenin yeşil renkli olmama olasılığı kaçtır?

\frac{2}{7}

\frac{2}{5}

\frac{7}{2}

\frac{5}{7}

\frac{1}{7}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{7}$

Cevap

Yeşil renkli olmama olasılığı

\frac{5}{7}

'dir.

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, 1'den o olayın gerçekleşme olasılığının çıkarılmasıyla bulunur. Yeşil renkli olma olasılığı

\frac{2}{7}

olduğuna göre, yeşil renkli olmama olasılığı

1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Tümleyen olasılık formülünü belirleme

P(A') = 1 - P(A)

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.

2

Verilen olasılık değerini formülde yerine yazarak hesaplama yapma

P(\text{Yeşil değil}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}

Yeşil renkli olma olasılığı

\frac{2}{7}

olarak verildiği için, yeşil olmama olasılığını bulmak için bu değer 1'den çıkarılır.

Anahtar Kavram

Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1'dir (

P(A) + P(A') = 1

).

Soru 5Soru →

Bir

E

örnek uzayında tanımlı

A

ve

B

olayları için

P(A) = \frac{3}{5}

P(B) = \frac{3}{4}

olduğu bilinmektedir.
Buna göre,

P(A' \cap B)

ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır?

\frac{3}{10}

\frac{3}{5}

\frac{9}{20}

\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{4}$

Cevap

\frac{1}{4}

Verilen olasılık aksiyomları ve kümeler arası ilişkiler doğrultusunda, birleşim olayının olasılığının en fazla 1 olması kuralından hareketle kesişim kümesinin en küçük olasılık değeri

\frac{7}{20}

olarak bulunur. Kesişim kümesi

A

kümesinin alt kümesi olduğundan en büyük olasılık değeri

P(A) = \frac{12}{20}

olur. Bu sınırlar

P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)

formülünde yerine konulduğunda ifadenin alabileceği en büyük değer

\frac{8}{20}

, en küçük değer ise

\frac{3}{20}

olarak elde edilir. İki sınır değerin farkı alındığında sonuç

\frac{1}{4}

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

İstenen olasılık ifadesini kesişim cinsinden yazma

P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)

Bir olayın tümleyeninin başka bir olayla kesişimi, o olayın fark kümesinin olasılığına eşittir.

2

Kesişim olasılığının alt sınırını bulma

P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1 \implies P(A \cap B) \geq \frac{3}{5} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{7}{20}

Birleşim olayının olasılığı en fazla 1 olabilir (

P(A \cup B) \leq 1

).

3

Kesişim olasılığının üst sınırını bulma

P(A \cap B) \leq \min(P(A), P(B)) \implies P(A \cap B) \leq \frac{3}{5} = \frac{12}{20}

Kesişim kümesinin olasılığı, kesişen kümelerin kendi olasılıklarından büyük olamaz.

4

P(A' \cap B)

ifadesinin sınır değerlerini hesaplama

En büyük değer:

\frac{15}{20} - \frac{7}{20} = \frac{8}{20}

, En küçük değer:

\frac{15}{20} - \frac{12}{20} = \frac{3}{20}

P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)

ifadesinde kesişim olasılığının en küçük değeri en büyük sonucu, en büyük değeri ise en küçük sonucu verir.

5

En büyük ve en küçük değerler arasındaki farkı bulma

\frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

Soruda istenen farkı bulmak için iki sınır değer birbirinden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Olasılık Fonksiyonunun Özellikleri ve Kesişim/Birleşim Sınırları

İpuçları

1

P(A' \cap B)

ifadesini Venn şemasında göstererek

P(B) - P(A \cap B)

biçiminde yazmayı deneyin.

2

Birleşim olayının olasılığının maksimum 1 olabileceğini (

P(A \cup B) \leq 1

) kullanarak kesişim olasılığının alabileceği en küçük değeri bulun.

3

P(A \cap B) \leq P(A)

olduğunu dikkate alarak kesişim olasılığının alabileceği en büyük değeri belirleyin ve bunları

P(B) - P(A \cap B)

ifadesinde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer sınır değer mantığıyla,

P(A \cup B)

ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin çarpımını bulmaya çalışın.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirebiliriz.

A \setminus B = x

,

A \cap B = y

,

B \setminus A = z

ve dış bölge

w

olsun.

x + y = 3/5

,

y + z = 3/4

ve

x + y + z + w = 1

eşitlikleri yazılır. Buradan

z = P(A' \cap B)

ifadesinin sınırlarını doğrudan bu denklem sisteminden

w

'ya bağlı olarak inceleyebiliriz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 6Soru →

Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı İngilizce, Almanca veya Fransızca dillerinden yalnız birini konuşabilmektedir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin İngilizce konuşma olasılığı $\frac{1}{3}$ , Almanca konuşma olasılığı ise $\frac{2}{5}$ 'tir.

Buna göre, bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin Fransızca konuşma olasılığı kaçtır?

\frac{11}{15}

\frac{2}{15}

\frac{4}{15}

\frac{4}{5}

\frac{1}{15}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{15}$

Cevap

Fransızca konuşma olasıl��ğı olan

\frac{4}{15}

İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerini konuşan öğrencilerin grupları ayrık olaylar oluşturur ve sınıfın tamamını kapsar. Bu nedenle bu üç grubun olasılıkları toplamı

1

'e eşit olmalıdır. İngilizce konuşma olasılığı olan

\frac{1}{3}

ile Almanca konuşma olasılığı olan

\frac{2}{5}

değerleri toplandığında, payda eşitleme işlemiyle

\frac{11}{15}

elde edilir. Fransızca konuşma olasılığı ise tümleyen kuralı gereği bu toplamın

1

'den çıkarılmasıyla hesaplanır:

1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}

bulunur. Dolayısıyla doğru cevap

\frac{4}{15}

olan seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Sınıftaki öğrencilerin konuşabildiği tüm dillerin olasılıklarının toplamını 1'e eşitleyin.

P(\text{İngilizce}) + P(\text{Almanca}) + P(\text{Fransızca}) = 1

olur.

Sınıftaki herkes bu dillerden yalnızca birini konuştuğu için bu dillerin olasılıkları ayrık olaylar oluşturur ve toplamları kesin olaya (

1

) eşittir.

2

İngilizce ve Almanca konuşan öğrencilerin olasılıklarını toplayın.

\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}

olur.

Fransızca dışındaki dilleri konuşan öğrencilerin toplam olasılığını belirlemek için paydalar eşitlenerek toplama yapılır.

3

Fransızca konuşma olasılığını bulmak için elde edilen toplamı

1

'den çıkarın.

P(\text{Fransızca}) = 1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}

bulunur.

Tümleyen kuralı uygulanarak geriye kalan grubun olasılığı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tümleyen Olasılık Kuralı ve Ayrık Olaylar

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 7Soru →

Üç adet hilesiz zar aynı anda havaya atılıyor. Zarların üst yüzlerine gelen sayıların çarpımının 4'ün tam katı olma olasılığı kaçtır?

\frac{3}{8}

\frac{1}{2}

\frac{5}{8}

\frac{7}{8}

\frac{91}{216}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{8}$

Cevap

Zarların üst yüzlerine gelen sayıların çarpımının 4'ün tam katı olma olasılığı

\frac{5}{8}

'dir.

Çarpımın 4'ün katı olması olasılığı, tüm durumların olasılığı olan 1'den, çarpımın 4'ün katı olmama olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanır. Çarpımın 4'ün katı olmaması için ya tüm zarlar tek sayı gelmeli (

27

durum) ya da zarlardan yalnız biri 2 veya 6 gelip diğerleri tek sayı gelmelidir (

54

durum). Bu durumda tümleyen durum sayısı

81

olup olasılığı

\frac{81}{216} = \frac{3}{8}

'dir. İstenen olasılık ise

1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Tüm durumların (örnek uzayın) sayısını belirleme.

Üç zar atıldığında toplam olası durum sayısı

6 \times 6 \times 6 = 216

olur.

Her bir zarın 6 farklı yüzü olduğundan çarpım kuralı uygulanır.

2

Tümleyen olay olan 'çarpımın 4'ün katı olmama' durumunun koşullarını belirleme.

Çarpımın 4'ün katı olmaması için iki durum vardır: 1) Üç zarın da tek sayı gelmesi, 2) Zarlardan sadece birinin çift sayı gelmesi ve bu çift sayının 4 olmaması (yani 2 veya 6 olması), diğer iki zarın ise tek sayı gelmesi.

Çarpımın 4 ile bölünememesi için içerisinde en fazla bir tane 2 çarpanı bulunabilir, 4 çarpanı ise hiç bulunamaz.

3

Tümleyen olaya ait durum sayılarını hesaplama.

Birinci durum (üçü de tek):

\{1, 3, 5\}

kümesinden

3 \times 3 \times 3 = 27

durum. İkinci durum (bir çift 2 veya 6, iki tek): Çift sayının geleceği zar 3 farklı şekilde seçilir. Bu zar için 2 veya 6 olmak üzere 2 seçenek vardır. Diğer iki tek zar için

3 \times 3 = 9

seçenek vardır. Buradan

3 \times 2 \times 9 = 54

durum elde edilir. Toplam tümleyen durum sayısı

27 + 54 = 81

olur.

Her iki durum ayrık olaylar olduğundan durum sayıları toplanır.

4

Tümleyen olayın olasılığını ve ardından istenen olayın olasılığını tümleyen kuralıyla hesaplama.

Çarpımın 4'ün katı olmama olasılığı

\frac{81}{216} = \frac{3}{8}

'dir. İstenen durumun (çarpımın 4'ün katı olma) olasılığı ise

1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

olarak bulunur.

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı 1'e eşittir (

P(A) + P(A') = 1

).

Anahtar Kavram

Bir olayın olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) o olayın gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının çıkarılmasıyla hesaplanabilir:

P(A) = 1 - P(A')

.

Alternatif Yöntem

Çözüm doğrudan sayılarak da yapılabilir. Çarpımın 4'ün katı olması için zarların en az birinin 4 gelmesi veya en az iki zarda çift sayı (2 veya 6) gelmesi gerekir. Bu durumlar tek tek toplanarak da 135 sonucuna ulaşılır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 8Soru →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ ayrık olayları için $A$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $P(A') = \frac{2}{3}$ ve $A$ veya $B$ olayının gerçekleşme olasılığı $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$ 'tür.

Buna göre, $B$ olayının gerçekleşme olasılığı $P(B)$ kaçtır?

\frac{1}{12}

\frac{1}{6}

\frac{1}{4}

\frac{1}{3}

\frac{5}{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{12}$

Cevap

B olayının gerçekleşme olasılığı \frac{5}{12}'dir.

B olayının gerçekleşme olasılığı \frac{5}{12} olarak bulunur. Öncelikle A olayının gerçekleşmeme olasılığı

P(A') = \frac{2}{3}

olarak verildiğinden, gerçekleşme olasılığı

P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

olur. A ve B ayrık olaylar olduğu için kesişimleri boştur ve birleşim olasılıkları

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

formülü ile hesaplanır. Buradan

\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B)

eşitliği elde edilir. Eşitlik çözüldüğünde

P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9-4}{12} = \frac{5}{12}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) değerini hesaplamak için P(A) + P(A') = 1 özelliğini kullanın.

P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} elde edilir.

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamı her zaman 1'e eşittir.

2

A ve B olayları ayrık olaylar olduğu için P(A \cup B) = P(A) + P(B) formülünü uygulayın.

\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) denklemi kurulur.

Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıklarının toplamına eşittir.

3

Denklemdeki P(B) değerini yalnız bırakarak rasyonel sayılarda çıkarma işlemini gerçekleştirin.

P(B) = \frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} bulunur.

Farklı paydalara sahip rasyonel sayılarda çıkarma işlemi yapabilmek için paydalar eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Ayrık olayların birleşim olasılığı ve tümleyen olay ilişkisi

İpuçları

1

Bir olayın gerçekleşme olasılığı P(A) ile gerçekleşmeme olasılığı P(A') toplamının 1 olduğunu hatırlayın.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

Bir

E

örnek uzayında tanımlı

A

ve

B

olayları için

P(A') = \frac{2}{3}

P(B') = \frac{2}{5}

P(A \cup B) = \frac{4}{5}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan $P(A \cap B)$ değeri kaçtır?

\frac{1}{15}

\frac{2}{15}

\frac{1}{5}

\frac{4}{15}

\frac{7}{15}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{2}{15}$

Cevap

İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı olan kesişim olasılı��ı

\frac{2}{15}

'tir.

Doğru cevap olan

\frac{2}{15}

seçeneği, olasılık teorisindeki temel tümleyen kuralı (

P(X) = 1 - P(X')

) ve iki olayın birleşim olasılığı formülü (

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

) kullanılarak sırasıyla

P(A) = \frac{1}{3}

ve

P(B) = \frac{3}{5}

değerlerinin bulunması ve ardından birleşim formülünde yerine yazılarak rasyonel işlemlerin doğru yapılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme (tümleyen) olasılığının toplamı 1'dir. Bu kural kullanılarak birinci olayın gerçekleşme olasılığı bulunur.

P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

P(A) + P(A') = 1

eşitliğinden yararlanarak gerçekleşme olasılığını hesaplamak.

2

Aynı tümleyen kuralı kullanılarak ikinci olayın gerçekleşme olasılığı bulunur.

P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

P(B) + P(B') = 1

eşitliğinden yararlanarak gerçekleşme olasılığını hesaplamak.

3

İki olayın birleşiminin olasılık formülü olan

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

eşitliğinde bilinen değerler yerine yazılır.

\frac{4}{5} = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - P(A \cap B)

Aranan kesişim olasılığı terimini denklem içinde yalnız bırakmak.

4

Kesişim olasılığı eşitliğin sol tarafına alınarak rasyonel sayılarda payda eşitleme işlemi yapılır.

P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}

Paydaları 15'te eşitleyerek rasyonel çıkarma işlemini tamamlamak.

Anahtar Kavram

Olasılık kuralları ve tümleyen kavramı

İpuçları

1

Bir olayın gerçekleşme olasılığı ile gerçekleşmeme olasılığının toplamının 1'e eşit olduğunu göz önünde bulundurun.

2

Verilen tümleyen olasılıklarından yola çıkarak önce

P(A)

ve

P(B)

değerlerini ayrı ayrı hesaplayın.

3

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

formülünde bulduğunuz değerleri yerine yazarak kesişim olasılığını çekin.

Daha Fazla Pratik

Benzer kuralları içeren ancak bu kez koşullu olasılık veya bağımsızlık durumlarının incelendiği soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir spor kulübündeki sporcuların tamamı yüzme veya tenis branşlarından en az biriyle ilgilenmektedir. Bu kulüpten rastgele seçilen bir sporcunun yüzme branşıyla ilgilenme olasılığı $\frac{2}{3}$ , tenis branşıyla ilgilenme olasılığı ise $\frac{3}{5}$ 'tir. Buna göre, bu kulüpten rastgele seçilen bir sporcunun hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığı kaçtır?

\frac{11}{15}

\frac{2}{5}

\frac{4}{15}

\frac{7}{15}

\frac{8}{15}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{4}{15}$

Cevap

Hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığı

\frac{4}{15}

'tir.

Yüzme ve tenis branşlarının her ikisiyle de ilgilenme olasılığı olan

\frac{4}{15}

doğru cevaptır. Sporcuların tamamı en az bir branşla ilgilendiği için birleşim olasılığı 1'dir. Toplamsallık kuralına göre

P(Y \cup T) = P(Y) + P(T) - P(Y \cap T)

formülünden kesişim olasılığı

\frac{4}{15}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Yüzme branşıyla ilgilenme olayını

Y

, tenis branşıyla ilgilenme olayını

T

ile tanımlayal��m.

P(Y) = \frac{2}{3}

,

P(T) = \frac{3}{5}

ve sporcuların tamamı en az bir branşla ilgilendiği için

P(Y \cup T) = 1

olur.

Verilen sözel ifadeleri matematiksel sembollerle göstermek ve örnek uzayın sınırlarını belirlemek için.

2

İki olayın birleşim olasılığı formülünü yazalım.

P(Y \cup T) = P(Y) + P(T) - P(Y \cap T)

Hem yüzme hem de tenis branşıyla ilgilenme olasılığını yani kesişim kümesinin olasılığını bulmak amacıyla bu temel kuralı uygularız.

3

Bilinen olasılık değerlerini formülde yerine yazalım ve kesişim olasılığını yalnız bırakalım.

1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{5} - P(Y \cap T) \Rightarrow P(Y \cap T) = \frac{2}{3} + \frac{3}{5} - 1

Aranan kesişim olasılığı değerini hesaplamak için gerekli cebirsel düzenlemeyi yapmak amacıyla.

4

Rasyonel sayılarda ortak paydayı 15 yaparak çıkarma işlemini tamamlayalım.

P(Y \cap T) = \frac{10}{15} + \frac{9}{15} - \frac{15}{15} = \frac{4}{15}

Paydaları eşitleyip işlemi gerçekleştirerek nihai olasılık değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Olasılık Birleşim Özelliği ve Kesişim Olasılığı

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek de çözülebilir. Yüzme ve tenis branşları için kesişen iki küme çizilir, birleşimin olasılığı 1'e eşitlenerek kesişim bölgesi bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Bir $E$ örnek uzayında tanımlı $A$ ve $B$ olayları için, $A$ olayının gerçekleşip $B$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $P(A \cap B') = \frac{1}{3}$ , $B$ olayının gerçekleşip $A$ olayının gerçekleşmeme olasılığı $P(B \cap A') = \frac{1}{4}$ ve bu iki olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığı $P(A \cup B) = \frac{3}{5}$ olarak verilmektedir.

Buna göre, hem $A$ hem de $B$ olayının birlikte gerçekleşme olasılığı olan $P(A \cap B)$ değeri kaçtır?

\frac{1}{12}

\frac{2}{5}

\frac{1}{60}

\frac{4}{15}

\frac{11}{35}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{60}$

Cevap

Hem

A

hem de

B

olayının birlikte gerçekleşme olasılığı

\frac{1}{60}

'tır.

İki olayın birleşim olasılığı, bu olayların kesişimi ile sadece birinin gerçekleşip diğerinin gerçekleşmediği fark olaylarının olasılıklarının toplamıdır.

P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(B \cap A') + P(A \cap B)

formülünde verilen değerleri yerine yazdığımızda

\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B)

denklemi elde edilir. Buradan

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}

toplamı bulunup birleşim olasılığı olan

\frac{3}{5}

'ten çıkarıldığında

P(A \cap B) = \frac{1}{60}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Birleşim formülünü fark ve kesişim kümeleri cinsinden ifade etme

P(A \cup B) = P(A \cap B') + P(B \cap A') + P(A \cap B)

İki olayın birleşimi; sadece ilk olayın gerçekleştiği, sadece ikinci olayın gerçekleştiği ve her ikisinin de gerçekleştiği ayrık bölgelerin toplamına eşittir.

2

Verilen olasılık değerlerini formülde yerine koyma

\frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(A \cap B)

Soruda verilen

P(A \cap B') = \frac{1}{3}

,

P(B \cap A') = \frac{1}{4}

ve

P(A \cup B) = \frac{3}{5}

değerlerini formüle yerleştirmek için.

3

Rasyonel sayıları toplama ve payda eşitleme

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

ve denklem

\frac{3}{5} = \frac{7}{12} + P(A \cap B)

halini alır.

Bilinmeyen kesişim olasılığını yalnız bırakmak amacıyla bilinen değerleri toplamak için.

4

P(A \cap B)

değerini bulmak için çıkarma işlemi yapma

P(A \cap B) = \frac{3}{5} - \frac{7}{12} = \frac{36}{60} - \frac{35}{60} = \frac{1}{60}

Denklemin her iki tarafından

\frac{7}{12}

çıkarıp paydaları 60'ta eşitleyerek kesi��im olasılığını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İki olayın birleşim olasılığı, bu olayların ayrık alt bölgelerinin olasılıklarının toplamına eşittir.

İpuçları

1

Birleşim kümesinin, kesişim kümesi ve fark kümelerinin birleşiminden oluştuğunu hatırlayın.

2

Venn şeması çizerek A fark B, B fark A ve A kesişim B bölgelerini yerleştirin. Bu üç bölgenin toplam olasılığı A birleşim B olasılığına eşit olacaktır.

3

3/5 = 1/3 + 1/4 + P(A kesişim B) denklemini kurun ve rasyonel sayılarda paydaları eşitleyerek bilinmeyeni çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda bağımsız olaylar verildiğinde kesişim olasılığının nasıl hesaplanacağını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması üzerinde tüm olasılıkları ortak bir payda olan 60'a genişleterek düşünebilirsiniz: P(A fark B) = 20/60, P(B fark A) = 15/60 ve P(A birleşim B) = 36/60 olur. Birleşim bölgesi bu üç parçanın toplamı olduğundan, kesişim bölgesi 36/60 - (20/60 + 15/60) = 1/60 olarak kolayca bulunabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

Bir

E

örnek uzayında tanımlı

A

ve

B

olayları için,

P(A') = \frac{2}{3}

P(B) = \frac{1}{2}

P(A' \cap B') = \frac{1}{4}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre, $A$ ve $B$ olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı olan $P(A \cap B)$ değeri kaçtır?

\frac{1}{12}

\frac{1}{6}

\frac{5}{12}

\frac{7}{12}

\frac{11}{12}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{1}{12}$

Cevap

Bir bölü on iki

De Morgan kuralları kullanılarak birleşim olasılığı

P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B') = \frac{3}{4}

olarak bulunur. Tümleyen kuralından

P(A) = 1 - P(A') = \frac{1}{3}

elde edilir. Bu değerler genel birleşim formülü olan

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

içinde yerine yazılıp paydalar eşitlendiğinde birlikte gerçekleşme olasılığı bir bölü on iki olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

P(A)

değerini bulmak için tümleyen özelliğini kullanın.

P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Birleşim formülünde olayın kendisinin olasılığına ihtiyaç duyulmaktadır.

2

De Morgan kurallarını kullanarak

P(A \cup B)

olasılığını elde edin.

P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) \Rightarrow P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

İki olayın tümleyenlerinin kesişimi, bu olayların birleşiminin tümleyenine eşittir.

3

Olasılık birleşim formülünü yazıp bilinen değerleri yerine koyarak kesişim olasılığını hesaplayın.

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - P(A \cap B)

paydalar 12'de eşitlendiğinde

\frac{9}{12} = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} - P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{12}

bulunur.

İki olayın birleşim ve kesişim olasılıkları arasındaki temel ilişkiyi kurmak için bu formül gereklidir.

Anahtar Kavram

Tümleyen Olaylar, De Morgan Kuralları ve Olasılık Birleşim Formülü

Tahmini Süre:1m 30s

Olasılık Kavramı ve Özellikleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar