Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKüp

Bir kenar uzunluğu 1515 birim olan ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' küpünde, [AC′][AC'] cisim köşegeni üzerinde 2∣AP∣=∣PC′∣2|AP| = |PC'| olacak şekilde bir PP noktası ve [CC′][CC'] yan ayrıtı üzerinde ∣CQ∣=2∣QC′∣|CQ| = 2|QC'| olacak şekilde bir QQ noktası işaretleniyor. Buna göre, PP ve QQ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevap: 15 birim

Cevap

P ve Q noktaları arasındaki uzaklık 15 birimdir.
P noktasının izdüşümü ile oluşturulan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
P noktasının taban düzlemi ABCD üzerindeki dik izdüşümü olan P' noktasını belirleyin ve yüksekliğini bulun.
P' noktası [AC] köşegeni üzerindedir ve |AP'| = 5\sqrt{2} birim, |P'C| = 10\sqrt{2} birimdir. P noktasının tabana uzaklığı (yüksekliği) ise 5 birimdir.
P noktası [AC'] cisim köşegeni üzerinde ve |AP| = (1/3)|AC'| oranında olduğundan, benzerlikten izdüşümü de köşegeni aynı oranda böler ve yüksekliği küpün yüksekliğinin üçte biri olur.
2
Q noktasının yerini ve tabandan yüksekliğini belirleyin.
Q noktası [CC'] üzerinde, C köşesinden 10 birim yüksekliktedir.
|CQ| = 2|QC'| olarak verildiği için [CC'] ayrıtı 2:1 oranında bölünür. Toplam uzunluk 15 birim olduğundan |CQ| = 10 birim olur.
3
P noktasından [CC'] ayrıtına bir dikme indirerek H noktasını oluşturun ve PHQ dik üçgenini elde edin.
PH ve HQ dik kenarlarına sahip PHQ dik üçgeni elde edilir. Burada |PH| = |P'C| = 10\sqrt{2} birim ve |HQ| = |10 - 5| = 5 birimdir.
P'den [CC']'ye çizilen yatay doğru parçası tabandaki [P'C]'ye paralel ve eşittir. H noktasının yüksekliği P ile aynı (5 birim) olduğundan, Q(10 birim) ile arasındaki düşey mesafe 5 birim olur.
4
PHQ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak |PQ| uzunluğunu hesaplayın.
|PQ|^2 = (10\sqrt{2})^2 + 5^2 = 200 + 25 = 225 ise |PQ| = 15 birim bulunur.
Yatay ve düşey doğrular birbirine dik olduğundan PHQ bir dik üçgendir.

Anahtar Kavram

Küp üzerinde verilen noktalar arası uzaklığı dik izdüşüm ve dik üçgen oluşturma (Pisagor) yöntemiyle bulma.
Bu soruyu puanla

Konular

Küp

Bu konudan daha fazla soru