Küp Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Tüm yüzey alanı $150$ birimkare olan bir küpün hacmi kaç birimküptür?

25

60

125

100

150

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 125

Cevap

125

Küpün tüm yüzey alanı

6a^2 = 150

olarak verilmiştir. Buradan bir ayrıtın karesi

a^2 = 25

ve ayrıt uzunluğu

a = 5

birim olarak elde edilir. Küpün hacmi

V = a^3

formülü ile hesaplandığı için

V = 5^3 = 125

birimküp bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Küpün yüzey alanı formülü kullanılarak bir ayrıtının karesini hesaplama

a^2 = 25

birimkare

Bir ayrıtı

a

olan küpün 6 adet eş karesel yüzü bulunduğundan tüm yüzey alanı

6a^2

formülü ile hesaplanır.

6a^2 = 150

eşitliğinden

a^2 = 25

elde edilir.

2

Küpün bir ayrıtının uzunluğunu bulma

a = 5

birim

a^2 = 25

eşitliğinde her iki tarafın karekökü alınarak küpün bir ayrıtının uzunluğu

5

birim olarak bulunur.

3

Küpün hacim formülü yardımıyla hacmini hesaplama

V = 125

birimküp

Bir ayrıtı

a

olan küpün hacmi

V = a^3

formülü ile hesaplanır. Buradan

V = 5^3 = 125

birimküp bulunur.

Anahtar Kavram

Küpün yüzey alanı ve hacim bağıntıları

İpuçları

1

Bir küpün birbirine eş 6 adet kare yüzü olduğunu hatırlayın.

2

Küpün tüm yüzey alanı 150 birimkare ise, bir yüzünün alanını bulmak için bu değeri 6'ya bölün. Buradan bir kenar uzunluğunu elde edin.

3

Bulduğunuz kenar uzunluğunu

a

olarak adlandırırsanız, hacmi bulmak için

a^3

formülünü uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Hacmi verilen bir küpün cisim köşegeninin uzunluğunu bulmaya yönelik soruları inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 2Soru →

Bir kenar uzunluğu $6$ birim olan $ABCDA'B'C'D'$ küpünde, $A$ köşesinin $C'D'$ ayrıtının orta noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

3\sqrt{5}

6\sqrt{2}

9

6\sqrt{3}

3\sqrt{6}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9

Küpün bir köşesinden karşı yüzeydeki bir ayrıtın orta noktasına olan uzaklık hesaplanırken dik izdüşüm yöntemi kullanılır.

C'D'

ayrıtının orta noktası

M

ve bu noktanın tabandaki dik izdüşümü

CD

'nin orta noktası olan

M'

olsun. Taban düzlemindeki

ADM'

dik üçgeninde

|AD| = 6

ve

|DM'| = 3

birim olduğundan

|AM'|^2 = 6^2 + 3^2 = 45

olur.

MM'

doğrusu tabana dik ve

|MM'| = 6

birim olduğundan,

AMM'

dik üçgeninde Pisagor bağıntısından

|AM|^2 = |AM'|^2 + |MM'|^2 = 45 + 36 = 81

bulunur. Buradan

|AM| = 9

birim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

C'D'

ayrıtının orta noktasın��

M

olarak adlandırın ve bu noktanın taban düzlemindeki dik izdüşümü olan

M'

noktasını belirleyin.

M'

noktası, taban düzlemindeki

CD

ayrıtının orta noktasıdır. Buna göre

|DM'| = 3

birim ve

|AD| = 6

birim olur.

Üç boyutlu uzayda iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamak için taban düzleminde bir dik izdüşüm noktası oluşturarak dik üçgenler elde edilir.

2

Taban düzleminde yer alan

ADM'

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|AM'|^2

değerini bulun.

|AM'|^2 = |AD|^2 + |DM'|^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45

birimkare.

AM'

uzunluğu, aranılan uzaklığın taban üzerindeki dik bileşenidir.

3

Küpün yüksekliği taban düzlemine dik olduğundan,

AMM'

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|AM|

uzunluğunu hesaplayın.

|AM|^2 = |AM'|^2 + |MM'|^2 = 45 + 6^2 = 45 + 36 = 81

olup, buradan

|AM| = 9

birim bulunur.

M

noktasının tabana olan dik uzaklığı küpün bir ayrıt uzunluğuna eşit olup

|MM'| = 6

birimdir.

Anahtar Kavram

Küp içindeki iki nokta arasındaki uzaklığı, dik izdüşüm ve ardışık Pisagor bağıntıları yardımıyla hesaplamak.

Soru 3Soru →

Bir kenar uzunluğu $15$ birim olan $ABCDA'B'C'D'$ küpünde, $[AC']$ cisim köşegeni üzerinde $2|AP| = |PC'|$ olacak şekilde bir $P$ noktası ve $[CC']$ yan ayrıtı üzerinde $|CQ| = 2|QC'|$ olacak şekilde bir $Q$ noktası işaretleniyor. Buna göre, $P$ ve $Q$ noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

P ve Q noktaları arasındaki uzaklık 15 birimdir.

P noktasının izdüşümü ile oluşturulan dik üçgende Pisagor teoremi uygulanarak doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

P noktasının taban düzlemi ABCD üzerindeki dik izdüşümü olan P' noktasını belirleyin ve yüksekliğini bulun.

P' noktası [AC] köşegeni üzerindedir ve |AP'| = 5\sqrt{2} birim, |P'C| = 10\sqrt{2} birimdir. P noktasının tabana uzaklığı (yüksekliği) ise 5 birimdir.

P noktası [AC'] cisim köşegeni üzerinde ve |AP| = (1/3)|AC'| oranında olduğundan, benzerlikten izdüşümü de köşegeni aynı oranda böler ve yüksekliği küpün yüksekliğinin üçte biri olur.

2

Q noktasının yerini ve tabandan yüksekliğini belirleyin.

Q noktası [CC'] üzerinde, C köşesinden 10 birim yüksekliktedir.

|CQ| = 2|QC'| olarak verildiği için [CC'] ayrıtı 2:1 oranında bölünür. Toplam uzunluk 15 birim olduğundan |CQ| = 10 birim olur.

3

P noktasından [CC'] ayrıtına bir dikme indirerek H noktasını oluşturun ve PHQ dik üçgenini elde edin.

PH ve HQ dik kenarlarına sahip PHQ dik üçgeni elde edilir. Burada |PH| = |P'C| = 10\sqrt{2} birim ve |HQ| = |10 - 5| = 5 birimdir.

P'den [CC']'ye çizilen yatay doğru parçası tabandaki [P'C]'ye paralel ve eşittir. H noktasının yüksekliği P ile aynı (5 birim) olduğundan, Q(10 birim) ile arasındaki düşey mesafe 5 birim olur.

4

PHQ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak |PQ| uzunluğunu hesaplayın.

|PQ|^2 = (10\sqrt{2})^2 + 5^2 = 200 + 25 = 225 ise |PQ| = 15 birim bulunur.

Yatay ve düşey doğrular birbirine dik olduğundan PHQ bir dik üçgendir.

Anahtar Kavram

Küp üzerinde verilen noktalar arası uzaklığı dik izdüşüm ve dik üçgen oluşturma (Pisagor) yöntemiyle bulma.

Soru 4Soru →

Bir küpte, bir cisim köşegeni ile bu cisim köşegeniyle ortak bir köşeye sahip olan yüzey köşegenlerinden biri arasındaki açının kosinüsü kaçtır?

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{3}

\frac{\sqrt{2}}{2}

\frac{\sqrt{6}}{2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Cevap

Kosinüs değeri \frac{\sqrt{6}}{3} olan seçenektir.

Küpün bir kenar uzunluğuna

a

dersek, yüzey köşegeninin uzunluğu

a\sqrt{2}

ve cisim köşegeninin uzunluğu

a\sqrt{3}

olur. Cisim köşegeni, komşu olduğu yüzey köşegeni ve küpün bir ayrıtı ile bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende cisim köşegeni hipotenüs, yüzey köşegeni ise komşu dik kenardır. Dolayısıyla bu iki köşegen arasındaki açının kosinüsü, komşu dik kenarın hipotenüse oranından

\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Küpün bir kenar uzunluğunu harflendirerek yüzey köşegeninin uzunluğunu bulunuz.

Küpün bir ayrıtının uzunluğu

a

olsun. Bir yüzdeki dik üçgenden Pisagor bağıntısı kullanılarak yüzey köşegeninin uzunluğu

a\sqrt{2}

olarak bulunur.

Cisim köşegeni ile yüzey köşegeni arasındaki açıyı bulabilmek için öncelikle bu köşegenlerin uzunluklarını küpün ayrıtı cinsinden ifade etmemiz gerekir.

2

Küpün cisim köşegeninin uzunluğunu Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz.

Cisim köşegeni, yüzey köşegeni ve bu köşegenlerin birleştiği dikey ayrıtın oluşturduğu dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak cisim köşegeninin uzunluğu

\sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = a\sqrt{3}

olarak bulunur.

Açının trigonometrik oranlarını hesaplayacağımız dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu belirlemek için cisim köşegeninin uzunluğunu hesaplamalıyız.

3

Köşegenlerin oluşturdu��u dik üçgende aralarındaki açının kosinüs değerini hesaplayınız.

Cisim köşegeni ile yüzey köşegeni arasındaki açı

\theta

olsun. Bu dik üçgende

\cos\theta = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

olarak hesaplanır.

Kosinüs fonksiyonunun tanımı komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır.

Anahtar Kavram

Küpün elemanları (ayrıt, yüzey köşegeni, cisim köşegeni) arasındaki metrik ve açısal ilişkiler.

Soru 5Soru →

Bir kenar uzunluğu $12$ birim olan bir $ABCDA'B'C'D'$ küpünde, $P$ noktası $[AC]$ yüzey köşegeni üzerinde ve $Q$ noktası $[C'D']$ ayrıtı üzerindedir.

$|AP| = 8\sqrt{2}$ birim ve $|D'Q| = 5$ birim olduğuna göre, $P$ ve $Q$ noktaları arasındaki en kısa uzaklık ( $|PQ|$ ) kaç birimdir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

P ve Q noktaları arasındaki en kısa uzaklık 13 birimdir.

Q noktasının taban düzlemindeki dik izdüşümü Q' olmak üzere, |QQ'| = 12 birimdir. Taban düzlemi olan ABCD karesinde P noktasının koordinatları (8, 8) ve Q' noktasının koordinatları (5, 12) olarak bulunur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık Pisagor bağıntısı ile |PQ'| = 5 birim olarak elde edilir. QQ' doğrusu taban düzlemine dik olduğundan, P Q' Q dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanarak |PQ|^2 = 5^2 + 12^2 = 169 bağıntısından en kısa uzaklık 13 birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Q noktasının taban düzlemine (ABCD yüzeyine) olan dik izdüşüm noktasını belirleyin.

İzdüşüm noktası Q' olup, [CD] ayrıtı üzerindedir. D köşesine uzaklığı 5 birimdir ve düşey yükseklik |QQ'| = 12 birimdir.

Üç boyutlu uzayda uzaklık hesabı yapabilmek için noktaları aynı düzleme indirgemek ve düşey bileşeni belirlemek gerekir.

2

P noktasının kenarlara olan uzaklıklarını veya koordinatlarını bulun.

|AP| = 8\sqrt{2} birim ve ABCD bir kare olduğundan, A köşesini orijin (0,0) olarak kabul edersek P noktasının koordinatları (8, 8) olur.

Karede köşegen üzerindeki bir noktanın kenarlara olan uzaklıkları, 45-45-90 dik üçgeninin kenar özelliklerine göre belirlenir.

3

Taban düzlemindeki P ve Q' noktaları arasındaki yatay uzaklığı Pisagor bağıntısı ile hesaplayın.

P(8,8) ve Q'(5,12) noktaları arasındaki uzaklık |PQ'|^2 = (8-5)^2 + (12-8)^2 = 3^2 + 4^2 = 25 olup buradan |PQ'| = 5 birim bulunur.

Düzlemdeki iki nokta arasındaki mesafe, dik bileşenlerinin farkının kareleri toplamının kareköküyle bulunur.

4

P Q' Q dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak |PQ| değerini bulun.

|PQ|^2 = |PQ'|^2 + |QQ'|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 olup, buradan |PQ| = 13 birim elde edilir.

QQ' doğrusu taban düzlemine dik olduğundan PQ' doğrusuna da diktir ve P Q' Q bir dik üçgendir.

Anahtar Kavram

Küp içinde noktalar arası uzaklık hesaplanırken dik izd��şüm yöntemi ve üç boyutlu Pisagor teoreminin uygulanması.

Soru 6Soru →

Bir cisim köşegeninin uzunluğu $4\sqrt{3}$ birim olan bir küpün tüm yüzey alanı kaç birimkaredir?

64

16

96

144

192

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $96$

Cevap

Küpün tüm yüzey alanı

96

birimkaredir.

Küpün cisim köşegen uzunluğu

a\sqrt{3}

formülü ile belirlenir.

4\sqrt{3}

birim olarak verilen cisim köşegeni yardımıyla küpün bir ayrıt uzunluğu

a = 4

birim olarak hesaplanır. Küpün tüm yüzey alanı ise 6 yüzünün alanları toplamı olan

6a^2

formülüyle bulunur. Buradan

6 \times 4^2 = 96

birimkare elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Cisim köşegeni formülünü kullanarak küpün bir ayrıt uzunluğunu bulun.

Küpün bir ayrıt uzunluğu

a = 4

birim olarak bulunur.

Bir kenar uzunluğu

a

olan küpün cisim köşegeni

a\sqrt{3}

formülüyle hesaplanır.

a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

eşitliğinden

a = 4

elde edilir.

2

Küpün tüm yüzey alanı formülünü kullanarak alanı hesaplayın.

Yüzey alanı

96

birimkare olarak bulunur.

Küpün 6 adet eş karesel yüzü olduğundan, tüm yüzey alanı

6a^2

formülüyle hesaplanır.

a = 4

için alan

6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96

olur.

Anahtar Kavram

Küpün cisim köşegeni ve tüm yüzey alanı formülleri arasındaki ilişki.

Soru 7Soru →

Bir ayrıtının uzunluğu $8$ birim olan $ABCDA'B'C'D'$ küpünde; $M$ noktası $[AB]$ ayrıtının, $N$ noktası $[CC']$ ayrıtının, $P$ noktası ise $[A'D']$ ayrıtının orta noktasıdır. Buna göre, köşeleri $M$ , $N$ ve $P$ olan $MNP$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

20\sqrt{3}

24\sqrt{3}

12\sqrt{3}

32\sqrt{3}

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $24\sqrt{3}$

Cevap

Köşeleri M, N ve P olan MNP üçgeninin alanı

24\sqrt{3}

birimkaredir.

Küpün belirtilen ayrıtlarının orta noktalarının koordinatları belirlenip iki nokta arası uzaklık formülüyle kenar uzunlukları hesaplandığında, üç kenarın da

4\sqrt{6}

birim olduğu görülür. Kenar uzunlukları eşit olan bu eşkenar üçgenin alanı

\frac{s^2\sqrt{3}}{4}

formülüyle

24\sqrt{3}

birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirip köşe koordinatlarını belirleme

B

köşesi orijin

(0,0,0)

alınırsa;

A(8,0,0)

,

C(0,8,0)

,

C'(0,8,8)

,

A'(8,0,8)

ve

D'(8,8,8)

koordinatları elde edilir.

Noktalar arasındaki mesafeleri analitik yöntemle hatasız şekilde hesaplayabilmek için koordinat sistemi tanımlanır.

2

M, N ve P orta noktalarının koordinatlarını hesaplama

M

noktası

[AB]

'nin orta noktası olduğundan

M(4,0,0)

,

N

noktası

[CC']

'nin orta noktası olduğundan

N(0,8,4)

ve

P

noktası

[A'D']

'nin orta noktası olduğundan

P(8,4,8)

koordinatları bulunur.

Orta nokta formülü

[(x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2, (z_1+z_2)/2]

kullanılarak hedef noktaların koordinatları belirlenir.

3

MNP üçgeninin kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplama

|MN| = \sqrt{(4-0)^2 + (0-8)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim,

|NP| = \sqrt{(0-8)^2 + (8-4)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim,

|PM| = \sqrt{(8-4)^2 + (4-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim bulunur.

Üçgenin kenar uzunlukları bulunarak üçgenin çeşidi (eşkenar üçgen) tespit edilir.

4

Eşkenar üçgenin alan formülünü uygulayarak alanı hesaplama

Bir kenar uzunluğu

s = 4\sqrt{6}

birim olan eşkenar üçgenin alanı:

\text{Alan} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{96\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}

birimkare olarak bulunur.

Kenarları eşit olan üçgen bir eşkenar üçgendir ve alanı bu formülle bulunur.

Anahtar Kavram

Küp üzerinde koordinat sistemi kurarak noktalar arası uzaklık hesaplama ve elde edilen eşkenar üçgenin alanını bulma.

Küp

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar