Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖzel Tanımlı İşlemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ▲\blacktriangle ve ▼\blacktriangledown işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

* n▲n^{\blacktriangle}: nn sayısının farklı asal bölenlerinin toplamı
* n▼n^{\blacktriangledown}: nn sayısının pozitif bölenlerinin sayısı

Buna göre,
x▲+x▼=15x^{\blacktriangle} + x^{\blacktriangledown} = 15
eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük xx doğal sayısı ile iki basamaklı en büyük xx doğal sayısının toplamı kaçtır?
  1. A
    61
  2. B
    76
  3. 111Cevap
  4. D
    126
  5. E
    138

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı en küçük sayı ile en büyük sayının toplamı 111'dir.
Verilen işlemlere göre x▲+x▼=15x^{\blacktriangle} + x^{\blacktriangledown} = 15 denklemini sağlayan iki basamaklı en küçük sayı 1313 (13+2=1513 + 2 = 15), en büyük sayı ise 9898'dir (98=2⋅72  ⟹  9+6=1598 = 2 \cdot 7^2 \implies 9 + 6 = 15). Bu iki değerin toplamı 111 seçeneğini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımları ve sınırları belirleme
x≥10x \ge 10 için xx en az bir asal bölene sahiptir. Bu durumda x▲≥2x^{\blacktriangle} \ge 2 ve x▼≥2x^{\blacktriangledown} \ge 2 olmalıdır. P=x▲P = x^{\blacktriangle} ve D=x▼D = x^{\blacktriangledown} dersek, P+D=15P + D = 15 denklemini incelememiz gerekir.
Değişkenlerin alabileceği değer aralıklarını s��nırlandırmak çözüm adımlarını kolaylaştırır.
2
D'nin küçük değerleri için durum analizi yapma (D=2D = 2 ve D=6D = 6 durumları)
1) D=2  ⟹  P=13D = 2 \implies P = 13: xx sayısının pozitif bölen sayısı 2 ise xx asal sayıdır. Asal bölenlerinin toplamı 13 ise x=13x = 13 olur (İki basamaklı en küçük çözüm).
2) D=6  ⟹  P=9D = 6 \implies P = 9: x=p2⋅qx = p^2 \cdot q formunda olmalıdır (p,qp, q farklı asallar). p+q=9  ⟹  p=2,q=7  ⟹  x=22⋅7=28p+q=9 \implies p=2, q=7 \implies x = 2^2 \cdot 7 = 28 veya p=7,q=2  ⟹  x=72⋅2=98p=7, q=2 \implies x = 7^2 \cdot 2 = 98 (İki basamaklı en büyük çözüm).
Çarpanlarına ayırma kurallarını kullanarak olası sayı formlarını elde etmek gerekir.
3
D'nin diğer değerleri için durum analizi yapma (D=8D = 8 ve D=10D = 10 durumları)
3) D=8  ⟹  P=7D = 8 \implies P = 7: x=p3⋅qx = p^3 \cdot q formunda olmalıdır. p+q=7  ⟹  p=2,q=5  ⟹  x=23⋅5=40p+q=7 \implies p=2, q=5 \implies x = 2^3 \cdot 5 = 40 elde edilir.
4) D=10  ⟹  P=5D = 10 \implies P = 5: x=p4⋅qx = p^4 \cdot q formunda olmalıdır. p+q=5  ⟹  p=2,q=3  ⟹  x=24⋅3=48p+q=5 \implies p=2, q=3 \implies x = 2^4 \cdot 3 = 48 elde edilir.
Tüm iki basamaklı çözümleri eksiksiz bularak en büyük ve en küçük değerlerden emin olmak hedeflenir.
4
En küçük ve en büyük değerlerin toplamını hesaplama
İki basamaklı en küçük xx değeri 13, en büyük xx değeri 98'dir. Toplamları: 13+98=11113 + 98 = 111 olur.
Soruda istenen nihai toplama işlemini gerçekleştirmek.

Anahtar Kavram

Asal Bölenler ve Pozitif Bölen Sayısı Üzerine Tanımlı Fonksiyonlar

İpuçları

1
xx sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali x=pa⋅qb…x = p^a \cdot q^b \dots olsun. Bu durumda pozitif bölen sayısını (a+1)(b+1)…(a+1)(b+1)\dots formülüyle hesaplayabileceğinizi hatırlayın.
2
x▲x^{\blacktriangle} ve x▼x^{\blacktriangledown} değerlerinin her ikisinin de en az 2 olması gerektiğini düşünerek toplamları 15 olan sayı ikililerini (2+132+13, 3+123+12, vb.) tek tek analiz edin.
3
Özellikle asal sayıların (D=2D=2) ve p2⋅qp^2 \cdot q formundaki sayıların (D=6D=6) bu eşitliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde x▲−x▼=5x^{\blacktriangle} - x^{\blacktriangledown} = 5 eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük sayıyı bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Çözüm aşamasında toplamları 15 olan pozitif bölen sayısı (DD) ve asal bölen toplamı (PP) değerleri için DD değerinin alabileceği sınırları düşünün. DD değeri büyüdükçe sayının çarpan sayısı artar, dolayısıyla iki basamaklı sayı sınırını aşma eğilimi gösterir. Bu nedenle sadece D∈{2,6,8,10}D \in \{2, 6, 8, 10\} durumlarını incelemek yeterlidir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru