Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ∗* ve Δ\Delta işlemleri,
a∗b=2a−ba * b = 2a - b
aΔb=a2−4ba \Delta b = a^2 - 4b
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x∗3)Δ5=5(x * 3) \Delta 5 = 5
eşitliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -3
  2. B
    0
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    12

Cevap

Eşitliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 33'tür.
Eşitliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı olan 33 değeri, öncelikle parantez içindeki x∗3x * 3 işleminin 2x−32x - 3 olarak bulunması, ardından (2x−3)Δ5=(2x−3)2−20=5(2x-3) \Delta 5 = (2x-3)^2 - 20 = 5 denkleminin çözülmesiyle elde edilir. Bu denklemin kökleri x=4x = 4 ve x=−1x = -1 tam sayılarıdır. Bu iki tam sayının toplamı 4+(−1)=34 + (-1) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Öncelikle parantez içindeki x∗3x * 3 işlemini tanımlanan kurala göre açalım.
x∗3=2x−3x * 3 = 2x - 3
a∗b=2a−ba * b = 2a - b tanımında aa yerine xx ve bb yerine 33 yazılmıştır.
2
Elde edilen ifadeyi Δ\Delta işleminde yerine koyarak denklemi kurala göre yazalım.
(2x−3)Δ5=(2x−3)2−4(5)=(2x−3)2−20(2x - 3) \Delta 5 = (2x - 3)^2 - 4(5) = (2x - 3)^2 - 20
aΔb=a2−4ba \Delta b = a^2 - 4b tanımında aa yerine (2x−3)(2x - 3) ve bb yerine 55 yazılmıştır.
3
Bulunan ifadeyi 55'e eşitleyip 2x−32x - 3 ifadesinin alabileceği değerleri bulalım.
(2x−3)2−20=5  ⟹  (2x−3)2=25  ⟹  2x−3=5(2x - 3)^2 - 20 = 5 \implies (2x - 3)^2 = 25 \implies 2x - 3 = 5 veya 2x−3=−52x - 3 = -5
Karesi 2525 olan sayılar 55 ve −5-5'tir.
4
Her iki durumu da çözerek xx değerlerini ve bu değerlerin toplamını hesaplayalım.
2x−3=5  ⟹  2x=8  ⟹  x=42x - 3 = 5 \implies 2x = 8 \implies x = 4 ve 2x−3=−5  ⟹  2x=−2  ⟹  x=−12x - 3 = -5 \implies 2x = -2 \implies x = -1 bulunur. Değerlerin toplamı ise 4+(−1)=34 + (-1) = 3 olur.
Her iki değer de tam sayı olduğu için çözüm kümesine dahil edilir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde işlem önceliğine dikkat ederek denklemleri çözme ve kareköklü denklemlerde negatif kökü göz ardı etmeme.
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru