Examkin

Özel Tanımlı İşlemler

28 soru

Tüm türler28Çoktan seçmeli22Sayısal6
Soru 1Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı [n][n] sembolü, nn sayısının farklı asal bölenlerinin toplamı olarak tanımlanıyor.

Örneğin, [12]=2+3=5[12] = 2 + 3 = 5 ve [25]=5[25] = 5 tir.

Buna göre,
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7
eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük xx pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı en küçük xx pozitif tam sayısı 11'dir.
Verilen [n][n] işlemi bir sayının farklı asal bölenlerinin toplamını bulmaktadır. [x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğinde, 10'un asal bölenleri olan 2 ve 5'in toplamı 7'dir. Bu toplamın [x][x] değerine aynen eklenebilmesi için, xx sayısının asal bölenleri arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır. İki basamaklı en küçük pozitif tam sayılardan başlayarak incelersek; 10 sayısı 2 ve 5'e bölünür, ancak 11 sayısı asal olup 2 ve 5'e bölünmez. Dolayısıyla en küçük değer 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
[x⋅10][x \cdot 10] ifadesini çözümlemek için 10 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
10=2⋅510 = 2 \cdot 5 olduğundan, 1010 sayısının asal bölenleri 22 ve 55'tir.
[n][n] işlemi farklı asal bölenlerin toplamını aldığından, çarpımın asal bölenlerini belirlememiz gerekir.
2
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğini sağlayan koşulu analiz edin.
[x⋅2⋅5]=[x]+7[x \cdot 2 \cdot 5] = [x] + 7 olur. 2+5=72 + 5 = 7 olduğundan, bu eşitliğin sağlanabilmesi için 22 ve 55 asal sayılarının xx sayısının asal bölenleri arasında yer almaması gerekir.
Eğer 22 veya 55 sayısı xx'in bir asal böleni olsaydı, [x⋅10][x \cdot 10] hesaplanırken bu sayılar tekrar toplanmayacağı için toplamdaki artış 7'den az olurdu.
3
xx sayısının sahip olması gereken özellikleri belirleyin.
xx sayısı 2 ve 5 ile bölünemeyen (yani 10 ile aralarında asal olan) bir sayı olmalıdır.
xx'in asal bölenleri arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır.
4
Bu koşulu sağlayan iki basamaklı en küçük pozitif tam sayıyı bulun.
İki basamaklı sayılar 10'dan başlar. 10 sayısı 2 ve 5'e bölünür. Bir sonraki sayı olan 11 sayısı ise ne 2'ye ne de 5'e bölünür. Dolayısıyla en küçük sayı 11'dir.
Koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı pozitif tam sayıyı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Bir sayının asal bölenleri toplamı fonksiyonu altında çarpım işleminin incelenmesi ve aralarında asallık ilişkisi.

İpuçları

1
10 sayısının asal bölenlerini belirleyip toplamlarını kontrol edin.
2
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğinde 7 değerinin, 10'un asal bölenleri olan 2 ve 5'in toplamı olduğunu fark edin.
3
Eşitliğin sağlanması için xx sayısının asal çarpanları arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır. İki basamaklı sayılardan bu kurala uyan en küçük olanını seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde [x⋅6]=[x]+5[x \cdot 6] = [x] + 5 eşitliğini sağlayan en küçük üç basamaklı sayıyı bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri doğrudan deneyerek de sonuca ulaşabilirsiniz. En küçük iki basamaklı seçenek olan 10'dan başlayarak sırayla deneriz: x=10x=10 için [100]=7[100]=7 ve [10]+7=14[10]+7=14 (sağlamaz). x=11x=11 için [110]=18[110]=18 ve [11]+7=18[11]+7=18 (sağlar). En küçük sayı arandığı için 11 doğru cevaptır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Her aa ve bb gerçel sayıları için ⊟\boxminus ve ⊞\boxplus işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

a⊟b=2a−ba \boxminus b = 2a - b
a⊞b=a+3ba \boxplus b = a + 3b

Buna göre,

(5⊟x)⊞4=19(5 \boxminus x) \boxplus 4 = 19

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Doğru cevaba ulaşmak için dıştaki işlem çözülür. (5⊟x)⊞4=19(5 \boxminus x) \boxplus 4 = 19 ifadesinde 5⊟x=y5 \boxminus x = y denilirse, y⊞4=19y \boxplus 4 = 19 olur. İşlem tanımından y+3⋅4=19  ⟹  y=7y + 3 \cdot 4 = 19 \implies y = 7 bulunur. Buradan 5⊟x=75 \boxminus x = 7 elde edilir. ⊟\boxminus işlemi uygulandığında 2⋅5−x=7  ⟹  10−x=7  ⟹  x=32 \cdot 5 - x = 7 \implies 10 - x = 7 \implies x = 3 elde edilir. Bu nedenle 3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
(5⊟x)⊞4=19(5 \boxminus x) \boxplus 4 = 19 eşitliğinde parantez içindeki ifadeye yy değişkeni atanır.
y=5⊟xy = 5 \boxminus x olmak üzere yeni denklem y⊞4=19y \boxplus 4 = 19 olur.
İşlemleri dıştan içe doğru sırayla çözebilmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
y⊞4y \boxplus 4 ifadesi tanımlanan işleme göre açılır ve yy değeri bulunur.
y+3⋅4=19  ⟹  y+12=19  ⟹  y=7y + 3 \cdot 4 = 19 \implies y + 12 = 19 \implies y = 7 elde edilir.
a⊞b=a+3ba \boxplus b = a + 3b işlem tanımını uygulamak için.
3
y=7y = 7 değeri y=5⊟xy = 5 \boxminus x eşitliğinde yerine yazılarak xx değeri çözülür.
5⊟x=7  ⟹  2⋅5−x=7  ⟹  10−x=7  ⟹  x=35 \boxminus x = 7 \implies 2 \cdot 5 - x = 7 \implies 10 - x = 7 \implies x = 3 bulunur.
a⊟b=2a−ba \boxminus b = 2a - b işlem tanımını uygulayarak bilinmeyen xx değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemler içeren eşitlikleri dıştan içe doğru değişken değiştirme yöntemiyle çözme.
Soru 3Soru →
Her aa ve bb gerçel sayıları için ⊗\otimes ve ⊕\oplus işlemleri,
a⊗b=2a−ba \otimes b = 2a - b
a⊕b=a+ba−b(a≠b)a \oplus b = \frac{a+b}{a-b} \quad (a \neq b)
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x⊗3)⊕5=2(x \otimes 3) \oplus 5 = 2
eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 9'dur.
Denklem adım adım çözüldüğünde, ⊕\oplus işleminin tanımından iç kısımdaki ifadenin değeri 15 olarak bulunur. Buradan da ⊗\otimes işleminin tanımı kullanılarak 2x−3=152x - 3 = 15 denklemi elde edilir ve bu denklemden x=9x = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikteki (x⊗3)(x \otimes 3) ifadesine geçici olarak AA değişkeni atayarak ⊕\oplus işleminin tanımını uygulayın.
A⊕5=2  ⟹  A+5A−5=2A \oplus 5 = 2 \implies \frac{A+5}{A-5} = 2
İç içe geçmiş işlemleri dıştan içe doğru çözebilmek için.
2
Elde edilen rasyonel denklemi içler dışlar çarpımı yaparak çözün ve AA değerini bulun.
A+5=2(A−5)  ⟹  A+5=2A−10  ⟹  A=15A + 5 = 2(A - 5) \implies A + 5 = 2A - 10 \implies A = 15
Bilinmeyen AA değerini yalnız bırakmak için.
3
AA yerine (x⊗3)(x \otimes 3) yazarak ⊗\otimes işleminin tanımını uygulayın.
x⊗3=15  ⟹  2x−3=15x \otimes 3 = 15 \implies 2x - 3 = 15
Bilinmeyen xx değerini içeren birinci dereceden denklemi elde etmek için.
4
Elde edilen denklemi xx için çözün.
2x=18  ⟹  x=92x = 18 \implies x = 9
xx gerçel sayısının değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerle kurulan denklemleri işlem önceliği ve cebirsel kurallara uygun olarak çözme.
Soru 4Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ∗* ve Δ\Delta işlemleri,
a∗b=2a−ba * b = 2a - b
aΔb=a2−4ba \Delta b = a^2 - 4b
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x∗3)Δ5=5(x * 3) \Delta 5 = 5
eşitliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 33'tür.
Eşitliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı olan 33 değeri, öncelikle parantez içindeki x∗3x * 3 işleminin 2x−32x - 3 olarak bulunması, ardından (2x−3)Δ5=(2x−3)2−20=5(2x-3) \Delta 5 = (2x-3)^2 - 20 = 5 denkleminin çözülmesiyle elde edilir. Bu denklemin kökleri x=4x = 4 ve x=−1x = -1 tam sayılarıdır. Bu iki tam sayının toplamı 4+(−1)=34 + (-1) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Öncelikle parantez içindeki x∗3x * 3 işlemini tanımlanan kurala göre açalım.
x∗3=2x−3x * 3 = 2x - 3
a∗b=2a−ba * b = 2a - b tanımında aa yerine xx ve bb yerine 33 yazılmıştır.
2
Elde edilen ifadeyi Δ\Delta işleminde yerine koyarak denklemi kurala göre yazalım.
(2x−3)Δ5=(2x−3)2−4(5)=(2x−3)2−20(2x - 3) \Delta 5 = (2x - 3)^2 - 4(5) = (2x - 3)^2 - 20
aΔb=a2−4ba \Delta b = a^2 - 4b tanımında aa yerine (2x−3)(2x - 3) ve bb yerine 55 yazılmıştır.
3
Bulunan ifadeyi 55'e eşitleyip 2x−32x - 3 ifadesinin alabileceği değerleri bulalım.
(2x−3)2−20=5  ⟹  (2x−3)2=25  ⟹  2x−3=5(2x - 3)^2 - 20 = 5 \implies (2x - 3)^2 = 25 \implies 2x - 3 = 5 veya 2x−3=−52x - 3 = -5
Karesi 2525 olan sayılar 55 ve −5-5'tir.
4
Her iki durumu da çözerek xx değerlerini ve bu değerlerin toplamını hesaplayalım.
2x−3=5  ⟹  2x=8  ⟹  x=42x - 3 = 5 \implies 2x = 8 \implies x = 4 ve 2x−3=−5  ⟹  2x=−2  ⟹  x=−12x - 3 = -5 \implies 2x = -2 \implies x = -1 bulunur. Değerlerin toplamı ise 4+(−1)=34 + (-1) = 3 olur.
Her iki değer de tam sayı olduğu için çözüm kümesine dahil edilir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde işlem önceliğine dikkat ederek denklemleri çözme ve kareköklü denklemlerde negatif kökü göz ardı etmeme.
Soru 5Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı ∗* işlemi, her aa ve bb tam sayısı için
a∗b=2a−ba * b = 2a - b
biçiminde tan��mlanıyor.
(x∗2)∗3=13(x * 2) * 3 = 13
olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemi sağlayan xx değeri 5'tir.
Verilen işlem tanımına göre, a∗b=2a−ba * b = 2a - b kuralı ardışık olarak uygulanır. Önce parantez içindeki x∗2x * 2 ifadesi 2x−22x - 2 olarak bulunur. Daha sonra bu sonuç ile 3 sayısı tekrar işleme sokulur: (2x−2)∗3=2(2x−2)−3=4x−7(2x - 2) * 3 = 2(2x - 2) - 3 = 4x - 7. Bu ifade 13'e eşitlendiğinde 4x−7=134x - 7 = 13 denklemi elde edilir. Buradan 4x=204x = 20 ve x=5x = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki x∗2x * 2 ifadesini işlem tanım��na göre açın.
x∗2=2x−2x * 2 = 2x - 2
İşlem önceliğine göre önce parantez içi hesaplanır.
2
Bulunan 2x−22x - 2 ifadesini dıştaki ∗* işleminde birinci bileşen olarak kullanarak işlemi uygulayın.
4x−74x - 7
(2x−2)∗3=2(2x−2)−3=4x−7(2x - 2) * 3 = 2(2x - 2) - 3 = 4x - 7 olur.
3
Bulunan sonucu 13'e eşitleyin ve xx değerini bulun.
x=5x = 5
4x−7=13  ⟹  4x=20  ⟹  x=54x - 7 = 13 \implies 4x = 20 \implies x = 5 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemin cebirsel kurallara göre uygulanması ve denklem çözümü.
Soru 6Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi,
aΔb=3a−ba \Delta b = 3a - b
biçiminde tanımlanıyor.
(3Δx)Δ4=11(3 \Delta x) \Delta 4 = 11
olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bilinmeyen x değeri 4 olmalıdır.
Verilen kurala göre öncelikle parantez içindeki 3Δx3 \Delta x işlemi yapılır ve 3⋅3−x=9−x3 \cdot 3 - x = 9 - x elde edilir. Bu sonuç dıştaki işleme yerleştirildiğinde (9−x)Δ4=11(9 - x) \Delta 4 = 11 eşitliği kurulur. Kural tekrar uygulandığında 3(9−x)−4=113(9 - x) - 4 = 11 denklemi elde edilir. Parantez dağıtılıp düzenlendiğinde 27−3x−4=11  ⟹  23−3x=11  ⟹  3x=12  ⟹  x=427 - 3x - 4 = 11 \implies 23 - 3x = 11 \implies 3x = 12 \implies x = 4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
3Δx3 \Delta x parantez içi ifadesini kurala göre açmak
3Δx=9−x3 \Delta x = 9 - x
İşlem önceliğine göre önce parantez içi hesaplanır.
2
9−x9 - x sonucunu dıştaki işleme uygulayarak denklem kurmak
3(9−x)−4=113(9 - x) - 4 = 11
Dıştaki işlem olan (9−x)Δ4(9 - x) \Delta 4 ifadesini çözüme kavuşturmak için.
3
Elde edilen denklemi çözerek x değerini bulmak
23−3x=11  ⟹  3x=12  ⟹  x=423 - 3x = 11 \implies 3x = 12 \implies x = 4
Bilinmeyen x değişkenini yalnız bırakarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlem kurallarını sırasıyla uygulayarak birinci dereceden denklem çözme
Soru 7Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⋆\star ve ∙\bullet işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:

Her a,ba, b pozitif tam sayısı için;
1. a⋆1=a+1a \star 1 = a + 1
2. a⋆(b+1)=(a⋆b)⋆ba \star (b + 1) = (a \star b) \star b

ve

a∙b=2a⋆b−2aa \bullet b = 2^{a \star b} - 2^a

biçimindedir.

Buna göre, a∙b=240a \bullet b = 240 eşitliğini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayıları için a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Doğru cevap olan 7 değerine ulaşmak için öncelikle ⋆\star işleminin ilk birkaç terimi hesaplanarak genel örüntüsü belirlenir. a⋆b=a+2b−1a \star b = a + 2^{b-1} formülü elde edildikten sonra ∙\bullet işleminde yerine yazılarak 2a(22b−1−1)=2402^a(2^{2^{b-1}} - 1) = 240 denklemi kurulur. 240 sayısı 24⋅152^4 \cdot 15 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, pozitif tam sayılarda tek çözümün a=4a=4 ve b=3b=3 olduğu görülür. Buradan a+b=7a+b=7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
⋆\star işleminin özyinelemeli (recursive) tanımını analiz etmek ve küçük bb değerleri için sonuçları hesaplamak.
b=1b = 1 için a⋆1=a+1a \star 1 = a + 1, b=2b = 2 için a⋆2=(a⋆1)⋆1=(a+1)+1=a+2a \star 2 = (a \star 1) \star 1 = (a+1)+1 = a + 2, b=3b = 3 için a⋆3=(a⋆2)⋆2=(a+2)+2=a+4a \star 3 = (a \star 2) \star 2 = (a+2)+2 = a + 4 ve b=4b = 4 için a⋆4=(a⋆3)⋆3=(a+4)+4=a+8a \star 4 = (a \star 3) \star 3 = (a+4)+4 = a + 8 elde edilir.
İşlemin genel kuralını (örüntüsünü) keşfetmek için ilk birkaç terimi görmek gerekir.
2
Elde edilen sonuçlardaki artış miktarını inceleyerek genel bir formül bulmak.
a⋆b=a+2b−1a \star b = a + 2^{b-1} formülüne ulaşılır.
Eklenen sayıların her adımda 2'nin kuvvetleri şeklinde katlanarak arttığını (1,2,4,8,…1, 2, 4, 8, \dots) belirlemek için.
3
Bulunan genel formülü ∙\bullet işleminin tanımında yerine yazmak.
a∙b=2a+2b−1−2a=2a(22b−1−1)a \bullet b = 2^{a + 2^{b-1}} - 2^a = 2^a (2^{2^{b-1}} - 1) ifadesi elde edilir.
Denklemi çözülebilir bir çarpım durumuna getirmek için ortak paranteze almak gerekir.
4
a∙b=240a \bullet b = 240 denklemini pozitif tam sayılarda çözmek.
2a(22b−1−1)=16⋅15  ⟹  a=42^a (2^{2^{b-1}} - 1) = 16 \cdot 15 \implies a = 4 ve 2b−1=4  ⟹  b−1=2  ⟹  b=32^{b-1} = 4 \implies b-1 = 2 \implies b = 3 olarak bulunur.
240 sayısını bir 2'nin kuvveti ile tek bir sayının çarpımı şeklinde yazarak (24⋅152^4 \cdot 15) eşleştirmek için.
5
a+ba + b toplamını hesaplamak.
a+b=4+3=7a + b = 4 + 3 = 7 bulunur.
Soruda bizden istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı özyinelemeli (recursive) işlemlerin genel terimini bulma ve üslü denklem çözümü.
Soru 8Soru →
Tam sayılar kümesinde tanımlı △\triangle ve ⋆\star işlemleri her aa ve bb tam sayısı için
a△b=2a+b+2a \triangle b = 2a + b + 2
a⋆b=3a−ba \star b = 3a - b
biçiminde tanımlanıyor.
(x△2)⋆5=13(x \triangle 2) \star 5 = 13
olduğuna göre, xx tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Buna göre, xx tam sayısı 1 olmalıdır.
Doğru seçenekte verilen değer, tanımlanan işlemleri sırasıyla uygulayarak (x△2)⋆5=13(x \triangle 2) \star 5 = 13 eşitliğini sağlar. İlk olarak y⋆5=13y \star 5 = 13 eşitliğinden y=6y = 6 bulunur. Ardından x△2=6x \triangle 2 = 6 eşitliği çözülerek x=1x = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
(x△2)⋆5=13(x \triangle 2) \star 5 = 13 eşitliğinde parantez içindeki x△2x \triangle 2 ifadesine yy diyerek denklemi basitleştirin.
y⋆5=13y \star 5 = 13
Öncelikle dıştaki işlemi çözmek için değişken dönüşümü yapmak işlem adımlarını kolaylaştırır.
2
y⋆5=13y \star 5 = 13 eşitliğinde ⋆\star işleminin tanımını (a⋆b=3a−ba \star b = 3a - b) uygulayarak yy değerini hesaplayın.
3y−5=13  ⟹  3y=18  ⟹  y=63y - 5 = 13 \implies 3y = 18 \implies y = 6
Dış işlemin sonucunu bularak parantez içindeki ifadenin değerini elde etmek.
3
y=6y = 6 ise x△2=6x \triangle 2 = 6 eşitliğinde △\triangle işleminin tanımını (a△b=2a+b+2a \triangle b = 2a + b + 2) uygulayarak xx değerini bulun.
2x+2+2=6  ⟹  2x+4=6  ⟹  2x=2  ⟹  x=12x + 2 + 2 = 6 \implies 2x + 4 = 6 \implies 2x = 2 \implies x = 1
İçteki işlemin tanımını kullanarak bilinmeyen xx değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemler ve denklem çözme
Soru 9Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ⊙\odot işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x⊙y=3x+y−2(y⊙x)x \odot y = 3x + y - 2(y \odot x)
eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre, 4⊙24 \odot 2 işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen işlem tanımında 4⊙24 \odot 2 ve 2⊙42 \odot 4 ifadeleri birbirine bağlı iki bilinmeyen oluşturmaktadır. Bu ifadelere sırasıyla AA ve BB denilirse, A=14−2BA = 14 - 2B ve B=10−2AB = 10 - 2A doğrusal denklem sistemi elde edilir. Bu sistemde yerine koyma yöntemi uygulandığında A=2A = 2 olarak çözülür. Bu da aradığımız 4⊙24 \odot 2 işleminin sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1
4⊙24 \odot 2 ifadesini bulmak için verilen tanımda x=4x = 4 ve y=2y = 2 yazılır.
4⊙2=3(4)+2−2(2⊙4)  ⟹  4⊙2=14−2(2⊙4)4 \odot 2 = 3(4) + 2 - 2(2 \odot 4) \implies 4 \odot 2 = 14 - 2(2 \odot 4) elde edilir.
İstenen ifadeyi, değişkenlerin yer değiştirmiş hali olan diğer bilinmeyen cinsinden yazmak için.
2
2⊙42 \odot 4 ifadesini bulmak için tanımda x=2x = 2 ve y=4y = 4 yazılır.
2⊙4=3(2)+4−2(4⊙2)  ⟹  2⊙4=10−2(4⊙2)2 \odot 4 = 3(2) + 4 - 2(4 \odot 2) \implies 2 \odot 4 = 10 - 2(4 \odot 2) elde edilir.
İki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurabilmek amacıyla ikinci bağıntıyı elde etmek için.
3
4⊙2=A4 \odot 2 = A ve 2⊙4=B2 \odot 4 = B dönüşümleri yapılarak elde edilen denklem sistemi çözülür.
A=14−2BA = 14 - 2B ve B=10−2AB = 10 - 2A denklem sistemi elde edilir. İkinci denklem birincide yerine yazılırsa: A=14−2(10−2A)  ⟹  A=14−20+4A  ⟹  A=−6+4A  ⟹  3A=6  ⟹  A=2A = 14 - 2(10 - 2A) \implies A = 14 - 20 + 4A \implies A = -6 + 4A \implies 3A = 6 \implies A = 2 bulunur.
Bilinmeyenlerden AA değerini, yani 4⊙24 \odot 2 işleminin sonucunu bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişme özelliği olmayan işlemlerde, değişkenlerin yerleri değiştirilerek iki bilinmeyenli denklem sistemleri kurulur ve ortak çözüm yöntemiyle sonuca ulaşılır.

İpuçları

1
4⊙24 \odot 2 değerini hesaplamak için verilen tanımda xx yerine 4, yy yerine 2 yazarak ilk denklemi kurun.
2
Elde ettiğiniz denklemde yer alan 2⊙42 \odot 4 ifadesini bulmak için bu kez tanımda xx yerine 2, yy yerine 4 yazarak ikinci bir denklem oluşturun.
3
4⊙2=A4 \odot 2 = A ve 2⊙4=B2 \odot 4 = B değişken dönüşümlerini uygulayarak elde ettiğiniz iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde değişme özelliği olmayan ve kendisiyle ilişkili tanımlanan diğer işlem ve fonksiyon tiplerinde de değişkenlerin rollerini değiştirip sistem kurarak sonuca gidebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İşlem tanımını genel olarak çözmek de mümkündür. x⊙y=Ax \odot y = A ve y⊙x=By \odot x = B olsun. Buradan A=3x+y−2BA = 3x + y - 2B ve B=3y+x−2AB = 3y + x - 2A denklem sistemi yazılır. İkinci denklem birincide yerine yazılıp düzenlenirse, genel işlem formülü x⊙y=5y−x3x \odot y = \frac{5y - x}{3} olarak elde edilir. Bu formülde x=4x=4 ve y=2y=2 yazıldığında doğrudan 4⊙2=5(2)−43=24 \odot 2 = \frac{5(2) - 4}{3} = 2 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 10Soru →
Her aa ve bb gerçel sayısı için □\square işlemi,
a□b=a2−2ba \square b = a^2 - 2b
biçiminde tan��mlanıyor.

Buna göre, 4□54 \square 5 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İşlemin doğru sonucu 6 olarak bulunur.
İşlem tanımında birinci bileşen olan aa yerine 44, ikinci bileşen olan bb yerine 55 yazıldığında 42−2×5=16−10=64^2 - 2 \times 5 = 16 - 10 = 6 değeri elde edilir. Bu nedenle doğru yanıt 6 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan işlemde birinci bile��en olan aa yerine 44 ve ikinci bileşen olan bb yerine 55 yazılır.
4□5=42−2×54 \square 5 = 4^2 - 2 \times 5 ifadesi elde edilir.
İşlem tanımında birinci bileşen aa, ikinci bileşen ise bb değişkenine karşılık gelmektedir.
2
424^2 üslü ifadesinin değeri hesaplanır.
42=164^2 = 16 bulunur.
44 sayısının karesi kendisiyle çarpılarak hesaplanır.
3
2×52 \times 5 çarpım işleminin değeri hesaplanır.
2×5=102 \times 5 = 10 bulunur.
İşlem önceliğine göre çıkarma yapılmadan önce çarpma işlemi tamamlanmalıdır.
4
Elde edilen sonuçlar çıkarılarak nihai sonuca ulaşılır.
16−10=616 - 10 = 6 bulunur.
Çıkarma işlemi gerçekleştirilerek işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin yerine doğru yerleştirilmesi ve işlem önceliği kurallarının uygulanması.
Tahmini Süre:45s
Soru 11Soru →
Her aa ve bb gerçel sayısı için ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:
a⊕b=a2−ba \oplus b = a^2 - b
a⊗b=a+2ba \otimes b = a + 2b
Buna göre,
((x⊗3)⊕9)⊗6=19((x \otimes 3) \oplus 9) \otimes 6 = 19
eşitliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -12

Cevap

-12
Verilen işlemlere göre en dıştaki işlemden başlanarak sırasıyla A=(x⊗3)⊕9A = (x \otimes 3) \oplus 9 için A⊗6=19A \otimes 6 = 19 eşitliğinden A=7A = 7 bulunur. Ardından B=x⊗3B = x \otimes 3 olmak üzere B⊕9=7B \oplus 9 = 7 eşitliğinden B2−9=7⇒B2=16B^2 - 9 = 7 \Rightarrow B^2 = 16 ve buradan B=4B = 4 veya B=−4B = -4 elde edilir. Son olarak ⊗\otimes işleminin tanımı kullanılarak x⊗3=4⇒x+6=4⇒x=−2x \otimes 3 = 4 \Rightarrow x + 6 = 4 \Rightarrow x = -2 ve x⊗3=−4⇒x+6=−4⇒x=−10x \otimes 3 = -4 \Rightarrow x + 6 = -4 \Rightarrow x = -10 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin toplamı ise −12-12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
En dıştaki ⊗\otimes işlemini çözmek için A=(x⊗3)⊕9A = (x \otimes 3) \oplus 9 tanımı yapılarak A⊗6=19A \otimes 6 = 19 denklemi kurulur.
A+2(6)=19⇒A+12=19⇒A=7A + 2(6) = 19 \Rightarrow A + 12 = 19 \Rightarrow A = 7 elde edilir.
⊗\otimes işleminin tanımına göre birinci terim ile ikinci terimin iki katı toplanır.
2
A=7A = 7 değeri yerine yazılarak (x⊗3)⊕9=7(x \otimes 3) \oplus 9 = 7 denklemi çözülür.
(x⊗3)2−9=7⇒(x⊗3)2=16(x \otimes 3)^2 - 9 = 7 \Rightarrow (x \otimes 3)^2 = 16 bulunur. Buradan x⊗3=4x \otimes 3 = 4 veya x⊗3=−4x \otimes 3 = -4 elde edilir.
⊕\oplus işleminin tanımına göre birinci terimin karesinden ikinci terim çıkarılır. Karesi 16 olan tam sayılar 4 ve -4'tür.
3
Elde edilen x⊗3=4x \otimes 3 = 4 ve x⊗3=−4x \otimes 3 = -4 eşitlikleri xx için ayrı ayrı çözülür.
x⊗3=4⇒x+6=4⇒x=−2x \otimes 3 = 4 \Rightarrow x + 6 = 4 \Rightarrow x = -2 ve x⊗3=−4⇒x+6=−4⇒x=−10x \otimes 3 = -4 \Rightarrow x + 6 = -4 \Rightarrow x = -10 bulunur.
⊗\otimes işleminin tanımına göre x⊗3=x+2(3)=x+6x \otimes 3 = x + 2(3) = x + 6 olur. Bu eşitliklerden xx değerleri yalnız bırakılarak kökler bulunur.
4
Bulunan xx tam sayı değerleri toplanır.
−2+(−10)=−12-2 + (-10) = -12 sonucuna ulaşılır.
Soruda eşitliği sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler ve Denklem Çözümü
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 12Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ⋆\star işlemi, her aa ve bb pozitif tam sayısı için

a⋆b={a+2b,a<b2a−b,a≥ba \star b = \begin{cases} a + 2b, & a < b \\ 2a - b, & a \geq b \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(3⋆4)⋆(5⋆2)(3 \star 4) \star (5 \star 2)

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İşlemin sonucu 14 olarak bulunur.
Verilen parçalı işlem tanımına göre her adımın koşulu doğru bir şekilde kontrol edilmiştir. 3⋆43 \star 4 işleminde 3<43 < 4 olduğu için birinci formülden 1111; 5⋆25 \star 2 işleminde 5≥25 \geq 2 olduğu için ikinci formülden 88 elde edilmiştir. Son olarak 11⋆811 \star 8 işleminde 11≥811 \geq 8 olduğu için ikinci formül uygulanarak 22−8=1422 - 8 = 14 sonucuna ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk parantez içindeki 3⋆43 \star 4 işlemini hesaplamak.
3⋆4=113 \star 4 = 11
3<43 < 4 olduğu için parçalı tanımın ilk satırı (a+2ba + 2b) uygulanır: 3+2⋅4=3+8=113 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11 elde edilir.
2
İkinci parantez içindeki 5⋆25 \star 2 işlemini hesaplamak.
5⋆2=85 \star 2 = 8
5≥25 \geq 2 olduğu için parçalı tanımın ikinci satırı (2a−b2a - b) uygulanır: 2⋅5−2=10−2=82 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8 elde edilir.
3
Elde edilen sonuçları ana işlemde yerine koyarak 11⋆811 \star 8 işlemini hesaplamak.
11⋆8=1411 \star 8 = 14
11≥811 \geq 8 olduğu için parçalı tanımın ikinci satırı (2a−b2a - b) uygulanır: 2⋅11−8=22−8=142 \cdot 11 - 8 = 22 - 8 = 14 elde edilir.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlar veya parçalı tanımlı işlemlerin verilen koşullara göre adım adım hesaplanması.

İpuçları

1
İşlemleri parantez içinden başlayarak adım adım çözün. Her bir adımda hangi sayıların hangi koşulu sağladığını kontrol edin.
2
3⋆43 \star 4 işleminde a=3a=3 ve b=4b=4'tür. 3<43 < 4 olduğu için üstteki formülü kullanmalısınız.
3
3⋆4=113 \star 4 = 11 ve 5⋆2=85 \star 2 = 8 değerlerini bulduktan sonra, bulduğunuz bu değerlerle son adım olarak 11⋆811 \star 8 işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde tanımlanmış ancak içinde negatif sayılar barındıran parçalı işlemleri çözerek işaret kurallarına ve koşullara olan hakimiyetinizi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →
Her xx ve yy gerçel sayısı için ⋆\star ve △\triangle işlemleri
x⋆y=2x−yx \star y = 2x - y
x△y=x⋅y−5x \triangle y = x \cdot y - 5
şeklinde veriliyor.
Buna göre,
(3⋆a)△4=7(3 \star a) \triangle 4 = 7
denklemini sağlayan aa değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Doğru sonuca ulaşmak için parantez içi 3⋆a=A3 \star a = A olarak kabul edilir. İkinci işlem kuralı olan A△4=7A \triangle 4 = 7 uygulandığında 4A−5=7  ⟹  4A=12  ⟹  A=34A - 5 = 7 \implies 4A = 12 \implies A = 3 bulunur. Daha sonra 3⋆a=33 \star a = 3 eşitliği birinci işlem kuralına göre açıldığında 2(3)−a=3  ⟹  6−a=3  ⟹  a=32(3) - a = 3 \implies 6 - a = 3 \implies a = 3 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
(3⋆a)(3 \star a) ifadesini AA olarak değişken değiştirip denklemi sadeleştirmek.
A△4=7A \triangle 4 = 7 denklemi elde edilir.
Öncelikle dıştaki işlemi çözerek içteki ifadenin değerine ulaşmak.
2
A△4=7A \triangle 4 = 7 denklemini △\triangle işleminin tanımına göre açarak AA değerini bulmak.
A⋅4−5=7  ⟹  4A=12  ⟹  A=3A \cdot 4 - 5 = 7 \implies 4A = 12 \implies A = 3 bulunur.
Birinci işlemin sonucunu bulmak için tanımlanan kuralı uygulamak.
3
A=3⋆a=3A = 3 \star a = 3 eşitliğini ⋆\star işleminin tanımına göre açarak aa değerini bulmak.
2(3)−a=3  ⟹  6−a=3  ⟹  a=32(3) - a = 3 \implies 6 - a = 3 \implies a = 3 bulunur.
İçteki işlemin kuralını uygulayarak bilinmeyen aa değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler
Soru 14Soru →
Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy pozitif gerçel sayısı için
x△y=x+y1+x⋅yx \triangle y = \frac{x+y}{1 + x \cdot y}
şeklinde veriliyor.
Buna göre,
(12△x)△13=79\left( \frac{1}{2} \triangle x \right) \triangle \frac{1}{3} = \frac{7}{9}
eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17\frac{1}{7}

Cevap

İki bölü yedi yerine bir bölü yedi olan değer doğru cevaptır.
İşlem adımları sırasıyla takip edildiğinde, 12△x=y\frac{1}{2} \triangle x = y dönüşümüyle dıştaki işlem çözülerek y=35y = \frac{3}{5} bulunur. Ardından 12△x=35\frac{1}{2} \triangle x = \frac{3}{5} denklemi kurulup rasyonel ifadeler düzenlendiğinde x=17x = \frac{1}{7} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki işlem olan 12△x\frac{1}{2} \triangle x ifadesine yy diyerek dıştaki işlemi tek bir değişkene indirgeyin.
y△13=79y \triangle \frac{1}{3} = \frac{7}{9} denklemi elde edilir.
İç içe geçmiş işlemleri sırayla çözebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
y△13y \triangle \frac{1}{3} ifadesini işlem tanımına göre yazıp yy değerini bulun.
y+131+y⋅13=79⇒3y+13+y=79\frac{y + \frac{1}{3}}{1 + y \cdot \frac{1}{3}} = \frac{7}{9} \Rightarrow \frac{3y+1}{3+y} = \frac{7}{9}
İçler dışlar çarpımı yapıldığında:
9(3y+1)=7(3+y)⇒27y+9=21+7y⇒20y=12⇒y=359(3y+1) = 7(3+y) \Rightarrow 27y+9 = 21+7y \Rightarrow 20y=12 \Rightarrow y = \frac{3}{5} bulunur.
Tanımlanan özel işlemi uygulayarak rasyonel bir denklem elde etmek ve çözmek amaçlanmıştır.
3
y=35y = \frac{3}{5} değerini yerine yazarak 12△x=35\frac{1}{2} \triangle x = \frac{3}{5} denklemini çözün.
12+x1+12⋅x=35⇒1+2x2+x=35\frac{\frac{1}{2} + x}{1 + \frac{1}{2} \cdot x} = \frac{3}{5} \Rightarrow \frac{1+2x}{2+x} = \frac{3}{5}
İçler dışlar çarpımı yapıldığında:
5(1+2x)=3(2+x)⇒5+10x=6+3x⇒7x=1⇒x=175(1+2x) = 3(2+x) \Rightarrow 5+10x = 6+3x \Rightarrow 7x=1 \Rightarrow x = \frac{1}{7} bulunur.
Ara değişkenin değeri kullanılarak başlangıçtaki bilinmeyen olan xx değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı fonksiyonlarda/işlemlerde değişken değiştirme yöntemi ve rasyonel denklemlerin çözümü.
Soru 15Soru →
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı ⟨n⟩\langle n \rangle işlemi,
⟨n⟩=n⋅s(B(n))\langle n \rangle = n \cdot s(B(n))
olarak tanımlanıyor. Burada s(B(n))s(B(n)), nn sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısıdır.
Buna göre,
⟨10⟩⋅⟨6⟩⟨15⟩\frac{\langle 10 \rangle \cdot \langle 6 \rangle}{\langle 15 \rangle}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

İşlemin sonucu 16 olarak bulunur.
Tanımlanan işlem kuralları uygulandığında 10, 6 ve 15 sayılarının her birinin pozitif bölen sayısının 4 olduğu görülür. Buradan elde edilen değerler ⟨10⟩=40\langle 10 \rangle = 40, ⟨6⟩=24\langle 6 \rangle = 24 ve ⟨15⟩=60\langle 15 \rangle = 60 şeklindedir. Kesirli ifadede yerlerine yazılıp sadeleştirme yapıldığında doğru sonuç 16 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
10 sayısı için tanımlanan işlemi hesaplama
10 sayısının pozitif bölenleri {1,2,5,10}\{1, 2, 5, 10\} olup sayısı s(B(10))=4s(B(10)) = 4 tanedir. Tanımdan ⟨10⟩=10⋅4=40\langle 10 \rangle = 10 \cdot 4 = 40 elde edilir.
İfadedeki ilk çarpanın değerini bulmak için.
2
6 sayısı i��in tanımlanan işlemi hesaplama
6 sayısının pozitif bölenleri {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} olup sayısı s(B(6))=4s(B(6)) = 4 tanedir. Tanımdan ⟨6⟩=6⋅4=24\langle 6 \rangle = 6 \cdot 4 = 24 elde edilir.
İfadedeki ikinci çarpanın değerini bulmak için.
3
15 sayısı için tanımlanan işlemi hesaplama
15 sayısının pozitif bölenleri {1,3,5,15}\{1, 3, 5, 15\} olup sayısı s(B(15))=4s(B(15)) = 4 tanedir. Tanımdan ⟨15⟩=15⋅4=60\langle 15 \rangle = 15 \cdot 4 = 60 elde edilir.
Paydadaki ifadenin değerini bulmak için.
4
Bulunan değerleri yerine yazarak kesirli işlemi çözme
40⋅2460=96060=16\frac{40 \cdot 24}{60} = \frac{960}{60} = 16
Soruda istenen ifadenin nihai sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler ve Pozitif Bölen Sayısı

İpuçları

1
Her bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin adedini ayrı ayrı listeleyerek işe başlayın.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →
Her aa ve bb gerçel sayıları için ⊙\odot işlemi,
a⊙b=a2−ba \odot b = a^2 - b
şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre, (3⊙5)⊙2(3 \odot 5) \odot 2 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İşlemin sonucu 14'tür.
Özel tanımlı işlem kuralına göre ilk olarak parantez içindeki 3⊙53 \odot 5 işlemi gerçekleştirilir. a=3a = 3 ve b=5b = 5 alınarak 32−5=43^2 - 5 = 4 sonucu bulunur. Ardından bu sonuç dıştaki işlemde yerine yazılıp 4⊙24 \odot 2 işlemi hesaplanır. Burada a=4a = 4 ve b=2b = 2 alınarak 42−2=144^2 - 2 = 14 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki 3⊙53 \odot 5 işlemini hesaplayın.
3⊙5=32−5=9−5=43 \odot 5 = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4
Özel tanımlı işlemde aa yerine 3 ve bb yerine 5 değerleri yaz��lır.
2
Bulunan sonucu dıştaki işlemde yerine koyarak 4⊙24 \odot 2 işlemini hesaplayın.
4⊙2=42−2=16−2=144 \odot 2 = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14
Özel tanımlı işlemde bu kez aa yerine 4 ve bb yerine 2 değerleri yazılır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler
Soru 17Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ∗* işlemleri,

a⊕b=2a+ba \oplus b = 2a + b
a∗b=a−ba * b = a - b

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(x⊕3)∗4=7(x \oplus 3) * 4 = 7

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İşlem adımları doğru takip edildiğinde elde edilen 4 değeri doğru cevaptır.
İşlemler dıştan içe doğru sırasıyla çözüldüğünde doğru sonuca ulaşılır. Öncelikle parantez dışındaki ∗* işlemi uygulanarak (x⊕3)−4=7(x \oplus 3) - 4 = 7 eşitliğinden x⊕3=11x \oplus 3 = 11 bulunur. Daha sonra ⊕\oplus işlemi uygulanarak 2x+3=112x + 3 = 11 denklemi elde edilir. Buradan 2x=82x = 8 ve x=4x = 4 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafındaki parantezin dışındaki ∗* işlemini tanımlandığı şekilde uygulay��n.
(x⊕3)−4=7(x \oplus 3) - 4 = 7 denklemi elde edilir.
a∗b=a−ba * b = a - b tanımına göre, birinci bileşen (x⊕3)(x \oplus 3) ve ikinci bileşen 44 olduğundan çıkarma işlemi yapılır.
2
Elde edilen denklemde parantezli ifadeyi yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 4 ekleyin.
x⊕3=11x \oplus 3 = 11 elde edilir.
Çıkarma işleminin tersi olan toplama işlemi yapılarak parantez içindeki ifadenin değeri bulunur.
3
⊕\oplus işleminin tanımını kullanarak sol taraftaki ifadeyi açın ve xx değerini çözün.
2x+3=11⇒2x=8⇒x=42x + 3 = 11 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 bulunur.
a⊕b=2a+ba \oplus b = 2a + b tanımında birinci bileşen xx, ikinci bileşen 33 olarak yerine konur ve birinci dereceden denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı simgesel işlemlerde işlem sırasını takip etme ve denklem çözme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri,
a⊕b=2a−ba \oplus b = 2a - b
a⊗b=a2+2ba \otimes b = a^2 + 2b
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x⊕3)⊗4=17(x \oplus 3) \otimes 4 = 17
eşitliğini sağlayan pozitif xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

Eşitliği sağlayan pozitif xx gerçel sayısı 33 olarak bulunur.
Verilen işlemlere göre, öncelikle parantez içindeki x⊕3x \oplus 3 ifadesine YY diyelim. Bu durumda denklem Y⊗4=17Y \otimes 4 = 17 olur. ⊗\otimes işleminin tanımına göre Y2+2(4)=17Y^2 + 2(4) = 17 yazılır. Buradan Y2+8=17  ⟹  Y2=9Y^2 + 8 = 17 \implies Y^2 = 9 elde edilir. Karesi 99 olan sayılar 33 ve −3-3'tür. x⊕3=2x−3x \oplus 3 = 2x - 3 olduğundan; 2x−3=3  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3 olur. Diğer durumda 2x−3=−3  ⟹  x=02x - 3 = -3 \implies x = 0 elde edilir ki bu değer pozitif bir gerçel sayı değildir. Bu nedenle doğru yanıt 33 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikteki parantez içindeki ifadeye bir değişken atayalım: x⊕3=Yx \oplus 3 = Y olsun.
Denklem Y⊗4=17Y \otimes 4 = 17 halini alır.
İşlemleri sırasıyla dıştan içe doğru çözmek için.
2
⊗\otimes işleminin tanımını (a⊗b=a2+2ba \otimes b = a^2 + 2b) kullanarak Y⊗4=17Y \otimes 4 = 17 denklemini kuralım ve çözelim.
Y2+2(4)=17  ⟹  Y2+8=17  ⟹  Y2=9Y^2 + 2(4) = 17 \implies Y^2 + 8 = 17 \implies Y^2 = 9 elde edilir. Buradan Y=3Y = 3 veya Y=−3Y = -3 bulunur.
⊗\otimes işleminin sonucunu sağlayan YY değerlerini belirlemek için.
3
x⊕3=Yx \oplus 3 = Y eşitliğini ve ⊕\oplus işleminin tanımını (a⊕b=2a−ba \oplus b = 2a - b) kullanarak xx değerlerini hesaplayalım.
Y=3Y = 3 için: 2x−3=3  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x - 3 = 3 \implies 2x = 6 \implies x = 3 bulunur. Y=−3Y = -3 için: 2x−3=−3  ⟹  2x=0  ⟹  x=02x - 3 = -3 \implies 2x = 0 \implies x = 0 bulunur.
xx sayısının pozitif bir gerçel sayı olması koşulunu (x>0x > 0) sağlayan değeri bulmak için.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemlerde Denklem Çözme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 19Soru →

Sıfırdan farklı gerçel say��lar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri,

a⊕b=a⋅b−2a \oplus b = a \cdot b - 2
a⊗b=ab+1a \otimes b = \frac{a}{b} + 1

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

(x⊕4)⊗3=5(x \oplus 4) \otimes 3 = 5

eşitliğini sağlayan xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.5

Cevap

Eşitliği sağlayan xx değeri 3.53.5 olmalıdır.
Verilen işlemlere göre öncelikle parantez içindeki x⊕4x \oplus 4 ifadesi 4x−24x - 2 olarak belirlenir. Ardından bu ifade ⊗\otimes işleminin sol tarafına yazılarak 4x−23+1=5\frac{4x - 2}{3} + 1 = 5 denklemi elde edilir. Buradan 4x−23=4  ⟹  4x−2=12  ⟹  4x=14  ⟹  x=3.5\frac{4x - 2}{3} = 4 \implies 4x - 2 = 12 \implies 4x = 14 \implies x = 3.5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içi olan x⊕4x \oplus 4 ifadesini tanımlanan kurala göre açmak
4x−24x - 2
İşlem önceliği gereği önce parantez içindeki ifadenin değerini belirlememiz gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi ⊗\otimes işleminde yerine yazarak denklemi kurmak
4x−23+1=5\frac{4x - 2}{3} + 1 = 5
Birinci bileşen olan 4x−24x - 2 ile ikinci bileşen olan 3 sayısına ⊗\otimes işleminin tanımı uygulanır.
3
Oluşan birinci dereceden denklemi çözmek
x=3.5x = 3.5
Bilinmeyeni yalnız bırakmak amacıyla sırasıyla toplama, çarpma ve bölme işlemlerinin tersi uygulanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler
Soru 20Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri,
a⊕b=a⋅b−2(a+b)a \oplus b = a \cdot b - 2(a + b)
a⊗b=a2−b2a \otimes b = a^2 - b^2
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x⊕4)⊗8=80(x \oplus 4) \otimes 8 = 80
eşitliğini sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

Eşitliği sağlayan xx gerçel sayılarının çarpımı -20'dir.
Denklem adımları takip edildiğinde dıştaki işlemden A2=144A^2 = 144 elde edilir. Bu durum A=12A = 12 ve A=−12A = -12 olmak üzere iki farklı durum ortaya çıkarır. Her iki durum için içteki ⊕\oplus işlemi çözüldüğünde x=10x = 10 ve x=−2x = -2 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin çarpımı ise -20 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki ifadeye değişken atayarak dıştaki işlemi uygulamak
A2=144A^2 = 144 denkleminden A=12A = 12 veya A=−12A = -12 elde edilmesi
Eşitliği adım adım çözebilmek için öncelikle dıştaki ⊗\otimes işlemini çözümlemek gerekir.
2
A=12A = 12 için içteki ⊕\oplus işlemini uygulamak ve denklemi çözmek
x=10x = 10 elde edilmesi
Birinci olası AA değeri i��in xx bilinmeyenini bulmak.
3
A=−12A = -12 için içteki ⊕\oplus işlemini uygulamak ve denklemi çözmek
x=−2x = -2 elde edilmesi
İkinci olası AA değeri için xx bilinmeyenini bulmak.
4
Elde edilen xx değerlerini çarpmak
10⋅(−2)=−2010 \cdot (-2) = -20 elde edilmesi
Soruda bizden istenen değerlerin çarpımını bulmak.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemler yardımıyla bilinmeyenli denklemlerin çözülmesi ve iki kare farkı/kareköklü denklemlerin uygulanması.
Sayfa 1 / 2Sonraki