Examkin

Sayısal Mantık

120 soru

Tüm türler120Çoktan seçmeli114Sayısal6
Soru 1Soru →
İlk terimi a1=5a_1 = 5 olan bir (an)(a_n) sayı dizisinin terimleri arasında, her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=3an−2na_{n+1} = 3a_n - 2^n
bağıntısı bulunmaktadır.
Buna göre, bu dizinin beşinci terimi (a5a_5) kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 275

Cevap

Dizinin beşinci terimi 275'tir.
Verilen indirgemeli dizide, her terim kendisinden bir önceki terimin 3 katından 2n2^n çıkarılarak bulunur. a1=5a_1 = 5 başlangıç değeriyle başlanıp adım adım a2=13a_2 = 13, a3=35a_3 = 35, a4=97a_4 = 97 ve nihayetinde a5=275a_5 = 275 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n = 1 için a2a_2 terimini hesaplayın.
a2=3a1−21=3⋅5−2=13a_2 = 3a_1 - 2^1 = 3 \cdot 5 - 2 = 13
Dizinin ikinci terimine ulaşmak için a1a_1 değeri yerine konur.
2
n=2n = 2 için a3a_3 terimini hesaplayın.
a3=3a2−22=3⋅13−4=35a_3 = 3a_2 - 2^2 = 3 \cdot 13 - 4 = 35
Dizinin üçüncü terimine ulaşmak için bir önceki adımda bulunan a2a_2 değeri yerine konur.
3
n=3n = 3 için a4a_4 terimini hesaplayın.
a4=3a3−23=3⋅35−8=97a_4 = 3a_3 - 2^3 = 3 \cdot 35 - 8 = 97
Dizinin dördüncü terimine ulaşmak için bir önceki adımda bulunan a3a_3 değeri yerine konur.
4
n=4n = 4 için a5a_5 terimini hesaplayın.
a5=3a4−24=3⋅97−16=275a_5 = 3a_4 - 2^4 = 3 \cdot 97 - 16 = 275
Dizinin beşinci terimine ulaşmak için bir önceki adımda bulunan a4a_4 değeri yerine konur.

Anahtar Kavram

İndirgemeli sayı dizilerinde terimlerin ardışık olarak hesaplanması ve örüntü kurallarının uygulanması.
Soru 2Soru →

Bir enerji şirketinin Kuzey, Güney ve Doğu bölgelerinde bulunan rüzgar, güneş ve hidroelektrik santrallerine ait kurulu güç, kapasite faktörü ve birim elektrik satış fiyatı bilgileri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Bölge ve Santral TürüKurulu Güç (MWeMWe)Kapasite Faktörü (%\%)Birim Elektrik Satış Fiyatı (TL/MWhTL/MWh)
Kuzey Bölgesi
Rüzgar8080404015001500
Hidroelektrik120120505012001200
Güney Bölgesi
Güneş150150303018001800
Rüzgar100100353515001500
Doğu Bölgesi
Hidroelektrik200200454512001200
Güneş5050252518001800

*Not: Günlük elektrik üretimi (MWhMWh) = Kurulu Güç (MWeMWe) ×\times 24 (saat) ×\times (Kapasite Faktörü / 100) formülüyle hesaplanmaktadır.*

Bu şirket, Doğu Bölgesi'ndeki güneş enerjisi santralinin kurulu gücünü %x\%x artırıp, Güney Bölgesi'ndeki güneş enerjisi santralinin kapasite faktörünü 1010 y��zde puanı düşürdüğünde, şirketin toplam günlük elektrik üretimi değişmemektedir.

Buna göre, xx kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120120

Cevap

120
Toplam günlük elektrik üretiminin sabit kalması için Güney Bölgesi güneş santralinin kapasite faktörünün %30'dan %20'ye düşürülmesiyle oluşan 360 MWh'lik üretim kaybı, Doğu Bölgesi güneş santrali tarafından karşılanmalıdır. Doğu Bölgesi güneş santralinin günlük üretiminin 300 MWh'den 660 MWh'ye çıkarılması gerekir. Bu üretimi sağlayacak yeni kurulu güç 110 MWe olup, 50 MWe olan başlangıç gücüne göre %120 oranında bir artış yapılması gerektiğini gösteren 120 cevabı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Güney Bölgesi güneş santralinin kapasite faktöründeki düşüşün üretim miktarı üzerindeki etkisini hesaplama.
Üretimdeki azalış 360 MWh360\text{ MWh}'dir.
Kapasite faktörünün 10 yüzde puanı düşmesi, %30\%30'dan %20\%20'ye inmesi demektir. Bu santralin günlük üretimi 150×24×0.30=1080 MWh150 \times 24 \times 0.30 = 1080\text{ MWh} değerinden 150×24×0.20=720 MWh150 \times 24 \times 0.20 = 720\text{ MWh} değerine düşer. Azalış 1080−720=360 MWh1080 - 720 = 360\text{ MWh}'dir.
2
Doğu Bölgesi güneş santralinde gereken yeni üretim miktarını belirleme.
Doğu Bölgesi güneş santralinin yeni günlük üretimi 660 MWh660\text{ MWh} olmalıdır.
Toplam günlük elektrik üretiminin değişmemesi için Güney Bölgesi'ndeki 360 MWh360\text{ MWh}'lik azalış, Doğu Bölgesi güneş santralinin üretim artışıyla karşılanmalıdır. Doğu Bölgesi güneş santralinin ilk üretimi 50×24×0.25=300 MWh50 \times 24 \times 0.25 = 300\text{ MWh}'dir. Yeni üretim 300+360=660 MWh300 + 360 = 660\text{ MWh} olmalıdır.
3
Doğu Bölgesi güneş santralinin bu üretimi sağlaması için gereken yeni kurulu gücünü hesaplama.
Gereken yeni kurulu güç 110 MWe110\text{ MWe}'dir.
C×24×0.25=660  ⟹  C×6=660  ⟹  C=110 MWeC \times 24 \times 0.25 = 660 \implies C \times 6 = 660 \implies C = 110\text{ MWe} olarak bulunur.
4
Doğu Bölgesi güneş santralinin kurulu gücündeki yüzde artışı (xx) hesaplama.
x=120x = 120
Kurulu güç 50 MWe50\text{ MWe}'den 110 MWe110\text{ MWe}'ye çıkmalıdır. Mutlak artış 110−50=60 MWe110 - 50 = 60\text{ MWe}'dir. Yüzde artış oranı: 6050×100=120\frac{60}{50} \times 100 = 120 yani %120\%120 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Tablo verilerini yorumlayarak formül uygulama, yüzde ve yüzde puanı değişimlerini doğru analiz etme.

İpuçları

1
Soruda kapasite faktörünün '10 yüzde puanı' düşürüldüğü belirtilmiştir. Bu durum, yeni kapasite faktörünün doğrudan %30 - 10 = %20 olacağını gösterir.
2
Her iki santraldeki günlük üretim değişimlerini formülü kullanarak yazın. Güney Bölgesi'ndeki üretim azalış miktarının, Doğu Bölgesi'ndeki üretim artış miktarına eşit olması gerektiğini unutmayın.
3
Üretim eşitliğini kurduktan sonra Doğu Bölgesi güneş santralinin yeni kurulu gücünü 110 MWe olarak bulacaksınız. 50 MWe'lik kurulu gücün 110 MWe'ye çıkması için yüzde kaç artırılması gerektiğini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, birim elektrik satış fiyatlarının da dahil edildiği ve toplam günlük gelirin sabit kaldığı durumlar için kurulu güç değişimlerini inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam üretim değişimini sıfıra eşitleyen kısa yol denklemini kullanabilirsiniz: ΔÜretim_Güney + ΔÜretim_Doğu = 0. Buradan (C_Güney * ΔF_Güney) + (ΔC_Doğu * F_Doğu) = 0 yazılır. 150 * (-0.10) + ΔC_Doğu * 0.25 = 0 denkleminden ΔC_Doğu = 60 MWe bulunur. Yüzde artış ise (60 / 50) * 100 = %120 olarak saniyeler içinde hesaplanabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 3Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı [n][n] sembolü, nn sayısının farklı asal bölenlerinin toplamı olarak tanımlanıyor.

Örneğin, [12]=2+3=5[12] = 2 + 3 = 5 ve [25]=5[25] = 5 tir.

Buna göre,
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7
eşitliğini sağlayan iki basamaklı en küçük xx pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı en küçük xx pozitif tam sayısı 11'dir.
Verilen [n][n] işlemi bir sayının farklı asal bölenlerinin toplamını bulmaktadır. [x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğinde, 10'un asal bölenleri olan 2 ve 5'in toplamı 7'dir. Bu toplamın [x][x] değerine aynen eklenebilmesi için, xx sayısının asal bölenleri arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır. İki basamaklı en küçük pozitif tam sayılardan başlayarak incelersek; 10 sayısı 2 ve 5'e bölünür, ancak 11 sayısı asal olup 2 ve 5'e bölünmez. Dolayısıyla en küçük değer 11'dir.

Adım Adım Çözüm

1
[x⋅10][x \cdot 10] ifadesini çözümlemek için 10 sayısını asal çarpanlarına ayırın.
10=2⋅510 = 2 \cdot 5 olduğundan, 1010 sayısının asal bölenleri 22 ve 55'tir.
[n][n] işlemi farklı asal bölenlerin toplamını aldığından, çarpımın asal bölenlerini belirlememiz gerekir.
2
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğini sağlayan koşulu analiz edin.
[x⋅2⋅5]=[x]+7[x \cdot 2 \cdot 5] = [x] + 7 olur. 2+5=72 + 5 = 7 olduğundan, bu eşitliğin sağlanabilmesi için 22 ve 55 asal sayılarının xx sayısının asal bölenleri arasında yer almaması gerekir.
Eğer 22 veya 55 sayısı xx'in bir asal böleni olsaydı, [x⋅10][x \cdot 10] hesaplanırken bu sayılar tekrar toplanmayacağı için toplamdaki artış 7'den az olurdu.
3
xx sayısının sahip olması gereken özellikleri belirleyin.
xx sayısı 2 ve 5 ile bölünemeyen (yani 10 ile aralarında asal olan) bir sayı olmalıdır.
xx'in asal bölenleri arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır.
4
Bu koşulu sağlayan iki basamaklı en küçük pozitif tam sayıyı bulun.
İki basamaklı sayılar 10'dan başlar. 10 sayısı 2 ve 5'e bölünür. Bir sonraki sayı olan 11 sayısı ise ne 2'ye ne de 5'e bölünür. Dolayısıyla en küçük sayı 11'dir.
Koşulu sağlayan en küçük iki basamaklı pozitif tam sayıyı elde etmek için.

Anahtar Kavram

Bir sayının asal bölenleri toplamı fonksiyonu altında çarpım işleminin incelenmesi ve aralarında asallık ilişkisi.

İpuçları

1
10 sayısının asal bölenlerini belirleyip toplamlarını kontrol edin.
2
[x⋅10]=[x]+7[x \cdot 10] = [x] + 7 eşitliğinde 7 değerinin, 10'un asal bölenleri olan 2 ve 5'in toplamı olduğunu fark edin.
3
Eşitliğin sağlanması için xx sayısının asal çarpanları arasında 2 ve 5 bulunmamalıdır. İki basamaklı sayılardan bu kurala uyan en küçük olanını seçin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde [x⋅6]=[x]+5[x \cdot 6] = [x] + 5 eşitliğini sağlayan en küçük üç basamaklı sayıyı bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Seçenekleri doğrudan deneyerek de sonuca ulaşabilirsiniz. En küçük iki basamaklı seçenek olan 10'dan başlayarak sırayla deneriz: x=10x=10 için [100]=7[100]=7 ve [10]+7=14[10]+7=14 (sağlamaz). x=11x=11 için [110]=18[110]=18 ve [11]+7=18[11]+7=18 (sağlar). En küçük sayı arandığı için 11 doğru cevaptır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →

Bir okulda bulunan Arzu, Burak, Cem, Deniz ve Efe adlı beş öğrenci; Robotik, Astronomi ve Kimya atölyelerinden birine katılmıştır. Öğrencilerin katıldıkları atölyelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Her bir atölyeye en az bir öğrenci katılmıştır.
* Robotik atölyesine katılan öğrenci sayısı, Astronomi atölyesine katılan öğrenci sayısından fazladır.
* Cem ve Efe aynı atölyeye katılmıştır.
* Arzu ve Deniz farklı atölyelere katılmıştır.
* Burak, Kimya atölyesine katılmamıştır.

Buna göre, Burak'ın Astronomi atölyesine katıldığı biliniyorsa, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Cem, Robotik atölyesine katılmıştır.

Cevap

Cem'in Robotik atölyesine katıldığı ifadesi kesinlikle doğrudur.
Burak'ın Astronomi atölyesinde olduğu durumda, Astronomi atölyesinin kontenjanı 1 olmak zorundadır. Cem ve Efe aynı atölyede olmak zorunda olduğundan ve Astronomi'de sadece Burak bulunabileceğinden, bu iki öğrenci ancak Robotik atölyesinde yer alabilir. Bu durumda Cem'in Robotik atölyesine katıldığı ifadesi kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Atölyelerin kontenjan dağılımlarını belirlemek için eşitsizlikleri ve toplam kişi sayısını analiz edin.
Astronomi atölyesinin kontenjanı kesinlikle 1 olmalıdır. Robotik atölyesi 2 veya 3, Kimya atölyesi ise sırasıyla 2 veya 1 kişi alabilir.
Her atölyede en az 1 kişi olması gerektiğinden ve Robotik > Astronomi koşulundan dolayı Astronomi atölyesi 2 kişi olamaz. Eğer Astronomi 2 kişi olsaydı Robotik en az 3 olurdu ve toplam kişi sayısı en az 3 + 2 + 1 = 6 olurdu, bu da öğrenci sayısı olan 5'i aşar.
2
Burak'ın Astronomi atölyesinde olduğu bilgisini kullanarak kişilerin dağılımını kısıtlayın.
Astronomi atölyesinde sadece Burak vardır. Cem ve Efe aynı atölyede olmaları gerektiğinden Astronomi atölyesinde yer alamazlar.
Astronomi atölyesinin kontenjanının 1 olduğu 1. adımda gösterilmiştir. Bu nedenle 2 kişi olan Cem ve Efe grubu Astronomi'ye gidemez.
3
Cem ve Efe'nin Kimya atölyesinde olma ihtimalini değerlendirin.
Cem ve Efe Kimya atölyesinde olamazlar; bu durum çelişki yaratır. Dolayısıyla ikisi de kesinlikle Robotik atölyesindedir.
Cem ve Efe Kimya'da olsaydı, Kimya'nın kontenjanı en az 2 olurdu (bu da 2-1-2 dağılımını zorunlu kılardı). Kalan Arzu ve Deniz'in ikisi birden Robotik'te olmak zorunda kalırdı ki bu da onların farklı atölyelerde olması kuralıyla çelişirdi. Bu yüzden Cem ve Efe kesinlikle Robotik atölyesindedir.

Anahtar Kavram

Koşullu durum analizi ve eşitsizlikler yardımıyla mantıksal akıl yürütme.

Alternatif Yöntem

Tablo çizerek olasılıkları eleme yöntemi kullanılabilir. Toplam 5 öğrenciyi 3 gruba (Robotik, Astronomi, Kimya) dağıtırken, grup büyüklüklerinin (3,1,1) veya (2,1,2) olması gerektiğini ve Astronomi'nin her iki durumda da kesinlikle 1 kişi olduğunu tablo üzerinde görmek çözümü hızlandırır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 5Soru →

Bir şirketteki departmanlar, bu departmanlardaki toplam çalışan sayıları ve bu çalışanların yüzde kaçının kadın olduğu aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

DepartmanToplam Çalışan SayısıKadın Çalışan Oranı (%)
Üretim8025
Pazarlama6045
Muhasebe5030
İnsan Kaynakları3070
Satış4050

Buna göre, bu şirkette kadın çalışan sayısının en fazla olduğu departman aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Pazarlama

Cevap

Pazarlama
Her departmandaki kadın çalışan sayısı, ilgili departmanın toplam çalışan sayısı ile kadın çalışan oranının çarpılmasıyla bulunur. Bu hesaplama yapıldığında; Üretim departmanında 20, Pazarlama departmanında 27, Muhasebe departmanında 15, İnsan Kaynakları departmanında 21 ve Satış departmanında 20 kadın çalışan olduğu görülür. En yüksek kadın çalışan sayısı 27 ile Pazarlama departmanına aittir.

Adım Adım Çözüm

1
Her bir departmandaki kadın çalışan sayısını hesaplamak için toplam çalışan sayısı ile kadın çalışan oranını çarparız.
Üretim departmanı için: 80×25100=2080 \times \frac{25}{100} = 20
Pazarlama departmanı için: 60×45100=2760 \times \frac{45}{100} = 27
Muhasebe departmanı için: 50×30100=1550 \times \frac{30}{100} = 15
İnsan Kaynakları departmanı için: 30×70100=2130 \times \frac{70}{100} = 21
Satış departmanı için: 40×50100=2040 \times \frac{50}{100} = 20
Yüzdelik oranları gerçek kişi sayılarına dönüştürmek ve departmanlar arasında doğru bir kıyaslama yapabilmek için bu hesaplama gereklidir.
2
Elde edilen kadın çalışan sayılarını karşılaştırarak en büyük değeri belirleriz.
Hesaplanan sayılar sırasıyla 20, 27, 15, 21 ve 20'dir. En büyük sayı 27'dir.
Soru bizden kadın çalışan sayısının en fazla olduğu departmanı bulmamızı istemektedir.
3
En büyük değere karşılık gelen departmanı tespit ederiz.
27 kadın çalışan ile en fazla kadın çalışana sahip olan departman Pazarlama departmanıdır.
En yüksek sayının hangi departmana ait olduğunu belirlemek soruyu çözüme ulaştırır.

Anahtar Kavram

Tablolardaki yüzdelik verilerin yorumlanması ve sayısal değerlere dönüştürülmesi

İpuçları

1
Bir departmandaki kadın çalışan sayısını bulmak için o departmanın toplam çalışan sayısı ile kadın çalışan yüzdesini çarpmanız gerekir.
2
Örneğin, Satış departmanında 40 çalışan vardır ve bunların %50'si kadındır. Buradan 40×0,50=2040 \times 0,50 = 20 kadın çalışan bulunur. Aynı işlemi diğer departmanlar için de uygulayın.
3
Her bir departman için sırasıyla 20, 27, 15, 21 ve 20 kadın çalışan sayısı elde edilir. Bu değerlerden en büyüğünü bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir tabloda bu kez erkek çalışan sayılarının oranlarını bulmaya veya departmanlar arasındaki toplam kadın çalışan oranını hesaplamaya çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, oranları doğrudan karşılaştırmak yerine, her departmandaki kadın çalışan sayılarını hızlıca zihinden hesaplayabilirsiniz. Örneğin, 60'ın %45'ini bulmak için 60'ın %10'unun 6 olduğunu biliriz; %40'ı 24, %5'i ise 3 yapar, toplamda 27 olur. Bu şekilde hızlı tahminlerle doğru departmana ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 6Soru →

Her aa ve bb gerçel sayıları için ⊟\boxminus ve ⊞\boxplus işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

a⊟b=2a−ba \boxminus b = 2a - b
a⊞b=a+3ba \boxplus b = a + 3b

Buna göre,

(5⊟x)⊞4=19(5 \boxminus x) \boxplus 4 = 19

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

3
Doğru cevaba ulaşmak için dıştaki işlem çözülür. (5⊟x)⊞4=19(5 \boxminus x) \boxplus 4 = 19 ifadesinde 5⊟x=y5 \boxminus x = y denilirse, y⊞4=19y \boxplus 4 = 19 olur. İşlem tanımından y+3⋅4=19  ⟹  y=7y + 3 \cdot 4 = 19 \implies y = 7 bulunur. Buradan 5⊟x=75 \boxminus x = 7 elde edilir. ⊟\boxminus işlemi uygulandığında 2⋅5−x=7  ⟹  10−x=7  ⟹  x=32 \cdot 5 - x = 7 \implies 10 - x = 7 \implies x = 3 elde edilir. Bu nedenle 3 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
(5⊟x)⊞4=19(5 \boxminus x) \boxplus 4 = 19 eşitliğinde parantez içindeki ifadeye yy değişkeni atanır.
y=5⊟xy = 5 \boxminus x olmak üzere yeni denklem y⊞4=19y \boxplus 4 = 19 olur.
İşlemleri dıştan içe doğru sırayla çözebilmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
y⊞4y \boxplus 4 ifadesi tanımlanan işleme göre açılır ve yy değeri bulunur.
y+3⋅4=19  ⟹  y+12=19  ⟹  y=7y + 3 \cdot 4 = 19 \implies y + 12 = 19 \implies y = 7 elde edilir.
a⊞b=a+3ba \boxplus b = a + 3b işlem tanımını uygulamak için.
3
y=7y = 7 değeri y=5⊟xy = 5 \boxminus x eşitliğinde yerine yazılarak xx değeri çözülür.
5⊟x=7  ⟹  2⋅5−x=7  ⟹  10−x=7  ⟹  x=35 \boxminus x = 7 \implies 2 \cdot 5 - x = 7 \implies 10 - x = 7 \implies x = 3 bulunur.
a⊟b=2a−ba \boxminus b = 2a - b işlem tanımını uygulayarak bilinmeyen xx değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemler içeren eşitlikleri dıştan içe doğru değişken değiştirme yöntemiyle çözme.
Soru 7Soru →
Terimleri sırasıyla belirli bir matematiksel kurala göre artan
2,5,13,27,79,159,?2, 5, 13, 27, 79, 159, ?
sayı dizisinde soru işareti (?) yerine hangi sayı gelmelidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 475

Cevap

Dizideki kurallar sırasıyla uygulandığında soru işareti yerine gelmesi gereken sayı 475 olmalıdır.
Dizideki tek sırada yer alan bir terimden hemen sonra gelen terim elde edilirken terimin 2 katının 1 fazlası alınmaktadır. Çift sırada yer alan bir terimden hemen sonra gelen terim elde edilirken ise terimin 3 katının 2 eksiği alınmaktadır. Buna göre, 6. terim olan 159159 sayısı çift sırada olduğundan, bir sonraki terim olan 7. terimi bulmak için üç katının iki eksiği kuralı uygulanmalıdır. Buradan 159×3−2=475159 \times 3 - 2 = 475 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki artış ilişkisini incelemek amacıyla ardışık terimler arasındaki kuralları belirleyin.
1. terimden 2. terime geçerken (2→52 \rightarrow 5): 2×2+1=52 \times 2 + 1 = 5 (İki katının bir fazlası)
2. terimden 3. terime geçerken (5→135 \rightarrow 13): 5×3−2=135 \times 3 - 2 = 13 (Üç katının iki eksiği)
3. terimden 4. terime geçerken (13→2713 \rightarrow 27): 13×2+1=2713 \times 2 + 1 = 27 (İki katının bir fazlası)
4. terimden 5. terime geçerken (27→7927 \rightarrow 79): 27×3−2=7927 \times 3 - 2 = 79 (Üç katının iki eksiği)
5. terimden 6. terime geçerken (79→15979 \rightarrow 159): 79×2+1=15979 \times 2 + 1 = 159 (İki katının bir fazlası)
Dizinin genel örüntü kuralını ve ardışık adımlardaki periyodik değişimi tespit etmek.
2
Örüntünün periyodik kuralına göre bir sonraki adımda uygulanması gereken işlemi belirleyin.
Dizide tek sıradaki terimlerden çift sıradaki terimlere geçilirken (1. →\rightarrow 2., 3. →\rightarrow 4., 5. →\rightarrow 6.) 'iki katının bir fazlası' kuralı uygulanmaktadır. Çift sıradaki terimlerden tek sıradaki terimlere geçilirken (2. →\rightarrow 3., 4. →\rightarrow 5., 6. →\rightarrow 7.) ise 'üç katının iki eksiği' kuralı uygulanmaktadır.
Soru işaretinin bulunduğu 7. terime ulaşmak için hangi kuralın işletilmesi gerektiğini netleştirmek.
3
Bulunan kuralı son terime uygulayarak bilinmeyen terimi hesaplayın.
6. terim olan 159159 çift sırada yer aldığı için bir sonraki terimi bulmak üzere 'üç katının iki eksiği' kuralı işletilir:
159×3−2=477−2=475159 \times 3 - 2 = 477 - 2 = 475
İstenen bilinmeyen terimin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Alternatifli Aritmetik İşlemler İçeren Sayı Dizileri ve Örüntüler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →

Aşağıdaki tabloda bir ilçedeki üç farklı okuldan üç farklı kulübe katılan öğrenci sayıları verilmiştir:

OkulTiyatroSatrançMüzik
Kuzey Okulu252035
Güney Okulu301515
Doğu Okulu152520

Buna göre, Güney Okulu'ndan bu kulüplere katılan öğrencilerin yüzde kaçı tiyatro kulübüne katılmıştır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %50

Cevap

%50
Güney Okulu sütununda yer alan tiyatro (30), satranç (15) ve müzik (15) kulüplerine katılan öğrenci sayıları toplandığında okulun toplam kulüp katılımcı sayısının 60 olduğu görülür. Tiyatro kulübüne katılan öğrenci sayısı 30 olduğuna göre, bu değer toplam katılımcıların yarısına karşılık gelir. Bir bütünün yarısı yüzde olarak ifade edildiğinde %50 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Güney Okulu'ndan kulüplere katılan toplam öğrenci sayısını hesaplayın.
30+15+15=6030 + 15 + 15 = 60 öğrenci.
Yüzdelik hesaplamada payda olarak kullanılacak bütünün büyüklü��ünü belirlemek için.
2
Güney Okulu'ndan tiyatro kulübüne katılan öğrenci sayısını toplam öğrenci sayısına oranlayın.
3060=12\frac{30}{60} = \frac{1}{2}
Tiyatro kulübüne katılanların toplam içindeki kesir değerini bulmak için.
3
Bulunan kesri yüzde sembolüyle ifade edebilmek için paydayı 100 yapacak şekilde genişletin veya kesri 100 ile çarpın.
12×100=50\frac{1}{2} \times 100 = 50, yani %50\%50.
Sonucu yüzde cinsinden göstermek için.

Anahtar Kavram

Tabloda verilen ham veriler üzerinden belirli bir alt grubun kendi bütününe olan yüzdelik oranını bulma.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 9Soru →

Bir teknoloji yarışmasında Yapay Zeka, Siber Güvenlik, Veri Bilimi, Mobil Uygulama ve Bulut Bilişim olmak üzere beş farklı alandaki projelerin sunumları Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe ve Cuma günlerinde, her gün bir sunum yapılacak şekilde planlanmıştır.

Sunum planlamasıyla ilgili bilinenler şunlardır:
* Siber Güvenlik projesinin sunumu, Mobil Uygulama projesinin sunumundan hemen sonraki gün yapılacaktır.
* Veri Bilimi projesinin sunumu ile Bulut Bilişim projesinin sunumu arasında tam olarak iki gün sunum yapılacaktır.
* Yapay Zeka projesinin sunumu Cuma günü yapılmayacaktır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Mobil Uygulama projesinin sunumu Çarşamba günü yapılacaktır.

Cevap

Mobil Uygulama projesinin sunumu Çarşamba günü yapılacaktır.
Veri Bilimi ve Bulut Bilişim projeleri Salı ve Cuma günlerine yerleştiğinde, Mobil Uygulama ve Siber Güvenlik projeleri için ardışık tek boşluk olan Çarşamba ve Perşembe günleri kalır. Bu durumda Mobil Uygulama projesinin sunumu kesinlikle Çarşamba günü yapılacaktır.

Adım Adım Çözüm

1
Günleri sırasıyla 1 (Pazartesi), 2 (Salı), 3 (Çarşamba), 4 (Perşembe) ve 5 (Cuma) olarak numaralandırıp Veri Bilimi ile Bulut Bilişim arasındaki 2 günlük boşluğu analiz etmek.
Veri Bilimi ve Bulut Bilişim projeleri ya {1, 4} (Pazartesi, Perşembe) ya da {2, 5} (Salı, Cuma) günlerinde sunulabilir.
İki proje arasında tam olarak 2 gün olması, gün numaralarının farkının 3 olmasını gerektirir.
2
Birinci olasılığı ({Pazartesi, Perşembe}) değerlendirmek.
Bu durumda geriye kalan boş günler Salı, Çarşamba ve Cuma olur. Mobil Uygulama ve Siber Güvenlik ardışık olmak zorunda olduğundan sırasıyla Salı ve Çarşamba günlerine yerleşirler. Geriye kalan tek gün olan Cuma gününe ise Yapay Zeka kalır. Ancak bu durum 'Yapay Zeka Cuma günü sunulmayacaktır' kuralıyla çelişir. Dolayısıyla bu olasılık elenir.
Yapay Zeka projesinin Cuma günü sunulamayacağı kuralını ihlal etmemek gerekir.
3
İkinci olasılığı ({Salı, Cuma}) değerlendirmek.
Bu durumda geriye kalan boş günler Pazartesi, Çarşamba ve Perşembe olur. Ardışık olan tek gün çifti Çarşamba ve Perşembe olduğundan, Mobil Uygulama Çarşamba, Siber Güvenlik ise Perşembe gününe yerleşir. Yapay Zeka projesine ise Pazartesi günü kalır. Yapay Zeka Pazartesi günü sunulduğu için tüm koşullar sağlanmış olur.
Diğer tüm günlerin yerleşimi kurallara uygun ve tutarlıdır.

Anahtar Kavram

Mantıksal sıralama ve koşullu eleme yöntemleri
Soru 10Soru →

Elemanları arasında ardışık olarak sabit olmayan bir ilişki bulunan bir sayı dizisi 5,9,16,29,54,...5, 9, 16, 29, 54, ... şeklinde devam etmektedir.

Buna göre, bu dizide 54 sayısından sonra gelmesi gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 103

Cevap

103
Dizinin ardışık terimleri arasındaki farklar incelendiğinde farkların sırasıyla 4, 7, 13 ve 25 olduğu görülür. Bu fark serisinde her bir fark, bir önceki farkın 2 katının 1 eksiğidir. Dolayısıyla 25'ten sonra gelmesi gereken fark 2×25−1=492 \times 25 - 1 = 49 olmalıdır. Son terim olan 54'e 49 eklendiğinde 103 değerine ulaşılır. Alternatif bir kural olarak, dizinin genel geçiş kuralı an+1=2an−na_{n+1} = 2a_n - n şeklindedir; buradan a6=2×54−5=103a_6 = 2 \times 54 - 5 = 103 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimleri arasındaki farkları ve bu farkların nasıl değiştiğini inceleyelim.
Terimler arası farklar sırasıyla: 9−5=49 - 5 = 4, 16−9=716 - 9 = 7, 29−16=1329 - 16 = 13, 54−29=2554 - 29 = 25 şeklindedir.
Örüntünün kuralını bulmak için ardışık terimler arasındaki artış miktarlarını analiz etmeliyiz.
2
Bulunan farklar (4,7,13,254, 7, 13, 25) arasındaki ilişkiyi belirleyelim.
Farkların bir önceki farkın 2 katının 1 eksiği olduğu görülür: 2×4−1=72 \times 4 - 1 = 7, 2×7−1=132 \times 7 - 1 = 13, 2×13−1=252 \times 13 - 1 = 25.
Farklar dizisinin kendi içindeki kuralını tespit etmek.
3
Belirlenen kurala göre bir sonraki farkı hesaplayalım ve dizinin son terimine ekleyelim.
Bir sonraki fark 2×25−1=492 \times 25 - 1 = 49 olur. Son terim olan 54 sayısına bu farkı eklediğimizde 54+49=10354 + 49 = 103 sonucuna ulaşırız.
Dizinin aranan bir sonraki terimini bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı Dizilerinde Ardışık Farklar ve İndirgemeli İlişkiler

Alternatif Yöntem

Dizinin genel terim geçiş kuralı an+1=2an−na_{n+1} = 2a_n - n şeklindedir. Burada nn, terimin dizideki sırasını temsil eder. Örneğin; a2=2a1−1=2(5)−1=9a_2 = 2a_1 - 1 = 2(5) - 1 = 9, a3=2a2−2=2(9)−2=16a_3 = 2a_2 - 2 = 2(9) - 2 = 16 vb. Bu kurala göre bir sonraki terim a6=2a5−5=2(54)−5=108−5=103a_6 = 2a_5 - 5 = 2(54) - 5 = 108 - 5 = 103 olarak bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →
Her aa ve bb gerçel sayıları için ⊗\otimes ve ⊕\oplus işlemleri,
a⊗b=2a−ba \otimes b = 2a - b
a⊕b=a+ba−b(a≠b)a \oplus b = \frac{a+b}{a-b} \quad (a \neq b)
şeklinde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x⊗3)⊕5=2(x \otimes 3) \oplus 5 = 2
eşitliğini sağlayan xx gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Denklemi sağlayan xx gerçel sayısı 9'dur.
Denklem adım adım çözüldüğünde, ⊕\oplus işleminin tanımından iç kısımdaki ifadenin değeri 15 olarak bulunur. Buradan da ⊗\otimes işleminin tanımı kullanılarak 2x−3=152x - 3 = 15 denklemi elde edilir ve bu denklemden x=9x = 9 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikteki (x⊗3)(x \otimes 3) ifadesine geçici olarak AA değişkeni atayarak ⊕\oplus işleminin tanımını uygulayın.
A⊕5=2  ⟹  A+5A−5=2A \oplus 5 = 2 \implies \frac{A+5}{A-5} = 2
İç içe geçmiş işlemleri dıştan içe doğru çözebilmek için.
2
Elde edilen rasyonel denklemi içler dışlar çarpımı yaparak çözün ve AA değerini bulun.
A+5=2(A−5)  ⟹  A+5=2A−10  ⟹  A=15A + 5 = 2(A - 5) \implies A + 5 = 2A - 10 \implies A = 15
Bilinmeyen AA değerini yalnız bırakmak için.
3
AA yerine (x⊗3)(x \otimes 3) yazarak ⊗\otimes işleminin tanımını uygulayın.
x⊗3=15  ⟹  2x−3=15x \otimes 3 = 15 \implies 2x - 3 = 15
Bilinmeyen xx değerini içeren birinci dereceden denklemi elde etmek için.
4
Elde edilen denklemi xx için çözün.
2x=18  ⟹  x=92x = 18 \implies x = 9
xx gerçel sayısının değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerle kurulan denklemleri işlem önceliği ve cebirsel kurallara uygun olarak çözme.
Soru 12Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ∗* ve Δ\Delta işlemleri,
a∗b=2a−ba * b = 2a - b
aΔb=a2−4ba \Delta b = a^2 - 4b
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(x∗3)Δ5=5(x * 3) \Delta 5 = 5
eşitliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 33'tür.
Eşitliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı olan 33 değeri, öncelikle parantez içindeki x∗3x * 3 işleminin 2x−32x - 3 olarak bulunması, ardından (2x−3)Δ5=(2x−3)2−20=5(2x-3) \Delta 5 = (2x-3)^2 - 20 = 5 denkleminin çözülmesiyle elde edilir. Bu denklemin kökleri x=4x = 4 ve x=−1x = -1 tam sayılarıdır. Bu iki tam sayının toplamı 4+(−1)=34 + (-1) = 3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Öncelikle parantez içindeki x∗3x * 3 işlemini tanımlanan kurala göre açalım.
x∗3=2x−3x * 3 = 2x - 3
a∗b=2a−ba * b = 2a - b tanımında aa yerine xx ve bb yerine 33 yazılmıştır.
2
Elde edilen ifadeyi Δ\Delta işleminde yerine koyarak denklemi kurala göre yazalım.
(2x−3)Δ5=(2x−3)2−4(5)=(2x−3)2−20(2x - 3) \Delta 5 = (2x - 3)^2 - 4(5) = (2x - 3)^2 - 20
aΔb=a2−4ba \Delta b = a^2 - 4b tanımında aa yerine (2x−3)(2x - 3) ve bb yerine 55 yazılmıştır.
3
Bulunan ifadeyi 55'e eşitleyip 2x−32x - 3 ifadesinin alabileceği değerleri bulalım.
(2x−3)2−20=5  ⟹  (2x−3)2=25  ⟹  2x−3=5(2x - 3)^2 - 20 = 5 \implies (2x - 3)^2 = 25 \implies 2x - 3 = 5 veya 2x−3=−52x - 3 = -5
Karesi 2525 olan sayılar 55 ve −5-5'tir.
4
Her iki durumu da çözerek xx değerlerini ve bu değerlerin toplamını hesaplayalım.
2x−3=5  ⟹  2x=8  ⟹  x=42x - 3 = 5 \implies 2x = 8 \implies x = 4 ve 2x−3=−5  ⟹  2x=−2  ⟹  x=−12x - 3 = -5 \implies 2x = -2 \implies x = -1 bulunur. Değerlerin toplamı ise 4+(−1)=34 + (-1) = 3 olur.
Her iki değer de tam sayı olduğu için çözüm kümesine dahil edilir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde işlem önceliğine dikkat ederek denklemleri çözme ve kareköklü denklemlerde negatif kökü göz ardı etmeme.
Soru 13Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı ∗* işlemi, her aa ve bb tam sayısı için
a∗b=2a−ba * b = 2a - b
biçiminde tan��mlanıyor.
(x∗2)∗3=13(x * 2) * 3 = 13
olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemi sağlayan xx değeri 5'tir.
Verilen işlem tanımına göre, a∗b=2a−ba * b = 2a - b kuralı ardışık olarak uygulanır. Önce parantez içindeki x∗2x * 2 ifadesi 2x−22x - 2 olarak bulunur. Daha sonra bu sonuç ile 3 sayısı tekrar işleme sokulur: (2x−2)∗3=2(2x−2)−3=4x−7(2x - 2) * 3 = 2(2x - 2) - 3 = 4x - 7. Bu ifade 13'e eşitlendiğinde 4x−7=134x - 7 = 13 denklemi elde edilir. Buradan 4x=204x = 20 ve x=5x = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki x∗2x * 2 ifadesini işlem tanım��na göre açın.
x∗2=2x−2x * 2 = 2x - 2
İşlem önceliğine göre önce parantez içi hesaplanır.
2
Bulunan 2x−22x - 2 ifadesini dıştaki ∗* işleminde birinci bileşen olarak kullanarak işlemi uygulayın.
4x−74x - 7
(2x−2)∗3=2(2x−2)−3=4x−7(2x - 2) * 3 = 2(2x - 2) - 3 = 4x - 7 olur.
3
Bulunan sonucu 13'e eşitleyin ve xx değerini bulun.
x=5x = 5
4x−7=13  ⟹  4x=20  ⟹  x=54x - 7 = 13 \implies 4x = 20 \implies x = 5 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemin cebirsel kurallara göre uygulanması ve denklem çözümü.
Soru 14Soru →

Aşağıdaki şekillerde, köşelerdeki dairelerde bulunan sayılar ile ortadaki karede bulunan sayı arasında belirli bir matematiksel kural vardır.

Buna göre, verilen kural uygulandığında III. şekildeki xx yerine gelmesi gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

5
Verilen şekillerdeki kurala göre; sol üst köşe ile sağ alt köşedeki sayıların çarpımından, sağ üst köşe ile sol alt köşedeki sayıların toplamı çıkarıldığında ortadaki kare içerisindeki sayı elde edilmektedir. Bu kural üçüncü şekle uygulandığında 8×7−(6+x)=458 \times 7 - (6 + x) = 45 denklemi yazılır. Buradan 56−(6+x)=4556 - (6 + x) = 45 olup, 6+x=116 + x = 11 eşitliğinden bilinmeyen değer 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ve ikinci şekillerdeki sayıların konumları arasındaki matematiksel ilişkiyi analiz edin.
I. Şekil için: 5×4−(3+2)=20−5=155 \times 4 - (3 + 2) = 20 - 5 = 15 bağıntısı sağlanır. II. Şekil için: 7×3−(4+5)=21−9=127 \times 3 - (4 + 5) = 21 - 9 = 12 bağıntısı sağlanır.
Şekiller arasındaki genel örüntü kuralını doğrulamak için.
2
Belirlenen kuralı üçüncü şekle uygulayarak bilinmeyen xx değerini içeren denklemi kurun.
8×7−(6+x)=458 \times 7 - (6 + x) = 45 denklemi kurulur.
Üçüncü şekildeki matematiksel ilişkiyi ifade etmek için.
3
Elde edilen denklemi çözerek xx değerini hesaplayın.
56−(6+x)=45⇒6+x=11⇒x=556 - (6 + x) = 45 \Rightarrow 6 + x = 11 \Rightarrow x = 5 bulunur.
Bilinmeyen değişkenin değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı - Şekil Bağıntılarında Örüntü Çözümleme

İpuçları

1
Köşelerdeki sayıları karşılıklı (çapraz) çiftler halinde gruplandırarak aralarındaki çarpma ve toplama işlemlerini inceleyin.
2
Sol üst ile sağ alt köşelerdeki sayıları çarpın; sağ üst ile sol alt köşelerdeki sayıları toplayın. Bu iki sonucun farkı size ortadaki sayıyı vermelidir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde dairesel veya üçgensel sayı dizilimlerinde de karşılıklı elemanların işlemlerine (toplam, fark, çarpım) odaklanarak pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →

Bir kenar uzunluğu 11 birim olan bir küpün yüzeylerinde yıldız (★\bigstar), kare (■\blacksquare), daire (∙\bullet), üçgen (▲\blacktriangle), artı (++) ve çarpı (×\times) sembolleri yer almaktadır. Küpün karşılıklı yüzeylerinde bulunan sembol çiftleri şu şekildedir:
- Yıldız (★\bigstar) ve Kare (■\blacksquare)
- Daire (∙\bullet) ve Üçgen (▲\blacktriangle)
- Artı (++) ve Çarpı (×\times)

Bu küp, başlangıçta 3×33 \times 3 birim karelik bir zemin üzerinde, sol alt köşedeki (1,1)(1,1) karesine yerleştirilmiştir. Başlangıç konumunda küpün;
- Alt yüzeyinde kare (■\blacksquare) (dolayısıyla üst yüzeyinde yıldız ★\bigstar),
- Ön (güney) yüzeyinde daire (∙\bullet),
- Arka (kuzey) yüzeyinde ü��gen (▲\blacktriangle),
- Sağ (doğu) yüzeyinde artı (++),
- Sol (batı) yüzeyinde çarpı (×\times)
bulunmaktadır.

Küp, bu zemin üzerinde kaydırılmadan, yüzeyleri üzerine devrilerek sırasıyla şu hareketleri yapıyor:
1. 11 adım sağa (doğuya) devrilerek (2,1)(2,1) karesine,
2. 11 adım sağa (doğuya) devrilerek (3,1)(3,1) karesine,
3. 11 adım yukarıya (kuzeye) devrilerek (3,2)(3,2) karesine,
4. 11 adım yukarıya (kuzeye) devrilerek (3,3)(3,3) karesine,
5. 11 adım sola (batıya) devrilerek (2,3)(2,3) karesine,
6. 11 adım aşağıya (güneye) devrilerek (2,2)(2,2) karesine,
7. 11 adım sola (batıya) devrilerek (1,2)(1,2) karesine,
8. 11 adım yukarıya (kuzeye) devrilerek (1,3)(1,3) karesine ulaşıyor.

Buna göre, küp (1,3)(1,3) karesine ulaştığında üst yüzeyinde hangi sembol bulunur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Çarpı (×\times)

Cevap

Çarpı (×\times)
Küpün adım adım devrilme hareketleri izlendiğinde, her devrilme yönünde hangi yüzlerin sabit kaldığı ve hangi yüzlerin yer değiştirdiği belirlenmiştir. Son adım olan (1,3)(1,3) karesine ulaşırken yapılan yukarı (kuzey) devrilmesinde, ön yüzde bulunan Çarpı (×\times) sembolü üst yüzeye gelmiştir. Dolayısıyla son durumda üst yüzdeki sembol Çarpı (×\times) olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç durumunu belirleme ve ilk iki doğu (sağ) adımını uygulama
Küp (1,1)(1,1) konumundan sağa iki kez devrildiğinde:
- (1,1)(1,1) başlangı��: Üst=Yıldız, Alt=Kare, Ön=Daire, Arka=Üçgen, Sağ=Artı, Sol=Çarpı.
- (2,1)(2,1) (1. adım sağ): Üst=Çarpı, Alt=Artı, Sağ=Yıldız, Sol=Kare, Ön ve Arka değişmez.
- (3,1)(3,1) (2. adım sağ): Üst=Kare, Alt=Yıldız, Sağ=Çarpı, Sol=Artı, Ön ve Arka değişmez.
Sağa doğru devrilme hareketlerinde ön ve arka yüzlerin konumu sabit kalırken; üst, alt, sağ ve sol yüzler kendi aralarında saat yönünde döner.
2
Kuzey (yukarı) yönündeki iki adımı uygulama
Küp (3,1)(3,1) konumundan yukarı iki kez devrildiğinde:
- (3,2)(3,2) (3. adım yukarı): Üst=Daire, Alt=Üçgen, Ön=Yıldız, Arka=Kare, Sağ=Çarpı, Sol=Artı.
- (3,3)(3,3) (4. adım yukarı): Üst=Yıldız, Alt=Kare, Ön=Üçgen, Arka=Daire, Sağ=Çarpı, Sol=Artı.
Kuzeye (yukarıya) doğru devrilme hareketlerinde sağ ve sol yüzlerin konumu sabit kalırken; üst, alt, ön ve arka yüzler kendi aralarında dönerek yer değiştirir.
3
Batı (sol) ve güney (aşağı) adımlarını uygulama
Küp (3,3)(3,3) konumundan sırasıyla sola ve aşağı devrildiğinde:
- (2,3)(2,3) (5. adım sol): Üst=Çarpı, Alt=Artı, Sol=Yıldız, Sağ=Kare, Ön=Üçgen, Arka=Daire.
- (2,2)(2,2) (6. adım aşağı): Üst=Daire, Alt=Üçgen, Ön=Çarpı, Arka=Artı, Sol=Yıldız, Sağ=Kare.
Sola (batıya) devrilmede ön/arka sabit kalır, diğerleri döner. Aşağı (güneye) devrilmede ise sağ/sol sabit kalır, ön/arka/üst/alt döner.
4
Son iki adımı (sol ve yukarı) uygulayarak nihai durumu bulma
Küp (2,2)(2,2) konumundan son iki adımını attığında:
- (1,2)(1,2) (7. adım sol): Üst=Kare, Alt=Yıldız, Sol=Daire, Sağ=Üçgen, Ön=Çarpı, Arka=Artı.
- (1,3)(1,3) (8. adım yukarı): Üst=Çarpı, Alt=Artı, Arka=Kare, Ön=Yıldız, Sol=Daire, Sağ=Üçgen.
7. adımda sola devrilen küpte üst yüzeye Kare gelir. 8. adımda kuzeye (yukarıya) devrildiğinde ön yüzde bulunan Çarpı sembolü üste gelir.

Anahtar Kavram

Üç boyutlu şekillerin (küp) düzlem üzerindeki yuvarlanma/devrilme hareketlerinde yüzey konumlarının takibi ve uzamsal mantık yürüterek şekil yeteneği analizi yapma.

İpuçları

1
Küpün karşılıklı yüzeylerindeki sembol çiftlerinin her zaman karşılıklı kalacağını unutmayın. Örneğin Yıldız üstteyken Kare mutlaka alttadır.
2
Küp sağa veya sola devrildiğinde ön ve arka yüzlerin konumu hiç değişmez. Benzer şekilde yukarı (kuzeye) veya aşağı (güneye) devrildiğinde sağ ve sol yüzlerin konumu sabit kalır.
3
Adım adım giderken küpün ön, arka, sağ, sol, üst ve alt durumlarını bir kağıda not ederek ilerleyin. Son adımdan hemen önce (7. adım sonunda) küpün ön yüzünde hangi sembolün olduğunu bulup onu bir adım kuzeye devirdiğinizde o sembolün üste geleceğini görebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir küp döndürme sorusunda, bu defa küpün zeminle temas eden (alt) yüzeyinin bastığı sembollerin toplamını veya yol boyunca zemine temas eden yüzeylerin oluşturduğu deseni bulmaya çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Küpün açınımını (net) çizip zemin üzerindeki karelerle eşleştirerek veya küpün başlangıç durumundaki 3 boyutlu koordinat eksenlerini tanımlayıp devrilmeleri rotasyon matrisleri/yön değişimleri olarak takip ederek de sonuca ulaşabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 16Soru →

Aşağıdaki tabloda K, L ve M kütüphanelerinde bulunan roman, tarih ve bilim türündeki kitapların sayıları gösterilmektedir. Bazı kitap sayıları harflerle belirtilmiştir.

KütüphaneRomanTarihBilim
K12080xx
Lyy150100
M90zz110

Bu kütüphanelerdeki kitaplarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Üç kütüphanede bulunan toplam tarih kitabı sayısı, toplam bilim kitabı sayısına eşittir.
- M kütüphanesindeki tarih kitaplarının sayısı (zz), bu kütüphanedeki tüm kitapların sayısının %20'sine eşittir.
- L kütüphanesindeki roman kitaplarının sayısı (yy), bu kütüphanedeki tüm kitapların sayısının %50'sine eşittir.

Buna göre, bu üç kütüphanede bulunan toplam kitap sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1020

Cevap

Bu üç kütüphanede bulunan toplam kitap sayısı 1020'dir.
M kütüphanesinde tarih kitaplarının sayısı, tüm kitapların %20'si olarak verildiği için denklem kurularak tarih kitabı sayısı 50 bulunur. Toplam tarih ve bilim kitapları eşitliğinden K kütüphanesindeki bilim kitabı sayısı 70 olarak elde edilir. L kütüphanesindeki roman sayısı ise bu kütüphanedeki kitapların %50'si olduğu için 250 olarak hesaplanır. Üç kütüphanedeki tüm kitapların toplamı ise 1020 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
M kütüphanesindeki tarih kitaplarının sayısını (zz) bulmak için denklem kurma.
z=50z = 50 olarak bulunur.
M kütüphanesindeki tarih kitaplarının sayısı (zz), kütüphanedeki tüm kitapların sayısı olan 90+z+110=200+z90 + z + 110 = 200 + z ifadesinin %20'sine eşittir. Buradan z=0,2(200+z)⇒0,8z=40⇒z=50z = 0,2(200 + z) \Rightarrow 0,8z = 40 \Rightarrow z = 50 elde edilir.
2
Toplam tarih kitaplarının sayısını hesaplama.
Toplam tarih kitapları sayısı 280'dir.
Üç kütüphanedeki tarih kitaplarının sayıları toplanır: 80+150+50=28080 + 150 + 50 = 280.
3
K kütüphanesindeki bilim kitaplarının sayısını (xx) bulma.
x=70x = 70 olarak bulunur.
Toplam tarih kitabı sayısı toplam bilim kitabı sayısına eşittir. Bilim kitaplarının toplamı x+100+110=210+xx + 100 + 110 = 210 + x olup bu değer 280'e eşitlenir: 210+x=280⇒x=70210 + x = 280 \Rightarrow x = 70.
4
L kütüphanesindeki roman kitaplarının sayısını (yy) bulma.
y=250y = 250 olarak bulunur.
L kütüphanesindeki roman kitaplarının sayısı (yy), kütüphanedeki tüm kitapların sayısı olan y+150+100=y+250y + 150 + 100 = y + 250 ifadesinin %50'sine eşittir. Buradan y=0,5(y+250)⇒0,5y=125⇒y=250y = 0,5(y + 250) \Rightarrow 0,5y = 125 \Rightarrow y = 250 elde edilir.
5
K, L ve M kütüphanelerindeki tüm kitapların toplamını bulma.
Toplam kitap sayısı 1020'dir.
K kütüphanesinde 120+80+70=270120+80+70 = 270 kitap, L kütüphanesinde 250+150+100=500250+150+100 = 500 kitap ve M kütüphanesinde 90+50+110=25090+50+110 = 250 kitap bulunmaktadır. Hepsi toplandığında 270+500+250=1020270 + 500 + 250 = 1020 elde edilir.

Anahtar Kavram

Tablolardaki verilerin yüzdeler ve doğrusal denklemler kullanılarak analiz edilmesi

İpuçları

1
Öncelikle bilinmeyenlerden sadece birine bağlı olan kütüphanelerden başlayarak denklemleri kurun.
2
M kütüphanesindeki tarih kitaplarının sayısını bulmak için, bu kitapların sayısının toplam kitap sayısına oranını %20 olarak yazıp denklem çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, bu kütüphanelerdeki kitap oranlarını dairesel grafiklere dökerek grafik yorumlama soruları çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine yüzde oranlarını doğrudan sadeleştirilmiş kesirler (örneğin %20 yerine 1/5, %50 yerine 1/2) olarak kullanmak işlem kolaylığı sağlayabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi,
aΔb=3a−ba \Delta b = 3a - b
biçiminde tanımlanıyor.
(3Δx)Δ4=11(3 \Delta x) \Delta 4 = 11
olduğuna göre, xx değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bilinmeyen x değeri 4 olmalıdır.
Verilen kurala göre öncelikle parantez içindeki 3Δx3 \Delta x işlemi yapılır ve 3⋅3−x=9−x3 \cdot 3 - x = 9 - x elde edilir. Bu sonuç dıştaki işleme yerleştirildiğinde (9−x)Δ4=11(9 - x) \Delta 4 = 11 eşitliği kurulur. Kural tekrar uygulandığında 3(9−x)−4=113(9 - x) - 4 = 11 denklemi elde edilir. Parantez dağıtılıp düzenlendiğinde 27−3x−4=11  ⟹  23−3x=11  ⟹  3x=12  ⟹  x=427 - 3x - 4 = 11 \implies 23 - 3x = 11 \implies 3x = 12 \implies x = 4 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
3Δx3 \Delta x parantez içi ifadesini kurala göre açmak
3Δx=9−x3 \Delta x = 9 - x
İşlem önceliğine göre önce parantez içi hesaplanır.
2
9−x9 - x sonucunu dıştaki işleme uygulayarak denklem kurmak
3(9−x)−4=113(9 - x) - 4 = 11
Dıştaki işlem olan (9−x)Δ4(9 - x) \Delta 4 ifadesini çözüme kavuşturmak için.
3
Elde edilen denklemi çözerek x değerini bulmak
23−3x=11  ⟹  3x=12  ⟹  x=423 - 3x = 11 \implies 3x = 12 \implies x = 4
Bilinmeyen x değişkenini yalnız bırakarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlem kurallarını sırasıyla uygulayarak birinci dereceden denklem çözme
Soru 18Soru →

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⋆\star ve ∙\bullet işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:

Her a,ba, b pozitif tam sayısı için;
1. a⋆1=a+1a \star 1 = a + 1
2. a⋆(b+1)=(a⋆b)⋆ba \star (b + 1) = (a \star b) \star b

ve

a∙b=2a⋆b−2aa \bullet b = 2^{a \star b} - 2^a

biçimindedir.

Buna göre, a∙b=240a \bullet b = 240 eşitliğini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayıları için a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

7
Doğru cevap olan 7 değerine ulaşmak için öncelikle ⋆\star işleminin ilk birkaç terimi hesaplanarak genel örüntüsü belirlenir. a⋆b=a+2b−1a \star b = a + 2^{b-1} formülü elde edildikten sonra ∙\bullet işleminde yerine yazılarak 2a(22b−1−1)=2402^a(2^{2^{b-1}} - 1) = 240 denklemi kurulur. 240 sayısı 24⋅152^4 \cdot 15 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, pozitif tam sayılarda tek çözümün a=4a=4 ve b=3b=3 olduğu görülür. Buradan a+b=7a+b=7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
⋆\star işleminin özyinelemeli (recursive) tanımını analiz etmek ve küçük bb değerleri için sonuçları hesaplamak.
b=1b = 1 için a⋆1=a+1a \star 1 = a + 1, b=2b = 2 için a⋆2=(a⋆1)⋆1=(a+1)+1=a+2a \star 2 = (a \star 1) \star 1 = (a+1)+1 = a + 2, b=3b = 3 için a⋆3=(a⋆2)⋆2=(a+2)+2=a+4a \star 3 = (a \star 2) \star 2 = (a+2)+2 = a + 4 ve b=4b = 4 için a⋆4=(a⋆3)⋆3=(a+4)+4=a+8a \star 4 = (a \star 3) \star 3 = (a+4)+4 = a + 8 elde edilir.
İşlemin genel kuralını (örüntüsünü) keşfetmek için ilk birkaç terimi görmek gerekir.
2
Elde edilen sonuçlardaki artış miktarını inceleyerek genel bir formül bulmak.
a⋆b=a+2b−1a \star b = a + 2^{b-1} formülüne ulaşılır.
Eklenen sayıların her adımda 2'nin kuvvetleri şeklinde katlanarak arttığını (1,2,4,8,…1, 2, 4, 8, \dots) belirlemek için.
3
Bulunan genel formülü ∙\bullet işleminin tanımında yerine yazmak.
a∙b=2a+2b−1−2a=2a(22b−1−1)a \bullet b = 2^{a + 2^{b-1}} - 2^a = 2^a (2^{2^{b-1}} - 1) ifadesi elde edilir.
Denklemi çözülebilir bir çarpım durumuna getirmek için ortak paranteze almak gerekir.
4
a∙b=240a \bullet b = 240 denklemini pozitif tam sayılarda çözmek.
2a(22b−1−1)=16⋅15  ⟹  a=42^a (2^{2^{b-1}} - 1) = 16 \cdot 15 \implies a = 4 ve 2b−1=4  ⟹  b−1=2  ⟹  b=32^{b-1} = 4 \implies b-1 = 2 \implies b = 3 olarak bulunur.
240 sayısını bir 2'nin kuvveti ile tek bir sayının çarpımı şeklinde yazarak (24⋅152^4 \cdot 15) eşleştirmek için.
5
a+ba + b toplamını hesaplamak.
a+b=4+3=7a + b = 4 + 3 = 7 bulunur.
Soruda bizden istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı özyinelemeli (recursive) işlemlerin genel terimini bulma ve üslü denklem çözümü.
Soru 19Soru →

Bir okulda beş öğrenci (Ahmet, Burak, Cemil, Demir ve Elif) bir sırada yan yana durmaktadır. Bu öğrencilerin sıradaki konumlarıyla ilgili şunlar bilinmektedir:

* Cemil sıranın tam ortasındadır.
* Ahmet, Cemil'in hemen solundadır.
* Elif sıranın en sağındadır.

Buna göre, Burak sıranın en solunda olduğuna göre, Demir soldan kaçıncı sıradadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: dördüncü

Cevap

dördüncü
Verilen kurallar sırayla uygulandığında; Cemil 3. sırada, Ahmet 2. sırada, Elif 5. sırada yer alır. Burak en solda yani 1. sırada olduğuna göre, geriye kalan tek boş yer olan 4. sıra Demir'e ait olur. Bu nedenle doğru yanıt dördüncü seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Sıradaki 5 konumu soldan sağa doğru 1, 2, 3, 4 ve 5 olarak numaralandıralım.
Sıra düzeni şablonu: [1] [2] [3] [4] [5] şeklindedir.
Öğrencilerin yerlerini doğru tespit edebilmek için sırayı şemaya dökmek.
2
Verilen kuralları sırasıyla uygulayalım: Cemil tam ortada (3. sıra), Ahmet Cemil'in hemen solunda (2. sıra) ve Elif en sağda (5. sıra) yer alır.
Yerleşim durumu: [1: Boş] [2: Ahmet] [3: Cemil] [4: Boş] [5: Elif]
Kesin olan bilgileri sıradaki yerlerine yerleştirmek.
3
Burak'ın en solda (1. sıra) olduğu bilgisini ekleyip kalan boş yere Demir'i yerleştirelim.
Nihai sıralama: [1: Burak] [2: Ahmet] [3: Cemil] [4: Demir] [5: Elif] şeklindedir. Demir 4. sıradadır.
Kalan yerleri doldurarak Demir'in sırasını belirlemek.

Anahtar Kavram

Sıralama ve Mantıksal Konumlandırma
Tahmini Süre:45s
Soru 20Soru →
Tam sayılar kümesinde tanımlı △\triangle ve ⋆\star işlemleri her aa ve bb tam sayısı için
a△b=2a+b+2a \triangle b = 2a + b + 2
a⋆b=3a−ba \star b = 3a - b
biçiminde tanımlanıyor.
(x△2)⋆5=13(x \triangle 2) \star 5 = 13
olduğuna göre, xx tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Buna göre, xx tam sayısı 1 olmalıdır.
Doğru seçenekte verilen değer, tanımlanan işlemleri sırasıyla uygulayarak (x△2)⋆5=13(x \triangle 2) \star 5 = 13 eşitliğini sağlar. İlk olarak y⋆5=13y \star 5 = 13 eşitliğinden y=6y = 6 bulunur. Ardından x△2=6x \triangle 2 = 6 eşitliği çözülerek x=1x = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
(x△2)⋆5=13(x \triangle 2) \star 5 = 13 eşitliğinde parantez içindeki x△2x \triangle 2 ifadesine yy diyerek denklemi basitleştirin.
y⋆5=13y \star 5 = 13
Öncelikle dıştaki işlemi çözmek için değişken dönüşümü yapmak işlem adımlarını kolaylaştırır.
2
y⋆5=13y \star 5 = 13 eşitliğinde ⋆\star işleminin tanımını (a⋆b=3a−ba \star b = 3a - b) uygulayarak yy değerini hesaplayın.
3y−5=13  ⟹  3y=18  ⟹  y=63y - 5 = 13 \implies 3y = 18 \implies y = 6
Dış işlemin sonucunu bularak parantez içindeki ifadenin değerini elde etmek.
3
y=6y = 6 ise x△2=6x \triangle 2 = 6 eşitliğinde △\triangle işleminin tanımını (a△b=2a+b+2a \triangle b = 2a + b + 2) uygulayarak xx değerini bulun.
2x+2+2=6  ⟹  2x+4=6  ⟹  2x=2  ⟹  x=12x + 2 + 2 = 6 \implies 2x + 4 = 6 \implies 2x = 2 \implies x = 1
İçteki işlemin tanımını kullanarak bilinmeyen xx değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemler ve denklem çözme
Sayfa 1 / 6Sonraki