Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzel Tanımlı İşlemler
İki basamaklı ABAB ve CDCD doğal sayıları için ⊞\boxplus işlemi,
(AB)⊞(CD)=A⋅D+B⋅C(AB) \boxplus (CD) = A \cdot D + B \cdot C
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(23)⊞(xy)=28(23) \boxplus (xy) = 28
eşitliğini sağlayan ve rakamları birbirinden farklı kaç farklı iki basamaklı xyxy doğal sayısı vardır?
  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Eşitliği sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan 3 farklı iki basamaklı xyxy doğal sayısı vardır.
İşlem tanımına göre (23)⊞(xy)=2y+3x=28(23) \boxplus (xy) = 2y + 3x = 28 eşitliği kurulur. Bu eşitliği sağlayan ve xx ile yy'nin birer rakam (ve x≠0x \neq 0) olma koşulunu sağlayan xyxy sayıları 4848, 6565 ve 8282 olmak üzere üç tanedir. Bu sayıların tamamında rakamlar birbirinden farklıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan işlemi verilen sayılara uygulamak.
(23)⊞(xy)=2⋅y+3⋅x(23) \boxplus (xy) = 2 \cdot y + 3 \cdot x ifadesi elde edilir.
Tanımda (AB)⊞(CD)=A⋅D+B⋅C(AB) \boxplus (CD) = A \cdot D + B \cdot C olarak verildiği için A=2A=2, B=3B=3, C=xC=x ve D=yD=y alınarak formülde yerine yazılır.
2
Elde edilen ifadeyi işlemin sonucuna eşitlemek.
3x+2y=283x + 2y = 28 denklemi kurulur.
İşlemin sonucunun 28 olduğu soruda belirtilmiştir.
3
Denklemi sağlayan xx ve yy rakamlarını belirlemek.
3x+2y=283x + 2y = 28 denkleminde 2y2y ve 2828 çift sayı olduğundan 3x3x ifadesi ve dolayısıyla xx rakamı çift olmalıdır. xyxy iki basamaklı sayı olduğundan x≠0x \neq 0 olmalıdır. Bu durumda xx değeri 2, 4, 6 veya 8 olabilir:
- x=2x = 2 için 6+2y=28  ⟹  2y=22  ⟹  y=116 + 2y = 28 \implies 2y = 22 \implies y = 11 (11 bir rakam olmadığından çözüm gelmez).
- x=4x = 4 için 12+2y=28  ⟹  2y=16  ⟹  y=812 + 2y = 28 \implies 2y = 16 \implies y = 8 (Rakamları farklı xy=48xy = 48 sayısı elde edilir).
- x=6x = 6 için 18+2y=28  ⟹  2y=10  ⟹  y=518 + 2y = 28 \implies 2y = 10 \implies y = 5 (Rakamları farklı xy=65xy = 65 sayısı elde edilir).
- x=8x = 8 için 24+2y=28  ⟹  2y=4  ⟹  y=224 + 2y = 28 \implies 2y = 4 \implies y = 2 (Rakamları farklı xy=82xy = 82 sayısı elde edilir).
xx ve yy değerlerinin iki basamaklı xyxy sayısını oluşturan birer rakam olma koşulunu sağlaması gerekir.
4
Koşulları sağlayan sayıların toplam adedini bulmak.
4848, 6565 ve 8282 olmak üzere toplam 3 adet sayı vardır.
Bulunan her üç sayının da rakamları birbirinden farklıdır ve iki basamaklıdır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenleri yerlerine yazarak denklem kurma ve rakam/basamak koşullarına uygun tam sayı çözümlerini bulma.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru