Examkin

Soru

Zorluk: KolayKoni

Taban yarıçapı 6 cm6\text{ cm} ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olan bir dik dairesel koni, tabanına paralel bir düzlemle yüksekliğinin tam ortasından kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, üstte kalan küçük koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

  1. A
    24
  2. 12Cevap
  3. C
    36
  4. D
    48
  5. E
    84

Cevap

Küçük koninin hacmi 12 π cm³tür.
Büyük koninin hacmi V=13π⋅62⋅8=96π cm3V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur. Yüksekliğin tam ortasından kesilmesiyle oluşan küçük koni ile büyük koni arasındaki benzerlik oranı 1/21/2 ve hacimleri oranı (12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} olur. Buradan küçük koninin hacmi 96π⋅18=12π cm396\pi \cdot \frac{1}{8} = 12\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük koninin hacmini hesaplayınız.
Vbu¨yu¨k=96π cm3V_{\text{büyük}} = 96\pi\text{ cm}^3
Koninin taban yarıçapı r=6 cmr = 6\text{ cm} ve yüksekliği h=8 cmh = 8\text{ cm} olduğundan, dik koni hacim formülü olan V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h uygulanarak toplam hacim bulunur.
2
Kesit düzleminin oluşturduğu benzerlik oran��nı belirleyiniz.
k=12k = \frac{1}{2}
Koni yükseklik ekseni boyunca tam ortadan kesildiği için küçük koninin yüksekliğinin büyük koninin yüksekliğine oranı benzerlik oranını verir: 4/8=1/24 / 8 = 1/2.
3
Benzerlik oranını kullanarak küçük koninin hacmini hesaplayınız.
Vku¨c¸u¨k=12π cm3V_{\text{küçük}} = 12\pi\text{ cm}^3
Benzer katı cisimlerin hacimleri oranı, aralarındaki benzerlik oranının küpüne eşittir. Hacimler oranı k3=(1/2)3=1/8k^3 = (1/2)^3 = 1/8 olup, küçük koninin hacmi büyük koninin hacminin 1/8'i kadardır.

Anahtar Kavram

Konide Benzerlik ve Hacim İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Koni

Bu konudan daha fazla soru