Examkin

Koni

7 soru

Soru 1Soru →

Yan yüzeyinin açınımı yapıldığında merkez açısı 288∘288^\circ ve yarıçapı (ana doğrusunun uzunluğu) 15 cm15\text{ cm} olan bir daire dilimi elde edilen dik dairesel koni, tabanına paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Oluşan küçük koninin yanal alanının, geriye kalan kesik koninin yanal alanına oranı 45\frac{4}{5} olduğuna göre, bu kesik koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 304

Cevap

Kesik koninin hacmi 304π cm3304\pi\text{ cm}^3 tür.
Doğru cevap olan 304 seçeneği, koninin açınım bağıntısı kullanılarak hesaplanan taban yarıçapı (12 cm12\text{ cm}) ve Pisagor bağıntısı ile bulunan yükseklik (9 cm9\text{ cm}) yardımıyla toplam hacmin (432π cm3432\pi\text{ cm}^3) elde edilmesi, ardından yanal alanlar oranından bulunan benzerlik oranının küpü (k3=8/27k^3 = 8/27) ile kesik koni hacim oranının (19/2719/27) çarpılması sonucu doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yan yüzeyinin açınımı kullanılarak taban yarıçapını bulma.
r=12 cmr = 12\text{ cm}
Yan yüzeyin açınımındaki daire diliminin merkez açısı θ=288∘\theta = 288^\circ ve ana doğrusu a=15 cma = 15\text{ cm} olduğundan, ra=θ360∘\frac{r}{a} = \frac{\theta}{360^\circ} bağıntısı kullanılır. Buradan r=15⋅288360=12 cmr = 15 \cdot \frac{288}{360} = 12\text{ cm} elde edilir.
2
Koninin yüksekliğini bulma.
h=9 cmh = 9\text{ cm}
Dik konide taban yarıçapı (rr), yükseklik (hh) ve ana doğru (aa) dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısı (h2+r2=a2h^2 + r^2 = a^2) uyguland��ğında: h2+122=152  ⟹  h2=225−144=81  ⟹  h=9 cmh^2 + 12^2 = 15^2 \implies h^2 = 225 - 144 = 81 \implies h = 9\text{ cm} bulunur.
3
Tüm koninin hacmini hesaplama.
V=432π cm3V = 432\pi\text{ cm}^3
Koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h şeklindedir. Bulunan değerler formülde yerine yazıldığında: V=13π⋅122⋅9=3π⋅144=432π cm3V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 9 = 3\pi \cdot 144 = 432\pi\text{ cm}^3 elde edilir.
4
Benzerlik oranını yanal alanlar oranından belirleme.
k=23k = \frac{2}{3}
Küçük koninin yanal alanının kesik koninin yanal alanına oranı 45\frac{4}{5} ise, küçük koninin yanal alanının tüm koninin yanal alanına oranı 44+5=49\frac{4}{4+5} = \frac{4}{9} olur. Benzer iki katı cismin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan, k2=49  ⟹  k=23k^2 = \frac{4}{9} \implies k = \frac{2}{3} bulunur.
5
Kesik koninin hacmini hesaplama.
Vf=304π cm3V_f = 304\pi\text{ cm}^3
Benzer katı cisimlerin hacimleri oranı benzerlik oranının küpüne eşittir. Küçük koninin hacminin tüm koninin hacmine oranı k3=(23)3=827k^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} olur. Dolayısıyla geriye kalan kesik koninin hacmi, tüm koninin hacminin 1−827=19271 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}'sidir. Buradan kesik koninin hacmi Vf=1927⋅432π=19⋅16π=304π cm3V_f = \frac{19}{27} \cdot 432\pi = 19 \cdot 16\pi = 304\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Koni benzerliği, yanal alan ve hacim oranları ile açınım bağıntıları

Alternatif Yöntem

Kesik koninin hacmi, kesik koni hacim formülü olan Vf=13πhf(r12+r22+r1r2)V_f = \frac{1}{3}\pi h_f (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) formülü ile doğrudan hesaplanabilir. Burada kesik koninin yüksekliği hf=h−h1=9−6=3 cmh_f = h - h_1 = 9 - 6 = 3\text{ cm}, alt taban yarıçapı r1=12 cmr_1 = 12\text{ cm} ve üst taban yarıçapı r2=8 cmr_2 = 8\text{ cm}'dir. Formülde yerine yazıldığında: Vf=13π⋅3⋅(122+82+12⋅8)=π⋅(144+64+96)=304π cm3V_f = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot (12^2 + 8^2 + 12 \cdot 8) = \pi \cdot (144 + 64 + 96) = 304\pi\text{ cm}^3 elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2Soru →

Yanal alanı 15π cm215\pi\text{ cm}^2 ve taban yarıçapı 3 cm3\text{ cm} olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Doğru yanıt 12 sayısıdır.
Doğru yanıt olan seçenek, koninin yanal alan formülünden elde edilen ana doğru uzunluğu (5 cm5\text{ cm}) ve dik üçgen bağıntısından elde edilen yükseklik (4 cm4\text{ cm}) yardımıyla hacmin 12π cm312\pi\text{ cm}^3 olduğunu doğru bir şekilde göstermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin ana doğrusunu (aa) bulma
a=5 cma = 5\text{ cm}
Koninin yanal alan formülü Ayan=π⋅r⋅aA_{\text{yan}} = \pi \cdot r \cdot a şeklindedir. Verilenleri yerine yazarsak, 15π=π⋅3⋅a  ⟹  a=5 cm15\pi = \pi \cdot 3 \cdot a \implies a = 5\text{ cm} bulunur.
2
Koninin yüksekliğini (hh) bulma
h=4 cmh = 4\text{ cm}
Dik konide yükseklik (hh), taban yarıçapı (rr) ve ana doğru (aa) arasında Pisagor bağıntısı vardır: h2+r2=a2h^2 + r^2 = a^2. Buradan h2+32=52  ⟹  h=4 cmh^2 + 3^2 = 5^2 \implies h = 4\text{ cm} elde edilir.
3
Koninin hacmini (VV) hesaplama
V=12π cm3V = 12\pi\text{ cm}^3
Koninin hacim formülü V=13⋅π⋅r2⋅hV = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h şeklindedir. Değerleri yerine koyduğumuzda V=13⋅π⋅32⋅4=12π cm3V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 12\pi\text{ cm}^3 bulunur.

Anahtar Kavram

Dik dairesel koninin yanal alanı, yüksekliği ve hacmi arasındaki geometrik bağıntılar.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Bir dik dairesel koninin yan yüzeyi açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı 216∘216^\circ ve bu daire diliminin yarıçapı 10 cm10\text{ cm}'dir. Bu koni, yüksekliğinin tam ortasından tabanına paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen alttaki kesik koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

Kesik koninin hacmi 84π cm384\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
Verilen merkez açısı ve daire dilimi yarıçapı kullanılarak koninin ana doğrusunun 10 cm10\text{ cm} ve taban yarıçapının 6 cm6\text{ cm} olduğu tespit edilir. Pisagor bağıntısı yardımıyla koninin yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olarak bulunur. Tüm koninin hacmi 96π cm396\pi\text{ cm}^3 tür. Koni yüksekliğinin tam ortasından paralel bir düzlemle kesildiğinde oluşan benzerlik oranı 12\frac{1}{2}'dir. Hacimler oranı benzerlik oranının küpü olacağından, üstteki küçük koninin hacmi tüm koninin hacminin 18\frac{1}{8}'idir. Alttaki kesik koninin hacmi ise tüm hacmin 78\frac{7}{8}'i olup 84π cm384\pi\text{ cm}^3 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin taban yarıçapının (rr) bulunması.
r=6 cmr = 6\text{ cm}
Koninin yan yüzeyinin açınımı olan daire diliminin yarıçapı koninin ana doğrusuna (a=10 cma = 10\text{ cm}) eşittir. Taban yarıçapı ile ana doğru arasındaki ilişki ra=θ360∘\frac{r}{a} = \frac{\theta}{360^\circ} formülüyle bulunur. Buradan r10=216∘360∘  ⟹  r=6 cm\frac{r}{10} = \frac{216^\circ}{360^\circ} \implies r = 6\text{ cm} elde edilir.
2
Koninin yüksekliğinin (hh) bulunması.
h=8 cmh = 8\text{ cm}
Koni yüksekliği, taban yarıçapı ve ana doğru arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır (h2+r2=a2h^2 + r^2 = a^2). Buradan h2+62=102  ⟹  h2=64  ⟹  h=8 cmh^2 + 6^2 = 10^2 \implies h^2 = 64 \implies h = 8\text{ cm} bulunur.
3
Koninin toplam hacminin (VV) hesaplanması.
V=96π cm3V = 96\pi\text{ cm}^3
Koni hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında V=13π(62)(8)=96π cm3V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = 96\pi\text{ cm}^3 hesaplanır.
4
Kesik koninin hacminin benzerlik ilişkisiyle bulunması.
Vkesik=84π cm3V_{\text{kesik}} = 84\pi\text{ cm}^3
Koni, yüksekliğinin tam ortasından (k=12k = \frac{1}{2} benzerlik oranıyla) kesildiğinde, üstte oluşan küçük koninin hacminin tüm koninin hacmine oranı k3=(12)3=18k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} olur. Bu durumda alttaki kesik koninin hacmi toplam hacmin 1−18=781 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}'ine eşit olur. Buradan Vkesik=78×96π=84π cm3V_{\text{kesik}} = \frac{7}{8} \times 96\pi = 84\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Koni hacmi, açınım özellikleri ve katı cisimlerde benzerlik-hacim ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →

Taban yarıçapı 3 cm3\text{ cm} ve ana doğrusunun (yanal ayrıtının) uzunluğu 5 cm5\text{ cm} olan bir dik dairesel koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1212

Cevap

Koninin hacmi 12π cm312\pi\text{ cm}^3 tür.
Dik dairesel konide yarıçap, yükseklik ve ana doğru arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır (3−4−53-4-5 üçgeni). Bu ilişkiden yükseklik 4 cm4\text{ cm} olarak bulunur. Koninin hacim formülü olan V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h uygulandığında hacim 12π cm312\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yüksekliğini bulmak için dik üçgen bağıntısını uygulayın.
Yükseklik h=4 cmh = 4\text{ cm} olarak bulunur.
Dik dairesel konide taban yarıçapı (rr), yükseklik (hh) ve ana doğru uzunluğu (aa) arasında r2+h2=a2r^2 + h^2 = a^2 bağıntısı vardır. Buradan 32+h2=52⇒9+h2=25⇒h2=16⇒h=4 cm3^2 + h^2 = 5^2 \Rightarrow 9 + h^2 = 25 \Rightarrow h^2 = 16 \Rightarrow h = 4\text{ cm} elde edilir.
2
Bulunan yükseklik ve taban yarıçapı değerlerini koninin hacim formülünde yerine yazın.
Hacim V=12π cm3V = 12\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur.
Koninin hacmi V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h formülüyle hesaplanır. Değerleri yerine koyduğumuzda V=13π⋅32⋅4=13π⋅9⋅4=12π cm3V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi\text{ cm}^3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Dik dairesel konide yükseklik, taban yarıçapı ve ana doğru arasındaki ilişkiyi kullanarak hacim hesaplama.

İpuçları

1
Bir dik dairesel konide taban yarıçapı, yükseklik ve yanal ayrıt (ana doğru) bir dik üçgen oluşturur.
2
Yarıçapı 3 cm3\text{ cm} ve hipotenüsü 5 cm5\text{ cm} olan dik üçgenin diğer dik kenarı (yani koninin yüksekliği) kaç cm olur? Buradan yüksekliği bulun.
3
Yüksekliği 4 cm4\text{ cm} bulduktan sonra, koninin hacmini V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h formülünü kullanarak hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, yüksekliği ve yarıçapı verilen bir koninin yanal alanını veya yüzey alanını bulma sorularını çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

Taban yarıçapı 6 cm6\text{ cm} ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olan bir dik dairesel koni, tabanına paralel bir düzlemle yüksekliğinin tam ortasından kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, üstte kalan küçük koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Küçük koninin hacmi 12 π cm³tür.
Büyük koninin hacmi V=13π⋅62⋅8=96π cm3V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur. Yüksekliğin tam ortasından kesilmesiyle oluşan küçük koni ile büyük koni arasındaki benzerlik oranı 1/21/2 ve hacimleri oranı (12)3=18\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} olur. Buradan küçük koninin hacmi 96π⋅18=12π cm396\pi \cdot \frac{1}{8} = 12\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Büyük koninin hacmini hesaplayınız.
Vbu¨yu¨k=96π cm3V_{\text{büyük}} = 96\pi\text{ cm}^3
Koninin taban yarıçapı r=6 cmr = 6\text{ cm} ve yüksekliği h=8 cmh = 8\text{ cm} olduğundan, dik koni hacim formülü olan V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h uygulanarak toplam hacim bulunur.
2
Kesit düzleminin oluşturduğu benzerlik oran��nı belirleyiniz.
k=12k = \frac{1}{2}
Koni yükseklik ekseni boyunca tam ortadan kesildiği için küçük koninin yüksekliğinin büyük koninin yüksekliğine oranı benzerlik oranını verir: 4/8=1/24 / 8 = 1/2.
3
Benzerlik oranını kullanarak küçük koninin hacmini hesaplayınız.
Vku¨c¸u¨k=12π cm3V_{\text{küçük}} = 12\pi\text{ cm}^3
Benzer katı cisimlerin hacimleri oranı, aralarındaki benzerlik oranının küpüne eşittir. Hacimler oranı k3=(1/2)3=1/8k^3 = (1/2)^3 = 1/8 olup, küçük koninin hacmi büyük koninin hacminin 1/8'i kadardır.

Anahtar Kavram

Konide Benzerlik ve Hacim İlişkisi
Soru 6Soru →

Taban yarıçapı 9 cm9\text{ cm} ve yüksekliği 15 cm15\text{ cm} olan dik dairesel koni biçimindeki boş bir kabın içine, tabanı koninin tabanı ile aynı düzlemde olan bir dik dairesel silindir yerleştiriliyor. Silindirin üst tabanının çevresi, koninin yanal yüzeyine temas etmektedir.

Silindirin hacmi, koninin hacminin 49\frac{4}{9}'una eşit olduğuna göre, silindirin yüksekliği kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Silindirin yüksekliği 5 cm olmalıdır.
Koninin hacmi hesaplanıp benzerlikten türetilen silindir hacim formülüne eşitlendiğinde elde edilen (15−h)2h=500(15-h)^2 h = 500 denklemini sağlayan geçerli yükseklik değeri 5 cm'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin hacmini formülü kullanarak hesaplayalım.
Vkoni=13πR2H=13π⋅92⋅15=405π cm3V_{\text{koni}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 15 = 405\pi\text{ cm}^3 bulunur.
Silindirin hacmi ile kıyaslama yapabilmek için öncelikle koninin toplam hacmini bulmamız gerekir.
2
Silindirin yarıçapı ile yüksekliği arasındaki ilişkiyi benzerlik yardımıyla kuralım.
Silindirin yarıçapı rr ve yüksekliği hh olsun. Koninin yanal yüzeyindeki benzerlikten r9=15−h15  ⟹  r=3(15−h)5\frac{r}{9} = \frac{15-h}{15} \implies r = \frac{3(15-h)}{5} elde edilir.
Silindirin üst taban çemberi koninin yanal yüzeyine değdiği için benzer üçgenler oluşur.
3
Silindirin hacmini veren ifadeyi koninin hacminin 49\frac{4}{9}'una eşitleyelim.
Vsilindir=πr2h=π(3(15−h)5)2h=9π25(15−h)2hV_{\text{silindir}} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{3(15-h)}{5}\right)^2 h = \frac{9\pi}{25}(15-h)^2 h olur. Bu hacim 49⋅405π=180π\frac{4}{9} \cdot 405\pi = 180\pi değerine eşitlenir.
Soruda silindirin hacminin koninin hacminin 49\frac{4}{9}'una eşit olduğu belirtilmiştir.
4
Elde edilen denklemi sadeleştirip yüksekliği (hh) bulalım.
9π25(15−h)2h=180π  ⟹  (15−h)2h=500\frac{9\pi}{25}(15-h)^2 h = 180\pi \implies (15-h)^2 h = 500 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan hh değeri 5 olarak bulunur (102⋅5=50010^2 \cdot 5 = 500).
Silindir yüksekliğinin koni sınırları içerisinde (0<h<150 < h < 15) kalan fiziksel kökünü bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Dik dairesel koni içine yerleştirilen cisimlerde benzerlik oranı ve hacim hesaplama ilişkisi

İpuçları

1
Silindirin üst taban dairesinin köşeleri koninin yanal yüzeyine değdiği için koninin yüksekliği ve yarıçapı ile silindirin yüksekliği ve yarıçapı arasında benzerlik kurabilirsiniz.
2
Koninin tepe noktasından silindirin üst tabanına olan uzaklık 15−h15-h kadardır. Buradan benzerlik oranını r9=15−h15\frac{r}{9} = \frac{15-h}{15} şeklinde yazarak rr'yi hh cinsinden ifade edin.
3
Silindirin hacmi V=πr2hV = \pi r^2 h formülüyle bulunur. Elde ettiğiniz rr'yi bu formülde yerine yazarak hacmi koninin hacminin 49\frac{4}{9}'una eşitleyin ve oluşan h(15−h)2=500h(15-h)^2 = 500 denklemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, koni içine yerleştirilen maksimum hacimli silindirin yüksekliğinin koninin yüksekliğinin kaçta kaçı olduğunu bulmaya çalışabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, seçeneklerdeki değerleri tek tek deneyerek hangisinin hacim oranını 49\frac{4}{9} yaptığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin h = 5 için r = 6 olur; silindir hacmi 180π180\pi, koni hacmi ise 405π405\pi'dir. Oran 180/405=4/9180/405 = 4/9 olarak doğrudan doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Bir dik dairesel koninin yan yüzeyi düzleme açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı 216∘216^\circ ve yarıçapı (ana doğrusunun uzunluğu) 15 cm15\text{ cm}'dir. Bu koni, tabanına paralel bir düzlemle kesilerek üstte kalan küçük koninin yüksekliğinin altta kalan kesik koninin yüksekliğine oranı 22 olacak şekilde iki parçaya ayrılıyor.

Buna göre, elde edilen kesik koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 228

Cevap

Elde edilen kesik koninin hacmi 228π cm3228\pi\text{ cm}^3 tür.
Doğru cevap 228228 değeridir. Koninin yanal yüzey açınımından taban yarıçapı r=15⋅216360=9 cmr = 15 \cdot \frac{216}{360} = 9\text{ cm} ve Pisagor teoremi yardımıyla yüksekliği H=12 cmH = 12\text{ cm} bulunur. Yükseklikler oranı kullanılarak benzerlik oranı k=812=23k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} belirlenir. Hacimler oranı k3=827k^3 = \frac{8}{27} olduğundan kesik koninin hacmi toplam hacmin 1927\frac{19}{27}'sidir. Toplam hacim 324π cm3324\pi\text{ cm}^3 olduğundan kesik koninin hacmi 228π cm3228\pi\text{ cm}^3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin taban yarıçapını bulma
r=9 cmr = 9\text{ cm}
Yanal yüzey açınımındaki taban yarıçapı (rr), ana doğru uzunluğu (aa) ve merkez açı (α\alpha) ili��kisi r=a⋅α360∘r = a \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} formülüyle bulunur. Buradan r=15⋅216360=9 cmr = 15 \cdot \frac{216}{360} = 9\text{ cm} elde edilir.
2
Koninin yüksekliğini hesaplama
H=12 cmH = 12\text{ cm}
Dik konide taban yarıçapı (rr), yükseklik (HH) ve ana doğru (aa) arasında Pisagor bağıntısı (r2+H2=a2r^2 + H^2 = a^2) geçerlidir. 92+H2=152⇒H=12 cm9^2 + H^2 = 15^2 \Rightarrow H = 12\text{ cm} (9-12-15 özel dik üçgeni) bulunur.
3
Küçük koni ve kesik koninin yüksekliklerini belirleme
hku¨c¸u¨k=8 cmh_{\text{küçük}} = 8\text{ cm}, hkesik=4 cmh_{\text{kesik}} = 4\text{ cm}
Üstte kalan küçük koninin yüksekliğinin altta kalan kesik koninin yüksekliğine oranı 22 olarak verilmiştir (hku¨c¸u¨k=2⋅hkesikh_{\text{küçük}} = 2 \cdot h_{\text{kesik}}). Toplam yükseklik H=12 cmH = 12\text{ cm} olduğuna göre, 3⋅hkesik=12⇒hkesik=4 cm3 \cdot h_{\text{kesik}} = 12 \Rightarrow h_{\text{kesik}} = 4\text{ cm} ve hku¨c¸u¨k=8 cmh_{\text{küçük}} = 8\text{ cm} bulunur.
4
Toplam koni hacmini hesaplama
Vtoplam=324π cm3V_{\text{toplam}} = 324\pi\text{ cm}^3
Koni hacim formülü V=13πR2HV = \frac{1}{3} \pi R^2 H yardımıyla, orijinal koninin hacmi Vtoplam=13π⋅92⋅12=324π cm3V_{\text{toplam}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9^2 \cdot 12 = 324\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.
5
Kesik koninin hacmini bulma
Vkesik=228π cm3V_{\text{kesik}} = 228\pi\text{ cm}^3
Benzer konilerin hacimleri oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir. Benzerlik oranı k=hku¨c¸u¨kH=812=23k = \frac{h_{\text{küçük}}}{H} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}'tür. Hacimler oranı k3=(23)3=827k^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} olur. Bu durumda üstteki küçük koninin hacmi Vku¨c¸u¨k=827VtoplamV_{\text{küçük}} = \frac{8}{27} V_{\text{toplam}} ve kesik koninin hacmi Vkesik=(1−827)Vtoplam=1927⋅324π=19⋅12π=228π cm3V_{\text{kesik}} = \left(1 - \frac{8}{27}\right) V_{\text{toplam}} = \frac{19}{27} \cdot 324\pi = 19 \cdot 12\pi = 228\pi\text{ cm}^3 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Konide yanal yüzey açınımı elemanları arasındaki ilişki, yükseklik bağıntısı ve paralel kesitlerle oluşan konilerde benzerlik oranı ile hacim oranı (k3k^3) ilişkisi.