Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKoni

Yan yüzeyinin açınımı yapıldığında merkez açısı 288∘288^\circ ve yarıçapı (ana doğrusunun uzunluğu) 15 cm15\text{ cm} olan bir daire dilimi elde edilen dik dairesel koni, tabanına paralel bir düzlemle kesilerek iki parçaya ayrılıyor.

Oluşan küçük koninin yanal alanının, geriye kalan kesik koninin yanal alanına oranı 45\frac{4}{5} olduğuna göre, bu kesik koninin hacmi kaç π cm3\pi\text{ cm}^3 tür?

  1. A
    128
  2. B
    228
  3. C
    240
  4. 304Cevap
  5. E
    912

Cevap

Kesik koninin hacmi 304π cm3304\pi\text{ cm}^3 tür.
Doğru cevap olan 304 seçeneği, koninin açınım bağıntısı kullanılarak hesaplanan taban yarıçapı (12 cm12\text{ cm}) ve Pisagor bağıntısı ile bulunan yükseklik (9 cm9\text{ cm}) yardımıyla toplam hacmin (432π cm3432\pi\text{ cm}^3) elde edilmesi, ardından yanal alanlar oranından bulunan benzerlik oranının küpü (k3=8/27k^3 = 8/27) ile kesik koni hacim oranının (19/2719/27) çarpılması sonucu doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Koninin yan yüzeyinin açınımı kullanılarak taban yarıçapını bulma.
r=12 cmr = 12\text{ cm}
Yan yüzeyin açınımındaki daire diliminin merkez açısı θ=288∘\theta = 288^\circ ve ana doğrusu a=15 cma = 15\text{ cm} olduğundan, ra=θ360∘\frac{r}{a} = \frac{\theta}{360^\circ} bağıntısı kullanılır. Buradan r=15⋅288360=12 cmr = 15 \cdot \frac{288}{360} = 12\text{ cm} elde edilir.
2
Koninin yüksekliğini bulma.
h=9 cmh = 9\text{ cm}
Dik konide taban yarıçapı (rr), yükseklik (hh) ve ana doğru (aa) dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısı (h2+r2=a2h^2 + r^2 = a^2) uyguland��ğında: h2+122=152  ⟹  h2=225−144=81  ⟹  h=9 cmh^2 + 12^2 = 15^2 \implies h^2 = 225 - 144 = 81 \implies h = 9\text{ cm} bulunur.
3
Tüm koninin hacmini hesaplama.
V=432π cm3V = 432\pi\text{ cm}^3
Koninin hacim formülü V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h şeklindedir. Bulunan değerler formülde yerine yazıldığında: V=13π⋅122⋅9=3π⋅144=432π cm3V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 9 = 3\pi \cdot 144 = 432\pi\text{ cm}^3 elde edilir.
4
Benzerlik oranını yanal alanlar oranından belirleme.
k=23k = \frac{2}{3}
Küçük koninin yanal alanının kesik koninin yanal alanına oranı 45\frac{4}{5} ise, küçük koninin yanal alanının tüm koninin yanal alanına oranı 44+5=49\frac{4}{4+5} = \frac{4}{9} olur. Benzer iki katı cismin alanları oranı benzerlik oranının karesine eşit olduğundan, k2=49  ⟹  k=23k^2 = \frac{4}{9} \implies k = \frac{2}{3} bulunur.
5
Kesik koninin hacmini hesaplama.
Vf=304π cm3V_f = 304\pi\text{ cm}^3
Benzer katı cisimlerin hacimleri oranı benzerlik oranının küpüne eşittir. Küçük koninin hacminin tüm koninin hacmine oranı k3=(23)3=827k^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} olur. Dolayısıyla geriye kalan kesik koninin hacmi, tüm koninin hacminin 1−827=19271 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}'sidir. Buradan kesik koninin hacmi Vf=1927⋅432π=19⋅16π=304π cm3V_f = \frac{19}{27} \cdot 432\pi = 19 \cdot 16\pi = 304\pi\text{ cm}^3 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Koni benzerliği, yanal alan ve hacim oranları ile açınım bağıntıları

Alternatif Yöntem

Kesik koninin hacmi, kesik koni hacim formülü olan Vf=13πhf(r12+r22+r1r2)V_f = \frac{1}{3}\pi h_f (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) formülü ile doğrudan hesaplanabilir. Burada kesik koninin yüksekliği hf=h−h1=9−6=3 cmh_f = h - h_1 = 9 - 6 = 3\text{ cm}, alt taban yarıçapı r1=12 cmr_1 = 12\text{ cm} ve üst taban yarıçapı r2=8 cmr_2 = 8\text{ cm}'dir. Formülde yerine yazıldığında: Vf=13π⋅3⋅(122+82+12⋅8)=π⋅(144+64+96)=304π cm3V_f = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot (12^2 + 8^2 + 12 \cdot 8) = \pi \cdot (144 + 64 + 96) = 304\pi\text{ cm}^3 elde edilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Koni

Bu konudan daha fazla soru