Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBileşke Fonksiyon
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={x+3,x tek isex2,x c¸ift isef(x) = \begin{cases} x + 3, & x \text{ tek ise} \\ \frac{x}{2}, & x \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(f∘f∘f∘f)(a)=5(f \circ f \circ f \circ f)(a) = 5
eşitliğini sağlayan aa tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    170
  2. 190Cevap
  3. C
    204
  4. D
    210
  5. E
    71

Cevap

Bileşke fonksiyonun 4 adımı tersten takip edilip teklik-çiftlik kuralları doğru uygulandığında elde edilen değerlerin toplamı 190'dır.
Dört adımlı bileşke fonksiyonu tersten incelediğimizde, her adımda elde edilen değerlerin teklik-çiftlik kurallarına uygunluğunu kontrol ederek doğru aa değerlerini buluruz. Bu değerler 11,28,34,3711, 28, 34, 37 ve 8080 olup toplamları 190190 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x1)=5f(x_1) = 5 eşitliğini sağlayan x1x_1 değerini bulmak için fonksiyonun dalları incelenir.
x1=10x_1 = 10
Eğer x1x_1 tek ise x1+3=5  ⟹  x1=2x_1 + 3 = 5 \implies x_1 = 2 olur fakat 2 çift sayı olduğu için bu koldan çözüm gelmez. Eğer x1x_1 çift ise x1/2=5  ⟹  x1=10x_1 / 2 = 5 \implies x_1 = 10 olur ve 10 çift sayı olduğu için bu koldan x1=10x_1 = 10 çözümü elde edilir.
2
f(x2)=10f(x_2) = 10 eşitliğini sağlayan x2x_2 değerleri bulunur.
x2∈{7,20}x_2 \in \{7, 20\}
Eğer x2x_2 tek ise x2+3=10  ⟹  x2=7x_2 + 3 = 10 \implies x_2 = 7 (7 tek sayıdır, geçerli). Eğer x2x_2 çift ise x2/2=10  ⟹  x2=20x_2 / 2 = 10 \implies x_2 = 20 (20 çift sayıdır, geçerli).
3
f(x3)=7f(x_3) = 7 ve f(x3)=20f(x_3) = 20 eşitliklerini sağlayan x3x_3 değerleri bulunur.
x3∈{14,17,40}x_3 \in \{14, 17, 40\}
f(x3)=7f(x_3) = 7 için: tek ise x3+3=7  ⟹  x3=4x_3 + 3 = 7 \implies x_3 = 4 (4 çift sayı, elenir); çift ise x3/2=7  ⟹  x3=14x_3 / 2 = 7 \implies x_3 = 14 (14 çift sayı, geçerli). f(x3)=20f(x_3) = 20 için: tek ise x3+3=20  ⟹  x3=17x_3 + 3 = 20 \implies x_3 = 17 (17 tek sayı, geçerli); çift ise x3/2=20  ⟹  x3=40x_3 / 2 = 20 \implies x_3 = 40 (40 çift sayı, geçerli).
4
f(a)=14f(a) = 14, f(a)=17f(a) = 17 ve f(a)=40f(a) = 40 eşitliklerini sağlayan aa değerleri bulunur.
a∈{11,28,34,37,80}a \in \{11, 28, 34, 37, 80\}
f(a)=14f(a) = 14 için a=11a = 11 (tek, geçerli) veya a=28a = 28 (çift, geçerli). f(a)=17f(a) = 17 için a=14a = 14 (çift sayı olduğundan teklik kolu şartını sağlamaz, elenir) veya a=34a = 34 (çift, geçerli). f(a)=40f(a) = 40 için a=37a = 37 (tek, geçerli) veya a=80a = 80 (çift, geçerli).
5
Elde edilen geçerli aa değerleri toplanır.
11+28+34+37+80=19011 + 28 + 34 + 37 + 80 = 190
Bileşke eşitliğini sağlayan tüm geçerli aa tam sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda tersten işlem yaparken parçalı fonksiyon kollarının tanım kümesi ve teklik-çiftlik koşullarının her adımda titizlikle sorgulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyon

Bu konudan daha fazla soru