Examkin

Bileşke Fonksiyon

10 soru

Soru 1Soru →
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={x+3,x tek isex2,x c¸ift isef(x) = \begin{cases} x + 3, & x \text{ tek ise} \\ \frac{x}{2}, & x \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre,
(f∘f∘f∘f)(a)=5(f \circ f \circ f \circ f)(a) = 5
eşitliğini sağlayan aa tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 190

Cevap

Bileşke fonksiyonun 4 adımı tersten takip edilip teklik-çiftlik kuralları doğru uygulandığında elde edilen değerlerin toplamı 190'dır.
Dört adımlı bileşke fonksiyonu tersten incelediğimizde, her adımda elde edilen değerlerin teklik-çiftlik kurallarına uygunluğunu kontrol ederek doğru aa değerlerini buluruz. Bu değerler 11,28,34,3711, 28, 34, 37 ve 8080 olup toplamları 190190 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x1)=5f(x_1) = 5 eşitliğini sağlayan x1x_1 değerini bulmak için fonksiyonun dalları incelenir.
x1=10x_1 = 10
Eğer x1x_1 tek ise x1+3=5  ⟹  x1=2x_1 + 3 = 5 \implies x_1 = 2 olur fakat 2 çift sayı olduğu için bu koldan çözüm gelmez. Eğer x1x_1 çift ise x1/2=5  ⟹  x1=10x_1 / 2 = 5 \implies x_1 = 10 olur ve 10 çift sayı olduğu için bu koldan x1=10x_1 = 10 çözümü elde edilir.
2
f(x2)=10f(x_2) = 10 eşitliğini sağlayan x2x_2 değerleri bulunur.
x2∈{7,20}x_2 \in \{7, 20\}
Eğer x2x_2 tek ise x2+3=10  ⟹  x2=7x_2 + 3 = 10 \implies x_2 = 7 (7 tek sayıdır, geçerli). Eğer x2x_2 çift ise x2/2=10  ⟹  x2=20x_2 / 2 = 10 \implies x_2 = 20 (20 çift sayıdır, geçerli).
3
f(x3)=7f(x_3) = 7 ve f(x3)=20f(x_3) = 20 eşitliklerini sağlayan x3x_3 değerleri bulunur.
x3∈{14,17,40}x_3 \in \{14, 17, 40\}
f(x3)=7f(x_3) = 7 için: tek ise x3+3=7  ⟹  x3=4x_3 + 3 = 7 \implies x_3 = 4 (4 çift sayı, elenir); çift ise x3/2=7  ⟹  x3=14x_3 / 2 = 7 \implies x_3 = 14 (14 çift sayı, geçerli). f(x3)=20f(x_3) = 20 için: tek ise x3+3=20  ⟹  x3=17x_3 + 3 = 20 \implies x_3 = 17 (17 tek sayı, geçerli); çift ise x3/2=20  ⟹  x3=40x_3 / 2 = 20 \implies x_3 = 40 (40 çift sayı, geçerli).
4
f(a)=14f(a) = 14, f(a)=17f(a) = 17 ve f(a)=40f(a) = 40 eşitliklerini sağlayan aa değerleri bulunur.
a∈{11,28,34,37,80}a \in \{11, 28, 34, 37, 80\}
f(a)=14f(a) = 14 için a=11a = 11 (tek, geçerli) veya a=28a = 28 (çift, geçerli). f(a)=17f(a) = 17 için a=14a = 14 (çift sayı olduğundan teklik kolu şartını sağlamaz, elenir) veya a=34a = 34 (çift, geçerli). f(a)=40f(a) = 40 için a=37a = 37 (tek, geçerli) veya a=80a = 80 (çift, geçerli).
5
Elde edilen geçerli aa değerleri toplanır.
11+28+34+37+80=19011 + 28 + 34 + 37 + 80 = 190
Bileşke eşitliğini sağlayan tüm geçerli aa tam sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda tersten işlem yaparken parçalı fonksiyon kollarının tanım kümesi ve teklik-çiftlik koşullarının her adımda titizlikle sorgulanması.
Soru 2Soru →
ff ve gg fonksiyonları
f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4
g(x−1)=2x+1g(x - 1) = 2x + 1
biçiminde tanımlanmaktadır.
Buna göre, (f∘g)(2)(f \circ g)(2) bileşke işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Bileşke işleminin sonucu 17'dir.
Bileşke fonksiyon tanımı gereğince (f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesi f(g(2))f(g(2)) şeklinde yazılır. g(2)g(2) değerini bulmak için g(x−1)=2x+1g(x - 1) = 2x + 1 eşitliğinde parantez içi 2'ye eşitlenir: x−1=2  ⟹  x=3x - 1 = 2 \implies x = 3 bulunur. Eşitliğin sağ tarafında xx yerine 3 yazıldığında g(2)=2(3)+1=7g(2) = 2(3) + 1 = 7 elde edilir. Bu değer f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 fonksiyonunda girdi olarak kullanılır: f(7)=3(7)−4=17f(7) = 3(7) - 4 = 17 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulayarak istenen ifadeyi açın.
(f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2))
Bileşke fonksiyon kuralı gereği, (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği geçerlidir.
2
g(2)g(2) değerini hesaplamak için verilen g(x−1)=2x+1g(x-1) = 2x+1 eşitliğinde uygun xx değerini bulun.
x−1=2  ⟹  x=3x - 1 = 2 \implies x = 3 olur. Bu durumda g(2)=2(3)+1=7g(2) = 2(3) + 1 = 7 bulunur.
Fonksiyonun içindeki ifadenin 2 olması için xx yerine yazılması gereken değer belirlenmelidir.
3
Bulunan g(2)=7g(2) = 7 değerini f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4 fonksiyonunda yerine yazarak sonucu elde edin.
f(7)=3(7)−4=21−4=17f(7) = 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17 olur.
Bileşke fonksiyonun son aşaması olarak dıştaki fonksiyonun içine içteki fonksiyonun sonucu yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma işlemi, sağdaki fonksiyonun görüntüsünün soldaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıyla gerçekleştirilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−x+1f(x) = x^2 - x + 1
g(x)=2x+mg(x) = 2x + m
fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)
eşitliğini sağlayan yalnızca bir tane xx gerçel sayısı olduğuna göre, mm kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

m değeri -1 olmalıdır.
Verilen f ve g fonksiyonları bileşke işlemine tabi tutulup birbirine eşitlendiğinde elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denkleminin yalnızca bir kökünün olması için diskriminantı sıfır olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek gerçel sayı m = -1 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
(f o g)(x) fonksiyonunu bulmak için f(x) ifadesinde x yerine g(x) yazılır.
(f o g)(x) = (2x + m)^2 - (2x + m) + 1 = 4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
2
(g o f)(x) fonksiyonunu bulmak için g(x) ifadesinde x yerine f(x) yazılır.
(g o f)(x) = 2(x^2 - x + 1) + m = 2x^2 - 2x + 2 + m
İkinci bileşke fonksiyonu elde etmek.
3
Eşitliği kullanarak ikinci dereceden tek değişkenli bir denklem oluşturulur.
4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1 = 2x^2 - 2x + 2 + m => 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0
x değerlerini bulabilmek için denklemi standart forma getirmek.
4
Denklemin yalnızca bir tane gerçel kökü olması için diskriminantı (Delta) sıfıra eşitlenir.
Delta = (4m)^2 - 4 * 2 * (m^2 - 2m - 1) = 0 => 16m^2 - 8(m^2 - 2m - 1) = 0 => 8m^2 + 16m + 8 = 0 => m^2 + 2m + 1 = 0 => (m + 1)^2 = 0 => m = -1
İkinci dereceden denklemlerde tek kök bulunması (çakışık kök) şartını uygulamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların hesabı ve ikinci dereceden denklemlerde tek kök olma (diskriminantın sıfır olması) şartının bir arada kullanılması.

Alternatif Yöntem

Eşitlik düzenlendikten sonra elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle de çözülebilir. İfade 2(x + m)^2 - m^2 - 2m - 1 = 0 haline getirilir. Buradan (x + m)^2 = (m^2 + 2m + 1)/2 elde edilir. Tek bir x çözümünün olması için sağ taraf sıfır olmalıdır. Buradan m^2 + 2m + 1 = 0 ve m = -1 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →
Tanımlı olduğu aralıkta ff ve gg fonksiyonları
f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3
g(x)=3x−1x+1g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1}
eşitliklerini sağlamaktadır.
(f∘g)(a)=5(f \circ g)(a) = 5
olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Aranan aa değeri 11 olarak bulunur.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(a)=f(g(a))=5(f \circ g)(a) = f(g(a)) = 5 yazılır. f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 olduğundan f(g(a))=2g(a)+3=5f(g(a)) = 2g(a) + 3 = 5 olur. Buradan 2g(a)=22g(a) = 2 ve dolayısıyla g(a)=1g(a) = 1 elde edilir. g(x)=3x−1x+1g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1} olduğundan g(a)=3a−1a+1=1g(a) = \frac{3a - 1}{a + 1} = 1 eşitliği kurulur. İçler dışlar çarpımı yapıldığında 3a−1=a+13a - 1 = a + 1 denklemi elde edilir. Buradan 2a=22a = 2 ve sonuç olarak a=1a = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak (f∘g)(a)=5(f \circ g)(a) = 5 eşitliğini f(g(a))=5f(g(a)) = 5 şeklinde yazmak.
f(g(a))=5f(g(a)) = 5
Bileşke fonksiyon işleminde dıştaki fonksiyonun içine içteki fonksiyon yazılır.
2
f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 fonksiyonunda xx yerine g(a)g(a) yazarak 2g(a)+3=52g(a) + 3 = 5 denklemini elde etmek ve buradan g(a)g(a) değerini bulmak.
2g(a)=2  ⟹  g(a)=12g(a) = 2 \implies g(a) = 1
f(g(a))f(g(a)) ifadesini elde etmek ve g(a)g(a) değerini yalnız bırakmak için.
3
g(x)=3x−1x+1g(x) = \frac{3x - 1}{x + 1} fonksiyonunda xx yerine aa yazıp sonucu 11'e eşitleyerek aa değerini bulmak.
3a−1a+1=1  ⟹  3a−1=a+1  ⟹  2a=2  ⟹  a=1\frac{3a - 1}{a + 1} = 1 \implies 3a - 1 = a + 1 \implies 2a = 2 \implies a = 1
g(a)=1g(a) = 1 eşitliğini sağlayan aa değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırası ve fonksiyon değerlerinin hesaplanması
Soru 5Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3
g(x)=2x+2x−1g(x) = \frac{2x + 2}{x - 1}
fonksiyonları veriliyor.

Buna göre, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1313

Cevap

İfadenin doğru değeri 1313 olmalıdır.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) şeklindedir. İlk olarak içteki g(3)g(3) değeri hesaplanır: g(3)=2(3)+23−1=4g(3) = \frac{2(3)+2}{3-1} = 4. Ardından bu değer dıştaki ff fonksiyonunda yerine yazılır: f(4)=42−3=13f(4) = 4^2 - 3 = 13. Bu nedenle doğru değer 1313 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2x+2x−1g(x) = \frac{2x+2}{x-1} fonksiyonunda xx yerine 33 yazarak g(3)g(3) değerini hesaplayın.
g(3)=2(3)+23−1=82=4g(3) = \frac{2(3)+2}{3-1} = \frac{8}{2} = 4
Bileşke fonksiyon tanımı gereği, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesi f(g(3))f(g(3)) değerine eşittir. Bu nedenle önce içteki fonksiyonun değeri hesaplanmalıdır.
2
f(x)=x2−3f(x) = x^2 - 3 fonksiyonunda xx yerine g(3)g(3)'ün değeri olan 44 yazarak f(4)f(4) değerini hesaplayın.
f(4)=42−3=16−3=13f(4) = 4^2 - 3 = 16 - 3 = 13
İlk adımda elde edilen g(3)=4g(3) = 4 değeri, dıştaki f(x)f(x) fonksiyonuna girdi olarak yazılır.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyon işlemlerinde, (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) eşitliği kullanılarak işlemler her zaman en içteki fonksiyondan dışa doğru sırayla yapılır.
Soru 6Soru →
Gerçel sayılar kümesinin uygun bir alt kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x + 3}{x - 1}
g(x)=x2−5g(x) = x^2 - 5
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Doğru cevap 4'tür.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(3)=g(f(3))(g \circ f)(3) = g(f(3)) eşitliği yazılır. Öncelikle içteki fonksiyon olan f(3)f(3) değeri hesaplanır. f(3)=3f(3) = 3 bulunur. Daha sonra bu değer gg fonksiyonunda yerine yazılarak g(3)=4g(3) = 4 elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun tanımını kullanarak (g∘f)(3)(g \circ f)(3) ifadesini iç içe fonksiyon biçiminde yazın.
g(f(3))g(f(3))
Bileşke fonksiyon işleminde sağdaki fonksiyonun görüntüsü soldaki fonksiyonun girdisi olur.
2
f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x + 3}{x - 1} fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak f(3)f(3) değerini hesaplayın.
f(3)=3+33−1=62=3f(3) = \frac{3 + 3}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3
Bileşke değerini bulmak için öncelikle içteki f(3)f(3) değerine ihtiyaç vardır.
3
Bulunan f(3)=3f(3) = 3 değerini g(x)=x2−5g(x) = x^2 - 5 fonksiyonunda xx yerine yazarak g(f(3))g(f(3)) değerini hesaplayın.
g(3)=32−5=9−5=4g(3) = 3^2 - 5 = 9 - 5 = 4
İçteki fonksiyonun sonucu olan 3, dıştaki g fonksiyonunun girdisi olarak kullanılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon Değeri Bulma
Soru 7Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x
g(x)=x+42g(x) = \frac{x + 4}{2}
biçiminde veriliyor.
Buna göre, (f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin de��eri 3'tür.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği (f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) yazılır. Öncelikle en içteki fonksiyon olan g(2)g(2) değeri hesaplanır. İlgili fonksiyonda xx yerine 2 yazıldığında g(2)=2+42=3g(2) = \frac{2+4}{2} = 3 elde edilir. Daha sonra elde edilen bu 3 değeri dıştaki f(x)f(x) fonksiyonunda girdi olarak kullanılır: f(3)=32−2(3)=9−6=3f(3) = 3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3 bulunur. Bu adımlar sonucunda doğru değere ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak ifadeyi daha açık bir şekilde yazın.
(f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) elde edilir.
Bileşke fonksiyon kuralına göre sağdaki fonksiyonun çıktısı, soldaki fonksiyonun girdisi olur.
2
İçteki fonksiyon olan g(2)g(2) değerini hesaplayın.
g(2)=2+42=62=3g(2) = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 bulunur.
f(g(2))f(g(2)) ifadesinde önce parantez içindeki değeri bulmam��z gerekir.
3
Bulduğunuz değeri dıştaki fonksiyonda yerine yazarak nihai sonucu bulun.
f(3)=32−2⋅3=9−6=3f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3 bulunur.
f(g(2))f(g(2)) ifadesi g(2)=3g(2) = 3 olduğu için f(3)f(3) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda işlem sırasının sağdan sola (içten dışa) doğru uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →
Tanımlı oldukları aralıklarda ff ve gg fonksiyonları
f(x)=x2−2x−5f(x) = x^2 - 2x - 5
g(x)=2x+6x−1g(x) = \frac{2x + 6}{x - 1}
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

19
Bileşke fonksiyon tanımına göre (f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3))'tür. İlk olarak içteki fonksiyon olan g(3)g(3) değeri hesaplanır. g(3)=2(3)+63−1=6g(3) = \frac{2(3)+6}{3-1} = 6 bulunur. Daha sonra bu değer dıştaki ff fonksiyonunda yerine yazılarak f(6)=62−2(6)−5=19f(6) = 6^2 - 2(6) - 5 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak (f∘g)(3)(f \circ g)(3) ifadesini f(g(3))f(g(3)) şeklinde yazın.
f(g(3))f(g(3))
Bileşke fonksiyon işlemi sağdan sola doğru uygulanır.
2
g(x)g(x) fonksiyonunda x=3x = 3 yazarak g(3)g(3) değerini hesaplayın.
g(3)=6g(3) = 6
g(3)=2(3)+63−1=122=6g(3) = \frac{2(3) + 6}{3 - 1} = \frac{12}{2} = 6 elde edilir.
3
Bulunan g(3)=6g(3) = 6 değerini f(x)f(x) fonksiyonunda yerine yazarak f(6)f(6) değerini hesaplayın.
f(6)=19f(6) = 19
f(6)=62−2(6)−5=36−12−5=19f(6) = 6^2 - 2(6) - 5 = 36 - 12 - 5 = 19 bulunur.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonlarda değer bulma işlemi sağdaki fonksiyonun görüntüsünün soldaki fonksiyona girdi olarak yazılmasıyla ger��ekleştirilir.

Alternatif Yöntem

Bileşke fonksiyon işlemini doğrudan f(g(x))f(g(x)) fonksiyonunun kuralını bulup sonra x=3x=3 yazarak da çözebiliriz: f(g(x))=(2x+6x−1)2−2(2x+6x−1)−5f(g(x)) = \left(\frac{2x+6}{x-1}\right)^2 - 2\left(\frac{2x+6}{x-1}\right) - 5. Burada x=3x=3 koyduğumuzda yine 62−2(6)−5=196^2 - 2(6) - 5 = 19 sonucuna ulaşırız. Ancak bu yöntem zaman alıcıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
Tanımlı oldukları aralıklarda ff ve gg fonksiyonları için
f(x+1)=2x−3f(x + 1) = 2x - 3
(g∘f)(x)=4x−5(g \circ f)(x) = 4x - 5
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, g(3)g(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Doğru cevap 11 değeridir.
Bileşke fonksiyon tanımına göre (g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) şeklindedir. İlk olarak f(x+1)=2x−3f(x + 1) = 2x - 3 eşitliğinde xx yerine x−1x - 1 yazarak f(x)=2(x−1)−3=2x−5f(x) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 5 elde ederiz. Ardından, g(f(x))=g(2x−5)=4x−5g(f(x)) = g(2x - 5) = 4x - 5 eşitliğini kullanırız. Bizden g(3)g(3) değeri istendiği için fonksiyonun parantez içindeki ifadesini 33'e eşitleriz: 2x−5=3⇒2x=8⇒x=42x - 5 = 3 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 olur. Bulduğumuz bu x=4x = 4 değerini 4x−54x - 5 ifadesinde yerine yazdığımızda g(3)=4(4)−5=11g(3) = 4(4) - 5 = 11 sonucuna ulaşırız. Bu nedenle doğru cevap 11 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun kuralını bulmak
f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5
f(x+1)=2x−3f(x+1) = 2x - 3 eşitliğinde xx yerine x−1x-1 yazılarak değişken dönüşümü yapılır.
2
Bileşke fonksiyon tanımını yazmak
g(2x−5)=4x−5g(2x - 5) = 4x - 5
(g∘f)(x)=g(f(x))(g \circ f)(x) = g(f(x)) tanımından ötürü f(x)f(x) ifadesi gg fonksiyonunun içine yazılır.
3
g(3)g(3) değerini bulmak için uygun xx değerini belirlemek ve yerine yazmak
g(3)=11g(3) = 11
2x−5=3⇒x=42x - 5 = 3 \Rightarrow x = 4 bulunur. Bu xx değeri sağ taraftaki 4x−54x - 5 ifadesinde yerine yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon

İpuçları

1
f(x+1)f(x + 1) ifadesinden f(x)f(x) fonksiyonuna geçmek için xx yerine ne yazılması gerektiğini düşünün.
2
f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5 olduğunu bulduktan sonra, bileşke fonksiyonun tanımını kullanarak g(f(x))=4x−5g(f(x)) = 4x - 5 eşitliğini elde edin.
3
g(2x−5)=4x−5g(2x - 5) = 4x - 5 eşitliğinde parantez içini 33 yapmak için xx yerine 44 yazmalısınız.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ve g(x)g(x) verilip f(x)f(x) fonksiyonunun istendiği soruları çözerek bileşke fonksiyon işlemlerini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

f(x+1)=2x−3f(x+1) = 2x-3 ifadesini (g∘f)(x)=4x−5(g \circ f)(x) = 4x-5 bileşke fonksiyonuyla doğrudan ilişkilendirmek için xx yerine x+1x+1 yazarak (g∘f)(x+1)=g(f(x+1))=g(2x−3)=4(x+1)−5=4x−1(g \circ f)(x+1) = g(f(x+1)) = g(2x-3) = 4(x+1) - 5 = 4x - 1 elde edebilirsiniz. Burada g(3)g(3) değerini bulmak için 2x−3=3⇒x=32x-3 = 3 \Rightarrow x=3 eşitliği kullanılır ve g(3)=4(3)−1=11g(3) = 4(3) - 1 = 11 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için
(f∘g)(x)=3g(x)−2(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2
(g∘f)(x)=f(x)+4(g \circ f)(x) = f(x) + 4
eşitlikleri sağlanmaktadır.
Buna göre, (f∘g)(2)(f \circ g)(2) bileşke işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

16
Soruda verilen ikinci eşitlik olan g(f(x))=f(x)+4g(f(x)) = f(x) + 4 ifadesinden, gg fonksiyonunun kendisine uygulanan girdiyi 4 artırdığı görülür. Dolayısıyla, g(x)=x+4g(x) = x + 4 olur. Bu kurala göre g(2)=6g(2) = 6 olarak hesaplanır. Birinci eşitlik olan (f∘g)(x)=3g(x)−2(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2 ifadesinde x=2x = 2 yazıldığında (f∘g)(2)=3g(2)−2(f \circ g)(2) = 3g(2) - 2 elde edilir. Bulunan g(2)=6g(2) = 6 değeri yerine yerleştirildiğinde 3×6−2=163 \times 6 - 2 = 16 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ikinci eşitliği kullanarak gg fonksiyonunun kuralını belirlemek.
g(f(x))=f(x)+4g(f(x)) = f(x) + 4 eşitliğinde f(x)f(x) yerine yy yazılırsa g(y)=y+4g(y) = y + 4 elde edilir. Buradan g(x)=x+4g(x) = x + 4 olarak bulunur.
g(f(x))g(f(x)) ifadesi, f(x)f(x) değerinin gg fonksiyonunda yerine yazılması anlamına gelir.
2
gg fonksiyonunun kuralını kullanarak g(2)g(2) değerini hesaplamak.
g(2)=2+4=6g(2) = 2 + 4 = 6 bulunur.
(f∘g)(2)(f \circ g)(2) ifadesi f(g(2))f(g(2)) şeklinde yazıldığından, öncelikle içteki fonksiyonun değeri hesaplanmalıdır.
3
Birinci eşitlikte g(2)g(2) değerini yerine yazarak bileşke fonksiyonun sonucuna ulaşmak.
(f∘g)(x)=3g(x)−2(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2 eşitliğinde x=2x = 2 için (f∘g)(2)=3g(2)−2(f \circ g)(2) = 3g(2) - 2 olur. g(2)=6g(2) = 6 değeri yerine yazıldığında 3×6−2=18−2=163 \times 6 - 2 = 18 - 2 = 16 elde edilir.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği (f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyon

İpuçları

1
Bileşke fonksiyonlarda işlem yaparken en içteki fonksiyondan başlamalısınız. (f∘g)(2)=f(g(2))(f \circ g)(2) = f(g(2)) olduğunu hatırlayın.
2
g(f(x))=f(x)+4g(f(x)) = f(x) + 4 eşitliğinde f(x)f(x) yerine yy yazarak gg fonksiyonunun kuralını bulmaya çalışın.
3
g(x)=x+4g(x) = x + 4 kuralını kullanarak önce g(2)g(2) değerini hesaplayın, ardından bu değeri (f∘g)(x)=3g(x)−2(f \circ g)(x) = 3g(x) - 2 eşitliğinde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde (f∘g)(x)=2g(x)+5(f \circ g)(x) = 2g(x) + 5 ve (g∘f)(x)=3f(x)−1(g \circ f)(x) = 3f(x) - 1 eşitlikleri verildiğinde (g∘f)(3)(g \circ f)(3) değerini bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, (g∘f)(x)=f(x)+4(g \circ f)(x) = f(x) + 4 eşitliğinde f(x)f(x) yerine doğrudan g(x)g(x) değişkeni (veya herhangi bir bağımsız değişken) düşünülerek g(x)=x+4g(x) = x + 4 kuralı doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bileşke Fonksiyon Alıştırma Soruları — ALES | Examkin