Examkin

Soru

Zorluk: ZorBileşke Fonksiyon
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−x+1f(x) = x^2 - x + 1
g(x)=2x+mg(x) = 2x + m
fonksiyonları veriliyor.
(f∘g)(x)=(g∘f)(x)(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)
eşitliğini sağlayan yalnızca bir tane xx gerçel sayısı olduğuna göre, mm kaçtır?
  1. A
    -3
  2. B
    -2
  3. -1Cevap
  4. D
    0
  5. E
    1

Cevap

m değeri -1 olmalıdır.
Verilen f ve g fonksiyonları bileşke işlemine tabi tutulup birbirine eşitlendiğinde elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denkleminin yalnızca bir kökünün olması için diskriminantı sıfır olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek gerçel sayı m = -1 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
(f o g)(x) fonksiyonunu bulmak için f(x) ifadesinde x yerine g(x) yazılır.
(f o g)(x) = (2x + m)^2 - (2x + m) + 1 = 4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1
Bileşke fonksiyon tanımını uygulamak.
2
(g o f)(x) fonksiyonunu bulmak için g(x) ifadesinde x yerine f(x) yazılır.
(g o f)(x) = 2(x^2 - x + 1) + m = 2x^2 - 2x + 2 + m
İkinci bileşke fonksiyonu elde etmek.
3
Eşitliği kullanarak ikinci dereceden tek değişkenli bir denklem oluşturulur.
4x^2 + (4m - 2)x + m^2 - m + 1 = 2x^2 - 2x + 2 + m => 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0
x değerlerini bulabilmek için denklemi standart forma getirmek.
4
Denklemin yalnızca bir tane gerçel kökü olması için diskriminantı (Delta) sıfıra eşitlenir.
Delta = (4m)^2 - 4 * 2 * (m^2 - 2m - 1) = 0 => 16m^2 - 8(m^2 - 2m - 1) = 0 => 8m^2 + 16m + 8 = 0 => m^2 + 2m + 1 = 0 => (m + 1)^2 = 0 => m = -1
İkinci dereceden denklemlerde tek kök bulunması (çakışık kök) şartını uygulamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların hesabı ve ikinci dereceden denklemlerde tek kök olma (diskriminantın sıfır olması) şartının bir arada kullanılması.

Alternatif Yöntem

Eşitlik düzenlendikten sonra elde edilen 2x^2 + 4mx + (m^2 - 2m - 1) = 0 denklemi tam kareye tamamlama yöntemiyle de çözülebilir. İfade 2(x + m)^2 - m^2 - 2m - 1 = 0 haline getirilir. Buradan (x + m)^2 = (m^2 + 2m + 1)/2 elde edilir. Tek bir x çözümünün olması için sağ taraf sıfır olmalıdır. Buradan m^2 + 2m + 1 = 0 ve m = -1 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bileşke Fonksiyon

Bu konudan daha fazla soru