Examkin

Soru

Zorluk: ZorHareket Problemleri

AA ve BB kentlerinden sırasıyla VAV_A ve VBV_B sabit hızlarıyla aynı anda birbirlerine doğru harekete başlayan iki araç, bir süre sonra CC noktasında karşılaşıyorlar.

Karşılaşma anından sonra;
- AA kentinden yola çıkan araç hızını %50 artırarak CC noktasından BB kentine 4 saatte ulaşıyor.
- BB kentinden yola çıkan araç hızını %50 artırarak CC noktasından AA kentine 9 saatte ulaşıyor.

Buna göre, bu iki araç harekete başladıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

  1. A
    6
  2. B
    7,5
  3. C
    8
  4. 9Cevap
  5. E
    12

Cevap

İki aracın harekete başladıktan sonra karşılaştığı süre 9 saattir.
Karşılaşma süresi olan tmt_m saat boyunca araçlar sırasıyla d1=VA⋅tmd_1 = V_A \cdot t_m ve d2=VB⋅tmd_2 = V_B \cdot t_m yollarını alırlar. Karşılaşmadan sonra hızlarını %50 artırdıklarında yeni hızları 1,5VA1,5 V_A ve 1,5VB1,5 V_B olur. Bu hızlarla kalan yolları sırasıyla 4 ve 9 saatte aldıklarına göre d2=1,5VA⋅4=6VAd_2 = 1,5 V_A \cdot 4 = 6 V_A ve d1=1,5VB⋅9=13,5VBd_1 = 1,5 V_B \cdot 9 = 13,5 V_B denklemleri elde edilir. Yol denklemlerini oranladığımızda d1d2=VAVB=13,5VB6VA\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{13,5 V_B}{6 V_A} eşitliğinden hızların oranı VAVB=32\frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2} olarak bulunur. Bu oran ilk yol denkleminde yerine yazıldığında karşılaşma süresi tm=9t_m = 9 saat olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Karşılaşma noktasına kadar olan hareketin modellenmesi
AC=d1=VA⋅tmAC = d_1 = V_A \cdot t_m ve CB=d2=VB⋅tmCB = d_2 = V_B \cdot t_m yolları bulunur. Buradan yol oranları d1d2=VAVB\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} eşitliğini verir.
Karşılaşma anına kadar geçen süre her iki araç için de ortaktır.
2
Karşılaşma sonrasındaki hareketin modellenmesi
Araçların yeni hızları 1,5VA1,5 V_A ve 1,5VB1,5 V_B olur. Kalan yollar için mesafeler sırasıyla d2=1,5VA⋅4=6VAd_2 = 1,5 V_A \cdot 4 = 6 V_A ve d1=1,5VB⋅9=13,5VBd_1 = 1,5 V_B \cdot 9 = 13,5 V_B şeklinde ifade edilir.
Hız %50 artırıldığında yeni hız eski hızın 1,5 katı olur.
3
Hız oranlar��nın belirlenmesi
d1d2=VAVB=13,5VB6VA\frac{d_1}{d_2} = \frac{V_A}{V_B} = \frac{13,5 V_B}{6 V_A} denkleminden 6VA2=13,5VB2  ⟹  VA2VB2=13,56=94  ⟹  VAVB=326 V_A^2 = 13,5 V_B^2 \implies \frac{V_A^2}{V_B^2} = \frac{13,5}{6} = \frac{9}{4} \implies \frac{V_A}{V_B} = \frac{3}{2} elde edilir.
Yol oranlarının eşitliği kullanılarak başlangıç hızlarının oranı bulunur.
4
Karşılaşma süresinin hesaplanması
d1=VA⋅tm=13,5VB  ⟹  tm=13,5⋅VBVA=13,5⋅23=9d_1 = V_A \cdot t_m = 13,5 V_B \implies t_m = 13,5 \cdot \frac{V_B}{V_A} = 13,5 \cdot \frac{2}{3} = 9 saat olarak hesaplanır.
Bulunan hız oranı zaman denkleminde yerine yazılmıştır.

Anahtar Kavram

Hız, zaman ve yol arasındaki doğrusal ilişki ile hız değişimlerinin hareket sürelerine etkisi.

Alternatif Yöntem

Geometrik ortalama yöntemi kullanılabilir. Eğer araçlar hızlarını değiştirmeseydi, karşılaşma süresi kalan sürelerin geometrik ortalaması olurdu. Her iki araç da hızını eşit oranda (%50) artırdığı için süreler aynı oranda kısalmıştır. Dolayısıyla hızları artırılmasaydı yolları tamamlama süreleri 4×1,5=64 \times 1,5 = 6 saat ve 9×1,5=13,59 \times 1,5 = 13,5 saat olacaktı. Buradan karşılaşma süresi tm=6×13,5=81=9t_m = \sqrt{6 \times 13,5} = \sqrt{81} = 9 saat olarak doğrudan bulunabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru