Examkin

Soru

Zorluk: ZorHareket Problemleri

İki araç, A kentinden B kentine gitmek üzere aynı anda yola çıkıyor. Birinci araç, yolun ilk yarısını saatte 60 km60\text{ km} hızla, kalan yarısını ise saatte 90 km90\text{ km} hızla giderek B kentine ulaşıyor. İkinci araç ise tüm yolculuk süresinin ilk yarısını saatte 60 km60\text{ km} hızla, kalan yarısını ise saatte 90 km90\text{ km} hızla giderek B kentine ulaşıyor. İkinci araç, B kentine birinci araçtan 1010 dakika önce ulaştığına göre, A ile B kentleri arasındaki uzaklık kaç kilometredir?

  1. A
    120120
  2. B
    180180
  3. 300300Cevap
  4. D
    450450
  5. E
    720720

Cevap

A ile B kentleri arasındaki uzaklık 300 km300\text{ km}'dir.
Birinci aracın toplam yolculuk süresi T1=x72T_1 = \frac{x}{72} saat, ikinci aracın toplam yolculuk süresi T2=x75T_2 = \frac{x}{75} saattir. İki araç arasındaki 1010 dakikalık (yani 16\frac{1}{6} saat) zaman farkı denklemine döküldüğünde x72−x75=16\frac{x}{72} - \frac{x}{75} = \frac{1}{6} eşitliğinden yolun uzunluğu 300 km300\text{ km} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci aracın B kentine ulaşma süresini (T1T_1) belirlemek için yolun her iki yarısında geçen süreleri ayrı ayrı yazarak toplam süreyi bulalım.
Yolun tamamına xx km dersek; yolun ilk yarısı için geçen süre t1=x/260=x120t_1 = \frac{x/2}{60} = \frac{x}{120} saat, ikinci yarısı için geçen süre t2=x/290=x180t_2 = \frac{x/2}{90} = \frac{x}{180} saattir. Buradan toplam süre T1=x120+x180=5x360=x72T_1 = \frac{x}{120} + \frac{x}{180} = \frac{5x}{360} = \frac{x}{72} saat olur.
Hızlar yolun farklı bölümlerine (mesafeye) göre tanımlandığı için süre, her bir bölümün uzunluğunun o bölümdeki hıza bölünmesiyle hesaplanır.
2
İkinci aracın B kentine ulaşma süresini (T2T_2) belirlemek için yolculuk süresinin yarısında alınan mesafeleri toplayıp toplam mesafeye eşitleyelim.
Toplam yolculuk süresine T2T_2 saat dersek; ilk yarıda (T2/2T_2/2 saat) alınan yol 60×T22=30T260 \times \frac{T_2}{2} = 30T_2 km, ikinci yarıda (T2/2T_2/2 saat) alınan yol 90×T22=45T290 \times \frac{T_2}{2} = 45T_2 km'dir. Toplam yol x=30T2+45T2=75T2x = 30T_2 + 45T_2 = 75T_2 km olur. Buradan T2=x75T_2 = \frac{x}{75} saat olarak bulunur.
Hızlar zamana göre tanımlandığı için her bir zaman diliminde alınan yolların toplamı toplam mesafeyi verir.
3
İki aracın varış süreleri arasındaki farkı saat cinsine çevirerek mesafeyi bulalım.
İkinci araç birinci araçtan 1010 dakika önce ulaştığına göre süre farkı T1−T2=10 dakika=1060=16T_1 - T_2 = 10\text{ dakika} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} saattir. Denklemimizi kuralım: x72−x75=16\frac{x}{72} - \frac{x}{75} = \frac{1}{6}. Paydaları 18001800 değerinde eşitleyelim: 25x−24x1800=16  ⟹  x1800=16  ⟹  x=300 km\frac{25x - 24x}{1800} = \frac{1}{6} \implies \frac{x}{1800} = \frac{1}{6} \implies x = 300\text{ km}.
Hızlar km/saat cinsinden olduğundan, verilen sürenin de saate çevrilerek denklemde yerine yazılması gerekir.

Anahtar Kavram

Ortalama Hız ve Hareket Denklemleri

İpuçları

1
Birinci aracın hızları yolun farklı bölümlerine (mesafeye) göre belirlenmiştir. Bu durumda ortalama hızın harmonik ortalamayla ilişkili olduğunu unutmayın.
2
İkinci aracın hızları zaman dilimlerine göre belirlenmiştir. Bu durumda ortalama hız aritmetik ortalama ile hesaplanır. İki aracın varış sürelerini xx cinsinden yazın.
3
Birinci aracın toplam süresi T1=x72T_1 = \frac{x}{72} saat, ikinci aracın toplam süresi T2=x75T_2 = \frac{x}{75} saattir. Aralarındaki farkın 10 dakika=16 saat10\text{ dakika} = \frac{1}{6}\text{ saat} olduğunu kullanarak denklemi çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, hızların ve sürelerin farklı oranlarda bölündüğü durumları içeren ortalama hız problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Ortalama hız formüllerini doğrudan kullanabiliriz. Birinci araç eşit mesafeleri farklı hızlarla gittiği için ortalama hızı: Vort1=2⋅60⋅9060+90=72 km/saV_{ort1} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = 72\text{ km/sa} olur. İkinci araç eşit zaman sürelerinde bu hızlarla gittiği için ortalama hızı: Vort2=60+902=75 km/saV_{ort2} = \frac{60 + 90}{2} = 75\text{ km/sa} olur. Birinci aracın süresi T1=x72T_1 = \frac{x}{72}, ikinci aracın süresi T2=x75T_2 = \frac{x}{75}'tir. T1−T2=16T_1 - T_2 = \frac{1}{6} saat denklemi çözüldüğünde x=300 kmx = 300\text{ km} bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru