Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Bir ABCABC üçgeninde [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]'dir. [BC][BC] kenarı üzerinde bir DD noktası işaretleniyor.

∣AD∣=10|AD| = 10 cm, ∣AC∣=17|AC| = 17 cm ve ∣BD∣=6|BD| = 6 cm olduğuna göre, ∣DC∣|DC| uzunluğu kaç cm'dir?

  1. A
    7
  2. 9Cevap
  3. C
    11
  4. D
    15
  5. E
    19

Cevap

9 cm
Doğru cevap, 99 cm uzunluğudur. [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] olduğu için △ABD\triangle ABD ve △ABC\triangle ABC üçgenlerinin her ikisi de BB köşesinde dik açıya sahip birer dik ü��gendir. Öncelikle △ABD\triangle ABD dik üçgeninde ∣AB∣|AB| kenarının uzunluğu Pisagor bağıntısı yardımıyla ∣AB∣2+∣BD∣2=∣AD∣2  ⟹  ∣AB∣2+62=102  ⟹  ∣AB∣=8|AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 \implies |AB|^2 + 6^2 = 10^2 \implies |AB| = 8 cm olarak bulunur. Daha sonra büyük dik üçgen olan △ABC\triangle ABC'de Pisagor bağıntısı uygulanır: ∣AB∣2+∣BC∣2=∣AC∣2  ⟹  82+∣BC∣2=172  ⟹  64+∣BC∣2=289  ⟹  ∣BC∣2=225  ⟹  ∣BC∣=15|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \implies 8^2 + |BC|^2 = 17^2 \implies 64 + |BC|^2 = 289 \implies |BC|^2 = 225 \implies |BC| = 15 cm bulunur. [BC][BC] kenarı üzerindeki DD noktası için ∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣|BC| = |BD| + |DC| eşitliği geçerli olduğundan ∣DC∣=15−6=9|DC| = 15 - 6 = 9 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak AB kenarının uzunluğunu bulmak.
∣AB∣=8|AB| = 8 cm
[AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] olduğundan ABD bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısına göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: ∣AB∣2+∣BD∣2=∣AD∣2  ⟹  ∣AB∣2+62=102  ⟹  ∣AB∣2+36=100  ⟹  ∣AB∣2=64  ⟹  ∣AB∣=8|AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 \implies |AB|^2 + 6^2 = 10^2 \implies |AB|^2 + 36 = 100 \implies |AB|^2 = 64 \implies |AB| = 8 cm.
2
ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak BC kenarının uzunluğunu bulmak.
∣BC∣=15|BC| = 15 cm
[AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] olduğundan büyük ABC üçgeni de bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısına göre, ∣AB∣2+∣BC∣2=∣AC∣2  ⟹  82+∣BC∣2=172  ⟹  64+∣BC∣2=289  ⟹  ∣BC∣2=225  ⟹  ∣BC∣=15|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \implies 8^2 + |BC|^2 = 17^2 \implies 64 + |BC|^2 = 289 \implies |BC|^2 = 225 \implies |BC| = 15 cm.
3
BC uzunluğundan BD uzunluğunu çıkararak istenen DC uzunluğunu hesaplamak.
∣DC∣=9|DC| = 9 cm
DD noktası [BC][BC] kenarı üzerinde olduğundan ∣BC∣=∣BD∣+∣DC∣|BC| = |BD| + |DC|'dir. Buradan ∣DC∣=∣BC∣−∣BD∣  ⟹  ∣DC∣=15−6=9|DC| = |BC| - |BD| \implies |DC| = 15 - 6 = 9 cm bulunur.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor bağıntısı (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2) ve özel dik üçgenler (6-8-10 ve 8-15-17 üçgenleri).

İpuçları

1
Soruda verilen [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] dikliği yardımıyla iki farklı dik üçgen elde edebilirsiniz: küçük olan △ABD\triangle ABD ve büyük olan △ABC\triangle ABC.
2
Önce △ABD\triangle ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak ∣AB∣|AB| dik kenarını bulun. Bu kenar aynı zamanda büyük △ABC\triangle ABC dik üçgeninin de bir kenarıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki dik üçgenin hipotenüslerinin ortak olduğu veya dik kenarlarının ortak olduğu diğer özel üçgen kombinasyonlarını (örneğin 5-12-13 ve 9-12-15 gibi) kullanarak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özel dik üçgenleri (kenarlarına göre özel üçgenler) hatırlamak çözümü hızlandıracaktır. △ABD\triangle ABD üçgeninde hipotenüs 1010 ve bir dik kenar 66 olduğundan, bu üçgen 3−4−53-4-5 üçgeninin 22 katı olan 6−8−106-8-10 özel üçgenidir. Buradan ∣AB∣=8|AB| = 8 cm bulunur. △ABC\triangle ABC üçgeninde ise dik kenarlardan biri 88 ve hipotenüs 1717 olduğundan, bu üçgen 8−15−178-15-17 özel dik üçgenidir. Buradan doğrudan ∣BC∣=15|BC| = 15 cm bulunur. Sonuç olarak ∣DC∣=15−6=9|DC| = 15 - 6 = 9 cm elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Bu konudan daha fazla soru