Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretleniyor.

$|AD| = 10$ cm, $|AC| = 17$ cm ve $|BD| = 6$ cm olduğuna göre, $|DC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

7

9

11

15

19

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9 cm

Doğru cevap,

9

cm uzunluğudur.

[AB] \perp [BC]

olduğu için

\triangle ABD

ve

\triangle ABC

üçgenlerinin her ikisi de

B

köşesinde dik açıya sahip birer dik ü��gendir. Öncelikle

\triangle ABD

dik üçgeninde

|AB|

kenarının uzunluğu Pisagor bağıntısı yardımıyla

|AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 \implies |AB|^2 + 6^2 = 10^2 \implies |AB| = 8

cm olarak bulunur. Daha sonra büyük dik üçgen olan

\triangle ABC

'de Pisagor bağıntısı uygulanır:

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \implies 8^2 + |BC|^2 = 17^2 \implies 64 + |BC|^2 = 289 \implies |BC|^2 = 225 \implies |BC| = 15

cm bulunur.

[BC]

kenarı üzerindeki

D

noktası için

|BC| = |BD| + |DC|

eşitliği geçerli olduğundan

|DC| = 15 - 6 = 9

cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

ABD dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak AB kenarının uzunluğunu bulmak.

|AB| = 8

cm

[AB] \perp [BC]

olduğundan ABD bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısına göre, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

|AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 \implies |AB|^2 + 6^2 = 10^2 \implies |AB|^2 + 36 = 100 \implies |AB|^2 = 64 \implies |AB| = 8

cm.

2

ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak BC kenarının uzunluğunu bulmak.

|BC| = 15

cm

[AB] \perp [BC]

olduğundan büyük ABC üçgeni de bir dik üçgendir. Pisagor bağıntısına göre,

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \implies 8^2 + |BC|^2 = 17^2 \implies 64 + |BC|^2 = 289 \implies |BC|^2 = 225 \implies |BC| = 15

cm.

3

BC uzunluğundan BD uzunluğunu çıkararak istenen DC uzunluğunu hesaplamak.

|DC| = 9

cm

D

noktası

[BC]

kenarı üzerinde olduğundan

|BC| = |BD| + |DC|

'dir. Buradan

|DC| = |BC| - |BD| \implies |DC| = 15 - 6 = 9

cm bulunur.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) ve özel dik üçgenler (6-8-10 ve 8-15-17 üçgenleri).

İpuçları

1

Soruda verilen

[AB] \perp [BC]

dikliği yardımıyla iki farklı dik üçgen elde edebilirsiniz: küçük olan

\triangle ABD

ve büyük olan

\triangle ABC

.

2

Önce

\triangle ABD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kullanarak

|AB|

dik kenarını bulun. Bu kenar aynı zamanda büyük

\triangle ABC

dik üçgeninin de bir kenarıdır.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki dik üçgenin hipotenüslerinin ortak olduğu veya dik kenarlarının ortak olduğu diğer özel üçgen kombinasyonlarını (örneğin 5-12-13 ve 9-12-15 gibi) kullanarak pratik yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Özel dik üçgenleri (kenarlarına göre özel üçgenler) hatırlamak çözümü hızlandıracaktır.

\triangle ABD

üçgeninde hipotenüs

10

ve bir dik kenar

6

olduğundan, bu üçgen

3-4-5

üçgeninin

2

katı olan

6-8-10

özel üçgenidir. Buradan

|AB| = 8

cm bulunur.

\triangle ABC

üçgeninde ise dik kenarlardan biri

8

ve hipotenüs

17

olduğundan, bu üçgen

8-15-17

özel dik üçgenidir. Buradan doğrudan

|BC| = 15

cm bulunur. Sonuç olarak

|DC| = 15 - 6 = 9

cm elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

Bir $ABCD$ dörtgeninde $[AD] \perp [AB]$ ve $[BC] \perp [CD]$ 'dir.

$|AD| = 15$ cm, $|AB| = 20$ cm ve $|BC| = 7$ cm olduğuna göre, $|CD|$ uzunluğu kaç cm'dir?

15

18

20

24

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

24

ABD

dik üçgeninde

|AD| = 15

cm ve

|AB| = 20

cm verilmiştir. Bu üçgen

3-4-5

üçgeninin

5

katı olan

15-20-25

özel üçgenidir ve hipotenüs

|BD| = 25

cm olur.

BCD

dik üçgeninde ise

[BC] \perp [CD]

olduğundan

BD

hipotenüstür.

|BC| = 7

cm ve

|BD| = 25

cm olduğuna göre,

7-24-25

özel dik üçgeninden veya Pisagor bağıntısından

|CD|^2 = 25^2 - 7^2 = 576 \implies |CD| = 24

cm olarak bulunur. Bu nedenle doğru cevap 24 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

BD

köşegenini çizerek dörtgeni iki dik üçgene ayırın.

Dörtgen, hipotenüsleri ortak olan

ABD

ve

BCD

dik üçgenlerine bölünür.

Her iki üçgende de Pisagor bağıntısını uygulayabilmek için ortak bir kenar (hipotenüs) elde etmek gerekir.

2

ABD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|BD|

uzunluğunu bulun.

|BD|^2 = |AD|^2 + |AB|^2 \implies |BD|^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \implies |BD| = 25

cm.

ABD

üçgeninin dik kenarları bilindiği için hipotenüs uzunluğu hesaplanır. Bu üçgen aynı zamanda

3-4-5

özel üçgeninin

5

katı olan

15-20-25

üçgenidir.

3

BCD

dik üçgeninde Pisagor bağıntısını uygulayarak

|CD|

uzunluğunu bulun.

|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2 \implies 25^2 = 7^2 + |CD|^2 \implies 625 = 49 + |CD|^2 \implies |CD|^2 = 576 \implies |CD| = 24

cm.

BCD

dik üçgeninde hipotenüs (

|BD| = 25

cm) ve bir dik kenar (

|BC| = 7

cm) bilindiğinden, diğer dik kenar hesaplanır. Bu üçgen

7-24-25

özel dik üçgenidir.

Anahtar Kavram

Ortak hipotenüse sahip iki dik üçgende Pisagor bağıntısı ve özel dik üçgenlerin (15-20-25 ve 7-24-25) kullanımı.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretleniyor.

$|AD| = 13$ cm, $|DC| = 11$ cm ve $|AC| = 20$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç cm'dir?

5

9

12

15

16

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12

Doğru cevap 12'dir.

ABD

dik üçgeninde

|AB|^2 + |BD|^2 = 13^2

ve

ABC

dik üçgeninde

|AB|^2 + (|BD| + 11)^2 = 20^2

denklemleri kurulur. İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında

22|BD| + 121 = 231 \implies |BD| = 5

cm bulunur.

ABD

üçgeni bir dik üçgen olup kenarları

5 - 12 - 13

özel üçgenini oluşturduğundan

|AB| = 12

cm olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Bilinmeyen kenarları isimlendirelim.

|AB| = x

ve

|BD| = y

olsun. Bu durumda taban

|BC| = y + 11

olur.

Ortak olan dik kenar yardımıyla iki ayrı Pisagor denklemi kurabilmek için.

2

ABD

ve

ABC

dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısını yazalım.

ABD

için:

x^2 + y^2 = 13^2 = 169

(1. denklem).

ABC

için:

x^2 + (y + 11)^2 = 20^2 = 400

(2. denklem).

Her iki dik üçgende dik kenarlar ile hipotenüs arasındaki matematiksel ilişkiyi tanımlamak için.

3

İkinci denklemdeki parantezi açarak denklemleri ortak çözelim.

x^2 + y^2 + 22y + 121 = 400

ifadesinde birinci denklemi (

x^2 + y^2 = 169

) yerine koyalım:

169 + 22y + 121 = 400 \implies 22y + 290 = 400 \implies 22y = 110 \implies y = 5

cm elde edilir.

Ortak terimleri sadeleştirip bilinmeyen

y

değerini bulmak için.

4

Bulunan

y = 5

değerini birinci denklemde yerine yazarak

x

değerini bulalım.

x^2 + 5^2 = 169 \implies x^2 + 25 = 169 \implies x^2 = 144 \implies x = 12

cm olarak bulunur.

İstenen

|AB| = x

uzunluğunu hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Dik üçgenlerde ortak kenar yardımıyla Pisagor bağıntılarının ortak çözümü ve özel üçgenlerin kullanılması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Dik üçgen biçimindeki bir oyun parkının dik kenarlarından birinin uzunluğu $8$ metre, hipotenüsünün uzunluğu ise $17$ metredir. Buna göre, bu parkın diğer dik kenarının uzunluğu kaç metredir?

9

13

15

25

\sqrt{353}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $15$

Cevap

Diğer dik kenarın uzunluğu 15 metredir.

Soruda dik üçgenin bir dik kenarı 8 metre ve hipotenüsü 17 metre olarak verilmiştir. Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) uygulandığında

8^2 + b^2 = 17^2

eşitliğinden

64 + b^2 = 289

elde edilir. Buradan

b^2 = 225

ve

b = 15

metre bulunur. Bu durum aynı zamanda

8-15-17

özel dik üçgeninin bir uygulamasıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen kenar uzunluklarını belirlemek ve Pisagor bağıntısı formülünü yazmak.

Dik kenar

a = 8

m, hipotenüs

c = 17

m ve bilinmeyen dik kenar

b

olsun. Pisagor bağıntısı formülü:

a^2 + b^2 = c^2

şeklindedir.

Dik üçgende kenarlar arasındaki ilişkiyi kurmak için Pisagor bağıntısı kullanılır.

2

Değerleri formülde yerine yazarak bilinmeyen kenar uzunluğunu hesaplamak.

8^2 + b^2 = 17^2 \Rightarrow 64 + b^2 = 289 \Rightarrow b^2 = 225 \Rightarrow b = 15

m olarak bulunur. Bu üçgen

8-15-17

özel dik ��çgenidir.

Bilinmeyen dik kenarın uzunluğunu bulmak için elde edilen denklem çözülür.

Anahtar Kavram

Dik Üçgende Pisagor Bağıntısı ve Özel Dik Üçgenler

Soru 5Soru →

Düşey bir duvara yaslanmış olan bir merdivenin alt ucunun duvara olan uzaklığı $7$ birim, üst ucunun yerden yüksekliği ise $24$ birimdir. Bu merdivenin üst ucu aşağıya doğru $9$ birim kaydırıldığında, merdivenin alt ucu kaç birim sağa doğru kayar?

9

11

13

15

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13$

Cevap

Merdivenin alt ucu sağa doğru

13

birim kayar.

Doğru seçenekte belirtilen değer, merdivenin boyunun

7

-

24

-

25

özel üçgeni yardımıyla

25

birim olarak bulunması ve ikinci durumda yüksekliğin

15

birim olmasıyla oluşan

15

-

20

-

25

(

3

-

4

-

5

üçgeninin

5

katı) üçgeni kullanılarak yeni taban uzaklığının

20

birim olarak hesaplanmasıyla elde edilir. Son konum ile ilk konum arasındaki fark (

20 - 7

) alındığında kayma miktarı

13

birim olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Merdivenin boyunu (hipotenüs) hesaplamak için ilk durumdaki dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayın.

L^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625

buradan merdivenin boyu

L = 25

birim bulunur.

Merdiven kaydığında boyu değişmeyeceğinden, ikinci durumdaki dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulmak için bu değer gereklidir.

2

Merdivenin üst ucu

9

birim aşağ�� kaydığında oluşan yeni yüksekliği belirleyin.

Yeni yükseklik

24 - 9 = 15

birim olur.

İkinci durumdaki dik üçgenin dikey kenar uzunluğunu elde etmek için.

3

İkinci durumdaki dik üçgende Pisagor bağıntısını uygulayarak merdivenin alt ucunun duvara olan yeni uzaklığını bulun.

x_{yeni}^2 + 15^2 = 25^2 \implies x_{yeni}^2 + 225 = 625 \implies x_{yeni}^2 = 400 \implies x_{yeni} = 20

birim.

Merdivenin alt ucunun ulaştığı son noktayı belirlemek için.

4

Merdivenin alt ucunun ilk konumu ile son konumu arasındaki farkı hesaplayarak kayma miktarını bulun.

20 - 7 = 13

birim.

Soruda istenen kayma miktarını bulmak için.

Anahtar Kavram

Dik üçgende kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi belirleyen Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) ve özel dik üçgenler (

7

-

24

-

25

ve

15

-

20

-

25

üçgenleri).

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 6Soru →

Bir düzlemde, $A$ noktasından harekete başlayan bir karınca önce $5$ cm güneye, ardından $12$ cm doğuya ilerleyerek $B$ noktasına ulaşmıştır. Buna göre, $A$ ile $B$ noktaları arasındaki en kısa uzaklık kaç santimetredir?

7

17

13

15

\sqrt{119}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

En kısa uzaklık 13 santimetredir.

Karıncanın güneye ve doğuya doğru yaptığı hareketler birbirine dik olduğundan bir dik üçgen oluşur. Bu dik üçgenin dik kenarları 5 cm ve 12 cm'dir. En kısa uzaklık bu dik üçgenin hipotenüsü olan [AB] uzunluğudur. Pisagor bağıntısı (

5^2 + 12^2 = x^2

) uygulandığında

x^2 = 169

ve

x = 13

cm bulunur. Bu durum aynı zamanda 5-12-13 özel dik üçgenidir.

Adım Adım Çözüm

1

Karıncanın hareketini geometrik olarak modelleyin.

Güneye doğru 5 cm ve doğuya doğru 12 cm olan hareketler, birbirine dik iki doğru parçası oluşturur. Başlangıç noktası A, yön değiştirme noktası C ve varış noktası B olsun. [AC] ve [CB] doğru parçaları C noktasında dik kesişir.

Yönler (kuzey/güney ve doğu/batı) birbirine diktir, bu nedenle hareket bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur.

2

En kısa uzaklığı bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.

|AB|^2 = |AC|^2 + |CB|^2

bağıntısından

|AB|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169

bulunur.

İki nokta arasındaki en kısa uzaklık, onları birleştiren doğru parçasının uzunluğudur ve bu uzunluk dik üçgende hipotenüse karşılık gelir.

3

Hipotenüs uzunluğunu hesaplayın.

|AB| = \sqrt{169} = 13

cm elde edilir.

Karesi 169 olan pozitif sayı 13'tür (bu üçgen 5-12-13 özel dik üçgenidir).

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüs uzunluğunu bulmak için Pisagor bağıntısı (

a^2 + b^2 = c^2

) kullanılır.

Soru 7Soru →

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. $[BC]$ hipotenüsü üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları işaretleniyor.

$|AD| = |AE| = 5$ birim, $|BD| = 3$ birim ve $|EC| = 5$ birim olduğuna göre, $|DE|$ uzunluğu kaç birimdir?

2

3

4

1

\sqrt{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen |DE| uzunluğu 2 birimdir.

Çözümde elde edilen x = 1 değeri |DE| = 2x ilişkisinde yerine konulduğunda, aranan uzunluğun 2 birim olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

A köşesinden BC hipotenüsüne AH dikmesi indirin.

AH yükseklik doğrusu elde edilir.

Pisagor bağıntısını uygulayabileceğimiz dik üçgenler oluşturmak için.

2

|AD| = |AE| = 5 birim olduğundan, ADE ikizkenar üçgendir. Dolayısıyla, AH yüksekliği aynı zamanda kenarortaydır. |DH| = |HE| = x diyelim.

|DE| = 2x birim olur.

İkizkenar üçgende tabana inen yüksekliğin kenarortay olması özelliğini kullanmak için.

3

|BD| = 3 ve |EC| = 5 verildiğinden, |BH| ve |HC| uzunluklarını x cinsinden yazın.

|BH| = 3 + x ve |HC| = x + 5 olur.

Oluşan daha büyük dik üçgenlerin kenar uzunluklarını tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için.

4

ADH dik üçgeninde Pisagor bağıntısı yazarak |AH|^2 ifadesini bulun.

|AH|^2 = 25 - x^2 elde edilir.

Yüksekliğin karesini x cinsinden ifade edip diğer Pisagor bağıntılarında yerine koyabilmek için.

5

ABH ve ACH dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısı uygulayarak |AB|^2 ve |AC|^2 ifadelerini x cinsinden bulun.

|AB|^2 = 34 + 6x ve |AC|^2 = 50 + 10x elde edilir.

ABC büyük dik üçgeninin dik kenarlarının karelerini x cinsinden elde etmek için.

6

ABC dik üçgeninde |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 bağıntısını kurun.

(34 + 6x) + (50 + 10x) = (2x + 8)^2 denkleminden x^2 + 4x - 5 = 0 elde edilir.

Büyük üçgenin dik üçgen olmasından dolayı Pisagor bağıntısını tamamlamak için.

7

Elde edilen denklemi çözün ve |DE| uzunluğunu hesaplayın.

x = 1 (x > 0 olmalıdır) ve buradan |DE| = 2x = 2 birim bulunur.

Denklemin pozitif kökünü bulup istenen uzunluğa ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İkizkenar ve dik üçgenlerde Pisagor bağıntılarının ortak çözümü

Soru 8Soru →

Boyu $20$ metre olan yere dik konumdaki bir direk, rüzgarın etkisiyle yerden belirli bir yükseklikten kırılmıştır. Kırılan üst kısım, direğin tabanından $12$ metre uzaklıkta bulunan ve yüksekliği $4$ metre olan yere dik bir duvarın üst köşesine yaslanmıştır. Buna göre, direğin kırılma noktasının yerden yüksekliği kaç metredir?

5

6

6,4

7,5

9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7,5

Cevap

Direğin kırılma noktasının yerden yüksekliği 7,5 metredir.

Doğru cevap 7,5 metredir. Kırılma noktasının yerden yüksekliğine

x

dersek, kırılan ve duvara yaslanan üst kısmın uzunluğu

20 - x

metre olur. Duvarın yüksekliği

4

metre olduğundan, kırılma noktasından duvara çizilen yatay doğru parçası ile oluşturulan dik üçgenin dik kenarlarından biri

12

metre, diğeri ise

x - 4

metre olur. Bu dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında:

12^2 + (x - 4)^2 = (20 - x)^2 \Rightarrow 144 + x^2 - 8x + 16 = 400 - 40x + x^2 \Rightarrow 32x = 240 \Rightarrow x = 7,5

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Kırılma noktasının yerden yüksekliğini

x

değişkeni ile ifade edin.

Kırılma noktasının yerden yüksekliği

x

metre, kırılan üst parçanın uzunluğu ise

20 - x

metre olur.

Problemi cebirsel olarak modellemek için bilinmeyen yüksekliği tanımlamamız gerekir.

2

Duvarın yüksekliğini kullanarak dik üçgenin dikey kenar uzunluğunu belirleyin.

Dikey kenar uzunluğu

x - 4

metre, yatay kenar uzunluğu ise

12

metredir.

Kırılma noktasından duvarın üst ucuna çizilen dikey mesafe, kırılma noktasının yüksekliği ile duvarın yüksekliği arasındaki fark kadardır.

3

Pisagor bağıntısını kurun ve

x

değerini bulun.

12^2 + (x - 4)^2 = (20 - x)^2

denklemi çözüldüğünde

32x = 240 \Rightarrow x = 7,5

bulunur.

Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün (k��rılan parçanın) karesine eşittir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende Pisagor bağıntısı ve cebirsel modelleme

Dik Üçgen ve Pisagor Bağıntısı

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar