Bir ABC dik üçgeninde [AB] \perp [BC]'dir. [BC] kenarı üzerinde bir D noktası işaretleniyo… — ALES

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [BC]$ 'dir. $[BC]$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası işaretleniyor.

$|AD| = 13$ cm, $|DC| = 11$ cm ve $|AC| = 20$ cm olduğuna göre, $|AB|$ uzunluğu kaç cm'dir?

Doğru cevap 12'dir.

ABD

dik üçgeninde

|AB|^2 + |BD|^2 = 13^2

ABC

dik üçgeninde

|AB|^2 + (|BD| + 11)^2 = 20^2

denklemleri kurulur. İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında

22|BD| + 121 = 231 \implies |BD| = 5

cm bulunur.

ABD

üçgeni bir dik üçgen olup kenarları

5 - 12 - 13

özel üçgenini oluşturduğundan

|AB| = 12

cm olarak bulunur.

Bilinmeyen kenarları isimlendirelim.

|AB| = x

|BD| = y

olsun. Bu durumda taban

|BC| = y + 11

olur.

Ortak olan dik kenar yardımıyla iki ayrı Pisagor denklemi kurabilmek için.

ABD

ABC

dik üçgenlerinde Pisagor bağıntısını yazalım.

ABD

için:

x^2 + y^2 = 13^2 = 169

(1. denklem).

ABC

için:

x^2 + (y + 11)^2 = 20^2 = 400

(2. denklem).

Her iki dik üçgende dik kenarlar ile hipotenüs arasındaki matematiksel ilişkiyi tanımlamak için.

İkinci denklemdeki parantezi açarak denklemleri ortak çözelim.

x^2 + y^2 + 22y + 121 = 400

ifadesinde birinci denklemi (

x^2 + y^2 = 169

) yerine koyalım:

169 + 22y + 121 = 400 \implies 22y + 290 = 400 \implies 22y = 110 \implies y = 5

cm elde edilir.

Ortak terimleri sadeleştirip bilinmeyen

y

değerini bulmak için.

Bulunan

y = 5

değerini birinci denklemde yerine yazarak

x

değerini bulalım.

x^2 + 5^2 = 169 \implies x^2 + 25 = 169 \implies x^2 = 144 \implies x = 12

cm olarak bulunur.

İstenen

|AB| = x

uzunluğunu hesaplamak için.

Dik üçgenlerde ortak kenar yardımıyla Pisagor bağıntılarının ortak çözümü ve özel üçgenlerin kullanılması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru