Bir torbada 1'den 10'a kadar (1 ve 10 dahil) numaralandırılmış 10 kart bulunmaktadır. Bu t… — ALES

Bir torbada $1$ 'den $10$ 'a kadar ( $1$ ve $10$ dahil) numaralandırılmış $10$ kart bulunmaktadır. Bu torbadan aynı anda rastgele iki kart çekiliyor. Çekilen kartların üzerindeki sayıların toplamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, bu kartların her ikisinin de asal sayı olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{3}{10}$
$\frac{3}{20}$ Cevap
C
$\frac{2}{15}$
D
$\frac{2}{9}$
E
$\frac{1}{15}$

Cevap

Çekilen kartların toplamının çift sayı olduğu bilindiğine göre, her ikisinin de asal sayı olma olasılığı

\frac{3}{20}

'dir.

Toplamı çift olan iki kart seçme durumu (örnek uzay), ya iki tek kartın ya da iki çift kartın seçilmesiyle oluşur ve toplam durum sayısı

\binom{5}{2} + \binom{5}{2} = 20

'dir. Bu durumlar arasından her iki kartın da asal sayı olması ve toplamlarının çift olması için ikisinin de tek asal sayı (yani

3, 5, 7

arasından) seçilmesi gerekir. Bu da

\binom{3}{2} = 3

farklı şekilde gerçekleşebilir. O halde koşullu olasılık

\frac{3}{20}

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Koşullu olasılık için kısıtlanmış örnek uzayı belirleyin.

Torbada

5

tek (

1, 3, 5, 7, 9

) ve

5

çift (

2, 4, 6, 8, 10

) sayı bulunmaktadır. İki sayının toplamının çift olması için sayıların ya ikisinin de tek ya da ikisinin de çift olması gerekir. İki tek sayı seçme sayısı

\binom{5}{2} = 10

, iki çift sayı seçme sayısı

\binom{5}{2} = 10

'dur. Dolayısıyla koşullu örnek uzayın eleman sayısı

10 + 10 = 20

olur.

Soruda verilen 'toplamın çift sayı olduğu bilindiğine göre' koşuluna uygun tüm durumların sayısını bulmak.

İstenen durum sayısını (toplamları çift olan asal sayı çiftlerini) belirleyin.

1

'den

10

'a kadar olan asal sayılar

\{2, 3, 5, 7\}

'dir. Bu asal sayılardan seçilecek iki sayının toplamının çift olması için ikisinin de tek sayı olması gerekir. Çünkü

2

dışındaki tüm asallar tektir ve çift olan

2

sayısı ile bir tek asalın toplamı her zaman tek sayıdır. Tek asallar

\{3, 5, 7\}

kümesinden seçilecek iki kartın sayısı

\binom{3}{2} = 3

olur (Bu kartlar

\{3, 5\}

\{3, 7\}

\{5, 7\}

'dir).

Koşula uyan durumlar içinde, her iki kartın da asal sayı olduğu durum sayısını bulmak.

Koşullu olasılık oranını hesaplayın.

Koşullu Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Koşullu Örnek Uzay Sayısı}} = \frac{3}{20}

elde edilir.

İstenen olayın gerçekleşme olasılığını bulmak.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru