Kümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark) Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Bir okulda basketbol oynayan öğrencilerin kümesi $B$ , voleybol oynayan öğrencilerin kümesi $V$ olarak tanımlanıyor. Basketbol veya voleybol oynayan öğrencilerden oluşan 40 kişilik bir grupta,

* $s(B \setminus V) = 2 \cdot s(B \cap V)$
* $s(V \setminus B) = s(B \cap V) + 4$

olduğuna göre, voleybol oynayan öğrencilerin sayısı ( $s(V)$ ) kaçtır?

13

16

22

27

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Voleybol oynayan öğrencilerin sayısı 22'dir.

Voleybol oynayan öğrencilerin sayısı, yalnızca voleybol oynayanlar (

s(V \setminus B) = 13

) ile her iki sporu da oynayanların (

s(B \cap V) = 9

) toplamı olan 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını değişken olarak tanımlama.

s(B \cap V) = x

olsun. Bu durumda

s(B \setminus V) = 2x

ve

s(V \setminus B) = x + 4

olur.

Soruda verilen oranları ve ilişkileri tek bir de��işken cinsinden ifade ederek denklem kurmayı kolaylaştırmak.

2

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak denklem kurma.

s(B \cup V) = s(B \setminus V) + s(B \cap V) + s(V \setminus B) \implies 2x + x + (x + 4) = 40 \implies 4x + 4 = 40

Gruptaki her öğrenci en az bir spor dalıyla ilgilendiği için tüm alt bölgelerin toplamı birleşim kümesinin eleman sayısına (40) eşit olmalıdır.

3

Denklemi çözerek bilinmeyen

x

değerini bulma.

4x = 36 \implies x = 9

bulunur.

Kesişim kümesinin eleman sayısını belirlemek.

4

Voleybol oynayan toplam öğrenci sayısını (

s(V)

) hesaplama.

s(V) = s(V \setminus B) + s(B \cap V) = (x + 4) + x = 13 + 9 = 22

bulunur.

Voleybol oynayan öğrencilerin kümesi, sadece voleybol oynayanlar ile her iki sporu da oynayanların birleşiminden oluşur.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri

Soru 2Soru →

$A$ ve $B$ boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,

s(A \setminus B) = 2 \cdot s(B \setminus A)

s(A \cap B) = s(B \setminus A) - 2

s(A \cup B) = 18

olduğuna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

8

10

12

13

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 13'tür.

Doğru seçenekte belirtilen değer, birleşim formülü (

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

) kullanılarak oluşturulan denklem çözüldüğünde elde edilen

x = 5

değerinin

s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2

ifadesinde yerine yazılmasıyla elde edilen 13 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin birleşim formülünü ayrık alt kümeler cinsinden yazın ve değişken tanımlayın.

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

formülü yazılır.

s(B \setminus A) = x

denilirse,

s(A \setminus B) = 2x

ve

s(A \cap B) = x - 2

olur.

Verilen oranları tek bir bilinmeyen (

x

) cinsinden ifade ederek denklem kurmak amacıyla bu adım gerçekleştirilir.

2

Bilinmeyen

x

değerini bulmak için birleşim eleman sayısı denklemini çözün.

2x + x + (x - 2) = 18 \implies 4x - 2 = 18 \implies 4x = 20 \implies x = 5

bulunur.

Birleşim kümesinin eleman sayısının 18 olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen değişkenin sayısal değeri hesaplanır.

3

A

kümesinin eleman sayısını hesaplayın.

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)

olduğundan,

s(A) = 2x + (x - 2) = 3x - 2

formülünde

x = 5

yazılırsa

s(A) = 3 \cdot 5 - 2 = 13

elde edilir.

A

kümesi,

A \setminus B

fark kümesi ile

A \cap B

kesişim kümesinin birleşiminden oluştuğu için bu iki bölgenin eleman sayıları toplanır.

Anahtar Kavram

Birleşim kümesinin eleman sayısı, iki kümenin farkları ve kesişiminin eleman sayılarının toplamına eşittir.

İpuçları

1

Birleşim kümesini oluşturan ayrık bölgeleri (yalnız A'da olanlar, yalnız B'de olanlar ve her ikisinde de olanlar) Venn şeması çizerek göstermeyi deneyin.

2

s(B \setminus A) = x

diyerek diğer bölgelerin eleman sayılarını

x

cinsinden ifade edin:

s(A \setminus B) = 2x

ve

s(A \cap B) = x - 2

.

3

Tüm bölgelerin toplamını

18

elemana eşitleyerek

x

değerini bulun. Sonrasında

A

kümesinin eleman sayısının

s(A \setminus B) + s(A \cap B)

olduğunu unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkileri pekiştirmek için benzer bir soruyu üç küme (A, B ve C) için çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek her bir bölgeye harfler verilebilir.

A \setminus B

bölgesine

a

,

A \cap B

bölgesine

b

,

B \setminus A

bölgesine

c

dersek; verilenler

a = 2c

,

b = c - 2

ve

a + b + c = 18

olur. Buradan

2c + c - 2 + c = 18 \implies 4c = 20 \implies c = 5

bulunur. Bizden istenen

a + b = 2c + c - 2 = 3c - 2 = 13

olarak doğrudan hesaplanabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir evrensel kümenin iki alt kümesi olan $A$ ve $B$ için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(A \cup B) = 22$
* $s(A \setminus B) = s(B \setminus A) + 3$
* $s(A \cap B) = s(A \setminus B) - 5$

Buna göre, $A$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?

10

12

15

17

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15

Doğru cevap 15'tir. Çünkü fark bölgesi eleman sayısı

x

cinsinden yazılıp birleşim kümesi denklemine yerleştirildiğinde bilinmeyen değer 7 olarak bulunur. Bu değer yerine yazıldığında ilk kümenin fark bölgesi 10, kesişim bölgesi 5 olur. Bu iki bölgenin toplamı olan 15 değeri doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin bölgelerine değişken atayarak eleman sayılarını belirleme

s(B \setminus A) = x

olsun. Bu durumda

s(A \setminus B) = x + 3

ve

s(A \cap B) = (x + 3) - 5 = x - 2

olur.

Tüm bölgeleri tek bir değişken cinsinden ifade ederek birleşim kümesi formülünü uygulamak.

2

Birleşim formülü ile bilinmeyen değişkeni çözme

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

formülünden,

22 = (x + 3) + x + (x - 2) \implies 22 = 3x + 1 \implies 3x = 21 \implies x = 7

bulunur.

Birleşim kümesinin eleman sayısı, kesişmeyen üç alt bölgenin eleman sayılarının toplamına eşittir.

3

İstenen kümenin eleman sayısını hesaplama

s(A \setminus B) = 7 + 3 = 10

ve

s(A \cap B) = 7 - 2 = 5

olur. Buradan

s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 10 + 5 = 15

elde edilir.

İlk kümenin toplam eleman sayısı, o kümenin fark bölgesi ile kesişim bölgesinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiler

İpuçları

1

Kümelerin birleşimini oluşturan üç temel ayrık bölgeyi (fark bölgeleri ve kesişim) belirleyin.

2

Bir bölgenin eleman sayısına değişken atayarak diğer bölgeleri bu değişken cinsinden yazın ve toplamlarını birleşim eleman sayısına eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde üç kümenin birleşim, kesişim ve fark işlemlerini içeren sorular çözerek pratiğinizi artırabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine şıklardan gidilerek deneme yapılabilir. Örneğin ilk kümenin eleman sayısı 15 olarak alındığında kesişim 5 ve fark bölgesi 10 olur. Bu durum tüm koşulları sağlar.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$B = \{3, 4, 5, 6, 7\}$

olduğuna göre, $(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ kümesinin eleman sayıs�� kaçtır?

0

2

3

4

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4

Doğru cevap 4 elemanlı olan seçenektir.

A \setminus B

kümesi

\{1, 2\}

ve

B \setminus A

kümesi

\{6, 7\}

elemanlarından oluşur. Bu iki kümenin birleşimi olan

(A \setminus B) \cup (B \setminus A)

kümesi

\{1, 2, 6, 7\}

elemanlarını içerir ve eleman sayısı 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1

A \setminus B

kümesinin elemanlarını belirlemek.

A \setminus B = \{1, 2\}

Fark işlemi, birinci kümede olup ikinci kümede olmayan elemanları bulmayı gerektirir.

2

B \setminus A

kümesinin elemanlarını belirlemek.

B \setminus A = \{6, 7\}

Benzer şekilde, B kümesinde olup A kümesinde olmayan elemanları bulmak gerekir.

3

Elde edilen fark kümelerinin birleşimini almak.

(A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1, 2, 6, 7\}

ve eleman sayısı 4'tür.

Birleşim işlemi, iki kümenin tüm elemanlarının bir araya getirilmesiyle yeni bir küme oluşturulmasını sağlar.

Anahtar Kavram

Kümelerde Fark ve Birleşim İşlemleri

Alternatif Yöntem

Kümelerin eleman sayıları formülü kullanılarak da çözülebilir:

s((A \setminus B) \cup (B \setminus A)) = s(A \cup B) - s(A \cap B)

şeklinde hesaplanabilir.

s(A \cup B) = 7

ve

s(A \cap B) = 3

olduğundan,

7 - 3 = 4

bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 5Soru →

A

ve

B

kümeleri için,

s(A \cup B) = 5 \cdot s(A \cap B)

s(A \setminus B) = 14

olduğuna göre,

B \setminus A

kümesinin eleman sayısı en az kaçtır?

1

2

4

6

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

2

Kümelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı ve tam sayı olması gerektiği kurallarından yola çıkılarak

s(A \cap B) = x

ve

s(B \setminus A) = y

için

y = 4x - 14

denklemi elde edilir.

y

değerinin en az sıfır olabilmesi için

x

en az 4 olmalıdır. Buradan

y

en az 2 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Küme eleman sayıları arasındaki ilişkiyi kurmak için değişken tanımlama.

s(A \cap B) = x

ve

s(B \setminus A) = y

olsun. Bu durumda soruda verilen orana göre

s(A \cup B) = 5x

olur.

Kümeler arasındaki ilişkileri cebirsel bir denkleme dönüştürmek için.

2

Verilen de��erleri birleşim kümesi formülünde yerine koyarak düzenleme yapma.

Kümelerde birleşim formülü

s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)

şeklindedir. Değerler yerine yazıldığında:

5x = 14 + y + x

4x = 14 + y

y = 4x - 14

elde edilir.

B \setminus A

kümesinin eleman sayısını (

y

), kesişim kümesinin eleman sayısı (

x

) cinsinden ifade etmek için.

3

Eleman sayısının negatif olmama ve tam sayı olma koşullarını uygulama.

Bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından

y \geq 0

olmalıdır. Ayrıca eleman sayıları birer tam sayı olmalıdır.

4x - 14 \geq 0 \implies 4x \geq 14 \implies x \geq 3,5

Bu koşulu sağlayan en küçük

x

tam sayısı

4

olarak belirlenir.

Gerçekçi küme koşullarını sağlayarak en küçük eleman sayısına ulaşmak için.

4

Bulunan en küçük kesişim eleman sayısını kullanarak fark kümesinin eleman sayısını hesaplama.

x = 4

değeri için:

y = 4(4) - 14 = 16 - 14 = 2

bulunur.

B \setminus A

kümesinin alabileceği en küçük eleman sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim, Kesişim ve Fark İşlemleri Arasındaki İlişkiler

Soru 6Soru →

Bir grupta İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşan 36 kişi vardır. Bu grupta İngilizce konuşanların kümesi $E$ , Almanca konuşanların kümesi $G$ ile gösterilmektedir.

* Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların sayısının 2 katıdır.
* Sadece Almanca konuşanların sayısı, her iki dili de konuşanların sayısının 3 katıdır.

Buna göre, bu grupta İngilizce konuşan kişi sayısı kaçtır?

12

18

24

27

28

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

İngilizce konuşan kişi sayısı 27'dir.

İngilizce konuşan toplam kişi sayısı, sadece İngilizce konuşanlar (

8x

) ile her iki dili konuşan ortak elemanların (

x

) toplamıdır. Denklemden elde edilen

x = 3

değeri yerine yazıldığında

9x = 27

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kesişim kümesinin eleman sayısını değişkenle ifade edin.

s(E \cap G) = x

Diğer küme bölümlerinin eleman sayıları bu ortak bölgeye bağlı olarak tanımlanacaktır.

2

Almanca konuşanların toplam eleman sayısını bulun.

s(G \setminus E) = 3x

ve

s(G) = 3x + x = 4x

Sadece Almanca konuşanlar her iki dili konuşanların 3 katı olduğundan, Almanca konuşanlar bu iki bölgenin toplamıdır.

3

Sadece İngilizce konuşanların eleman sayısını Almanca konuşanlar cinsinden ifade edin.

s(E \setminus G) = 2 \cdot s(G) = 2 · 4x = 8x

Sadece İngilizce konuşanların sayısı, Almanca konuşanların toplam sayısının 2 katı olarak verilmiştir.

4

Birleşim kümesinin eleman sayısı formülünü kullanarak x değerini hesaplayın.

s(E \cup G) = 8x + x + 3x = 12x = 36 \implies x = 3

Gruptaki herkes en az bir dil konuştuğu için tüm bölgelerin toplamı grubun toplam mevcudu olan 36'ya eşittir.

5

İngilizce konuşan toplam kişi sayısını hesaplayın.

s(E) = s(E \setminus G) + s(E \cap G) = 8x + x = 9x \implies 9 · 3 = 27

İngilizce konuşanlar, sadece İngilizce konuşanlar ile her iki dili de konuşanların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerinin sözel problemler üzerindeki uygulaması ve eleman sayıları arasındaki ilişkiler.

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizerek her bir bölgenin eleman sayısını doğrudan şema üzerinde harflendirip denklem kurarak da çözüme ulaşılabilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Bir spor salonundaki sporcuların kümesi $E$ evrensel kümesidir. Bu sporculardan düzenli olarak kardiyo yapanların kümesi $K$ , ağırlık antrenmanı yapanların kümesi ise $A$ olarak belirlenmiştir.

Bu spor salonunda;
* Sadece ağırlık antrenmanı yapanların sayısı, hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların sayısının 4 katıdır.
* Kardiyo yapan sporcuların sayısı, sadece ağırlık antrenmanı yapan sporcuların sayısından 2 fazladır.
* Bu iki aktiviteden en az birini yapan toplam 50 sporcu bulunmaktadır.

Buna göre, bu spor salonunda sadece kardiyo yapan sporcu sayısı kaçtır?

18

20

24

26

30

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Sadece kardiyo yapan sporcu sayısı 20'dir.

Sorudaki veriler doğrultusunda hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanlar

s(K \cap A) = y

, sadece ağırlık antrenmanı yapanlar

s(A \setminus K) = 4y

ve sadece kardiyo yapanlar

s(K \setminus A) = 3y + 2

olarak belirlenir. Bu üç bölgenin toplamı olan

s(K \cup A) = 8y + 2 = 50

eşitliğinden

y = 6

bulunur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı

3(6) + 2 = 20

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kümelerin bölgelerini değişkenlerle ifade etme

Hem kardiyo hem ağırlık antrenmanı yapanların kümesi

K \cap A

ve eleman sayısı

s(K \cap A) = y

olsun. Sadece ağırlık antrenmanı yapanların kümesi

A \setminus K

olur. Birinci koşula göre,

s(A \setminus K) = 4y

olarak yazılır.

Problemdeki oranları tek bir bilinmeyen cinsinden ifade edebilmek amacıyla bu adım yapılır.

2

Kardiyo yapanların ve sadece kardiyo yapanların sayısını bulma

Kardiyo yapan sporcuların kümesi

K

olup eleman sayısı

s(K) = s(K \setminus A) + s(K \cap A)

şeklindedir. İkinci koşula göre,

s(K) = s(A \setminus K) + 2 \Rightarrow s(K) = 4y + 2

olur. Buradan sadece kardiyo yapanların sayısı

s(K \setminus A) = s(K) - s(K \cap A) = (4y + 2) - y = 3y + 2

bulunur.

Kardiyo yapanların kümesini oluşturan bölgeleri ve sadece kardiyo yapan bölgeyi tanımlamak için bu adım yapılır.

3

Bilinmeyeni çözme ve hedef değeri hesaplama

En az birini yapanların toplamı

s(K \cup A) = s(K \setminus A) + s(A \setminus K) + s(K \cap A) = 50

olarak verilmiştir. Değerleri yerine yazarsak;

(3y + 2) + 4y + y = 50 \Rightarrow 8y + 2 = 50 \Rightarrow 8y = 48 \Rightarrow y = 6

elde edilir. Bizden istenen sadece kardiyo yapanlar

s(K \setminus A) = 3y + 2 = 3(6) + 2 = 20

olarak bulunur.

Birleşim kümesinin eleman sayısından yararlanarak bilinmeyen

y

değerini bulup sadece kardiyo yapanların sayısını hesaplamak için bu adım yapılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, kesişim ve birleşim işlemlerinin şema ve denklemlerle modellenmesi.

Kümelerde İşlemler (Birleşim, Kesişim, Fark)

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar