Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, y=2xy = 2x ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x doğruları ile x+y=6x + y = 6 doğrusunun sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    10
  2. B
    18
  3. 30Cevap
  4. D
    42
  5. E
    60

Cevap

Kapalı bölgenin alanı 30 birimkaredir.
Doğruların kesim noktaları olan O(0,0)O(0,0), A(2,4)A(2,4) ve B(12,−6)B(12,-6) noktaları bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin dik kenar uzunlukları 20\sqrt{20} ve 180\sqrt{180} birimdir. Alanı ise bu iki değerin çarpımının yarısı olan 30 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların kesim noktalarını bulalım.
y=2xy = 2x ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x doğruları orijinde, yani O(0,0)O(0,0) noktasında kesişir. y=2xy = 2x ile x+y=6x + y = 6 doğrularının kesişim noktası A(2,4)A(2,4) ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x ile x+y=6x + y = 6 doğrularının kesişim noktası B(12,−6)B(12,-6) olarak bulunur.
Sınırlı bölgenin köşe koordinatlarını belirlemek için doğruları ortak çözmemiz gerekir.
2
Elde edilen üçgenin kenar özelliklerini inceleyelim.
y=2xy = 2x doğrusunun eğimi m1=2m_1 = 2 ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x doğrusunun eğimi m2=−12m_2 = -\frac{1}{2}'dir. Bu iki eğimin çarpımı m1⋅m2=2⋅(−12)=−1m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 olduğundan, bu doğrular birbirine diktir. Dolayısıyla, köşe noktaları O(0,0)O(0,0), A(2,4)A(2,4) ve B(12,−6)B(12,-6) olan OABOAB üçgeni, dik köşesi OO noktası olan bir dik üçgendir.
Dik üçgenin alanını dik kenarlarının uzunlukları çarpımının yarısı olarak kolayca hesaplayabilmek için dikliği kontrol ederiz.
3
Dik kenarların uzunluklarını hesaplayıp alanı bulalım.
∣OA∣=22+42=20|OA| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} birim ve ∣OB∣=122+(−6)2=180|OB| = \sqrt{12^2 + (-6)^2} = \sqrt{180} birimdir. Üçgenin alanı: Alan(OAB)=∣OA∣⋅∣OB∣2=20⋅1802=36002=602=30\text{Alan}(OAB) = \frac{|OA| \cdot |OB|}{2} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{180}}{2} = \frac{\sqrt{3600}}{2} = \frac{60}{2} = 30 birimkaredir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılarak kenar uzunlukları bulunur ve dik üçgen alan formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Analitik Geometride doğruların kesim noktalarını bulma, doğruların diklik şartı ve iki nokta arası uzaklık formülü ile alan hesabı.

İpuçları

1
Doğruların eğimlerini bulup çarpımlarını kontrol edin. Bu size doğruların birbirine dik olup olmadığını gösterecektir.
2
Kesişim noktalarını O(0,0)O(0,0), A(2,4)A(2,4) ve B(12,−6)B(12,-6) olarak belirledikten sonra, OAOA ve OBOB dik kenarlarının uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde birbirine dik iki doğru ile eksenleri kesen başka bir doğrunun sınırladığı bölgelerin alanlarını çözerek pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgenin köşeleri belirlendikten sonra, köşeleri bilinen üçgenin alan formülü olan 12∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| bağıntısı kullanılarak da doğrudan alana ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru