Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, bir köşesi orijinde olan OABCOABC karesinin ardışık AA ve CC köşeleri sırasıyla y=−12xy = -\frac{1}{2}x ve y=2xy = 2x doğruları üzerindedir. Bu karenin alanı 20 birimkare20\text{ birimkare} ve BB köşesi koordinat düzleminin birinci bölgesinde olduğuna göre, BB noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Cevap
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

8
Karenin ardışık kenarlarının dikliği ve eşit uzunlukta olması prensipleri kullanılarak köşe noktaları parametrik olarak belirlenir. Alan formülü ile parametrelerin mutlak değerleri bulunur. B noktasının birinci bölgede bulunması koşulu (x>0,y>0x > 0, y > 0) kullanılarak doğru işaretler seçilir ve koordinatları (6, 2) olarak bulunur. Bu koordinatların toplamı 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Doğruların dikliğini kontrol etme
y=2xy = 2x doğrusunun eğimi m1=2m_1 = 2 ve y=−12xy = -\frac{1}{2}x doğrusunun eğimi m2=−12m_2 = -\frac{1}{2}'dir. Eğimlerin çarpımı m1⋅m2=2⋅(−12)=−1m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 olduğundan bu iki doğru orijinde birbirine diktir. Bu durum karenin diklik şartını sağlar.
Karenin orijinde birleşen ardışık kenarlarının birbirine dik olduğunu doğrulamak için.
2
Köşe koordinatlarını parametrik olarak yazma
CC noktası y=2xy = 2x üzerinde olduğundan C(c,2c)C(c, 2c) şeklinde, AA noktası ise y=−12xy = -\frac{1}{2}x üzerinde olduğundan A(2a,−a)A(2a, -a) şeklinde ifade edilir.
Doğrular üzerindeki noktaları tek bilinmeyen cinsinden temsil etmek için.
3
Alan bilgisini kullanarak parametrelerin değerlerini bulma
Karenin alanı 20 birimkare20\text{ birimkare} olduğuna göre kenar uzunluklarının karesi OA2=OC2=20OA^2 = OC^2 = 20 olmalıdır. Buradan OC2=c2+(2c)2=5c2=20  ⟹  c2=4  ⟹  c=±2OC^2 = c^2 + (2c)^2 = 5c^2 = 20 \implies c^2 = 4 \implies c = \pm 2 bulunur. Benzer şekilde, OA2=(2a)2+(−a)2=5a2=20  ⟹  a2=4  ⟹  a=±2OA^2 = (2a)^2 + (-a)^2 = 5a^2 = 20 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 elde edilir.
İki nokta arasındaki uzaklık formülüyle koordinat bileşenlerini hesaplamak için.
4
B noktasının koordinatlarını bulma ve bölge kontrolü yapma
Kare özelliğinden OB⃗=OA⃗+OC⃗\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} olduğundan B(2a+c,−a+2c)B(2a+c, -a+2c) olur. BB noktasının birinci bölgede olması için her iki koordinatı da pozitif olmalıdır. a=2a = 2 ve c=2c = 2 seçildiğinde B(2(2)+2,−2+2(2))=B(6,2)B(2(2)+2, -2+2(2)) = B(6, 2) noktası elde edilir ve bu nokta birinci bölgededir. Diğer işaret kombinasyonları BB noktasını farklı bölgelere taşır.
Birinci bölge şartını (x>0,y>0x > 0, y > 0) sağlayan doğru parametre işaretlerini belirlemek için.
5
B noktasının koordinatları toplamını hesaplama
B(6,2)B(6, 2) noktasının koordinatları toplamı 6+2=86 + 2 = 8 olarak bulunur.
Soru kökündeki nihai talebe ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Analitik düzlemde doğruların dikliği, iki nokta arasındaki uzaklık ve karenin köşe koordinatları ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru