Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, köşeleri A(0,12)A(0, 12), B(9,0)B(9, 0) ve O(0,0)O(0, 0) noktaları olan OABOAB üçgeni verilmiştir. Bu üçgenin iç açıortaylarının kesim noktas��nın koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    7
  3. 6Cevap
  4. D
    8
  5. E
    12

Cevap

İç açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamı 6'dır.
Doğru cevap olan 6 değeri, üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı r=3r = 3 birim olarak bulunduktan sonra merkez noktasının I(3,3)I(3, 3) olması ve bu koordinatların toplamının (3+3=63 + 3 = 6) alınmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin kenar uzunluklarını belirlemek.
Dik kenarlar OA=12OA = 12 birim ve OB=9OB = 9 birimdir. Hipotenüs uzunluğu Pisagor bağıntısı yardımıyla AB=92+122=15AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15 birim olarak hesaplanır.
İç teğet çemberinin yarıçapını bulabilmek için üçgenin tüm kenar uzunluklarının bilinmesi gerekir.
2
İç teğet çemberinin yarıçapını (rr) hesaplamak.
Dik üçgende iç teğet çemberinin yarıçapı r=a+b−c2r = \frac{a+b-c}{2} formülü ile hesaplanır. Buradan r=9+12−152=3r = \frac{9+12-15}{2} = 3 birim bulunur.
Köşeleri eksenler üzerinde ve dik köşesi orijinde olan dik üçgenlerde, iç teğet çemberin merkezi birinci bölgede yer alır ve koordinatları I(r,r)I(r, r) olur.
3
Açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamını bulmak.
Merkez noktası I(3,3)I(3, 3) olduğundan koordinatları toplamı 3+3=63 + 3 = 6 olur.
Soruda bizden açıortayların kesim noktasının koordinatları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir dik üçgende iç teğet çemberinin merkezi (iç açıortayların kesim noktası) koordinatlarının geometrik özellikler yardımıyla bulunması.

İpuçları

1
Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası, o üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.
2
Köşesi orijinde olan dik üçgenin dik kenarları koordinat eksenleri üzerindedir. İç teğet çemberinin merkezi I(r,r)I(r, r) biçimindedir. Burada rr iç teğet çemberin yarıçapıdır.
3
9-12-15 dik üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r=9+12−152r = \frac{9 + 12 - 15}{2} formülü ile bulunabilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, köşeleri koordinat eksenleri üzerinde olan farklı dik üçgenler için iç teğet çember merkezinin koordinatlarını bulma alıştırmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İç teğet çemberinin yarıçapını bulmak için alan formülü de kullanılabilir: Alan=u⋅r\text{Alan} = u \cdot r. Burada uu üçgenin yarı çevresidir. Üçgenin alanı 9⋅122=54\frac{9 \cdot 12}{2} = 54, yarı çevresi ise u=9+12+152=18u = \frac{9+12+15}{2} = 18'dir. 54=18⋅r  ⟹  r=354 = 18 \cdot r \implies r = 3 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Analitik Geometri

Bu konudan daha fazla soru