Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÖzel Tanımlı İşlemler
Her aa ve bb gerçel sayısı için ⊕\oplus ve ⊗\otimes işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:
a⊕b=a2−ba \oplus b = a^2 - b
a⊗b=a+2ba \otimes b = a + 2b
Buna göre,
((x⊗3)⊕9)⊗6=19((x \otimes 3) \oplus 9) \otimes 6 = 19
eşitliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -8
  2. B
    -6
  3. -12Cevap
  4. D
    -2
  5. E
    8

Cevap

-12
Verilen işlemlere göre en dıştaki işlemden başlanarak sırasıyla A=(x⊗3)⊕9A = (x \otimes 3) \oplus 9 için A⊗6=19A \otimes 6 = 19 eşitliğinden A=7A = 7 bulunur. Ardından B=x⊗3B = x \otimes 3 olmak üzere B⊕9=7B \oplus 9 = 7 eşitliğinden B2−9=7⇒B2=16B^2 - 9 = 7 \Rightarrow B^2 = 16 ve buradan B=4B = 4 veya B=−4B = -4 elde edilir. Son olarak ⊗\otimes işleminin tanımı kullanılarak x⊗3=4⇒x+6=4⇒x=−2x \otimes 3 = 4 \Rightarrow x + 6 = 4 \Rightarrow x = -2 ve x⊗3=−4⇒x+6=−4⇒x=−10x \otimes 3 = -4 \Rightarrow x + 6 = -4 \Rightarrow x = -10 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin toplamı ise −12-12 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
En dıştaki ⊗\otimes işlemini çözmek için A=(x⊗3)⊕9A = (x \otimes 3) \oplus 9 tanımı yapılarak A⊗6=19A \otimes 6 = 19 denklemi kurulur.
A+2(6)=19⇒A+12=19⇒A=7A + 2(6) = 19 \Rightarrow A + 12 = 19 \Rightarrow A = 7 elde edilir.
⊗\otimes işleminin tanımına göre birinci terim ile ikinci terimin iki katı toplanır.
2
A=7A = 7 değeri yerine yazılarak (x⊗3)⊕9=7(x \otimes 3) \oplus 9 = 7 denklemi çözülür.
(x⊗3)2−9=7⇒(x⊗3)2=16(x \otimes 3)^2 - 9 = 7 \Rightarrow (x \otimes 3)^2 = 16 bulunur. Buradan x⊗3=4x \otimes 3 = 4 veya x⊗3=−4x \otimes 3 = -4 elde edilir.
⊕\oplus işleminin tanımına göre birinci terimin karesinden ikinci terim çıkarılır. Karesi 16 olan tam sayılar 4 ve -4'tür.
3
Elde edilen x⊗3=4x \otimes 3 = 4 ve x⊗3=−4x \otimes 3 = -4 eşitlikleri xx için ayrı ayrı çözülür.
x⊗3=4⇒x+6=4⇒x=−2x \otimes 3 = 4 \Rightarrow x + 6 = 4 \Rightarrow x = -2 ve x⊗3=−4⇒x+6=−4⇒x=−10x \otimes 3 = -4 \Rightarrow x + 6 = -4 \Rightarrow x = -10 bulunur.
⊗\otimes işleminin tanımına göre x⊗3=x+2(3)=x+6x \otimes 3 = x + 2(3) = x + 6 olur. Bu eşitliklerden xx değerleri yalnız bırakılarak kökler bulunur.
4
Bulunan xx tam sayı değerleri toplanır.
−2+(−10)=−12-2 + (-10) = -12 sonucuna ulaşılır.
Soruda eşitliği sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler ve Denklem Çözümü
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru