Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme
İki basamaklı ABAB ve BABA doğal sayıları için
AB2−BA2=1485AB^2 - BA^2 = 1485
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    41
  2. B
    87
  3. 128Cevap
  4. D
    169
  5. E
    220

Cevap

Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamı 128'dir.
Doğru cevap olan 128 seçeneği, verilen matematiksel ifadenin iki kare farkı özdeşliği ve basamak çözümlemesi ile 99(A2−B2)=148599(A^2 - B^2) = 1485 biçimine getirilmesiyle bulunur. Buradan A2−B2=(A−B)(A+B)=15A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) = 15 eşitliği elde edilir. AA ve BB birer rakam olduğu için bu eşitliği sağlayan değer çiftleri (8,7)(8, 7) ve (4,1)(4, 1)'dir. Bu da bize ABAB sayısının 87 veya 41 olabileceğini gösterir. İki değerin toplamı 87+41=12887 + 41 = 128 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB ve BABA iki basamaklı sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B ve BA=10B+ABA = 10B + A olur.
Sayıları rakamları cinsinden ifade ederek cebirsel işlem yapabilmek için.
2
AB2−BA2AB^2 - BA^2 ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla açalım ve çözümleme sonuçlarını yerine yazalım.
AB2−BA2=(AB−BA)(AB+BA)=[(10A+B)−(10B+A)][(10A+B)+(10B+A)]=[9(A−B)][11(A+B)]=99(A2−B2)AB^2 - BA^2 = (AB - BA)(AB + BA) = [(10A + B) - (10B + A)][(10A + B) + (10B + A)] = [9(A - B)][11(A + B)] = 99(A^2 - B^2) elde edilir.
İfadeyi sadeleştirmek ve çarpanlarına ayırmak için.
3
Elde edilen ifadeyi verilen eşitliğe eşitleyip A2−B2A^2 - B^2 değerini bulalım.
99(A2−B2)=1485  ⟹  A2−B2=1599(A^2 - B^2) = 1485 \implies A^2 - B^2 = 15 bulunur.
AA ve BB rakamları arasındaki bağıntıyı sadeleştirmek için.
4
A2−B2=15A^2 - B^2 = 15 ifadesini (A−B)(A+B)=15(A-B)(A+B) = 15 biçiminde yazalım ve AA ile BB rakamlarının alabileceği değerleri inceleyelim.
AA ve BB sıfırdan farklı rakamlar olduğu için A−BA-B ve A+BA+B birer pozitif tam sayıdır ve A−B<A+BA-B < A+B koşulunu sağlamalıdır. 15 sayısının bu koşula uyan pozitif çarpan çiftleri şunlardır:
1) A−B=1A-B = 1 ve A+B=15  ⟹  2A=16  ⟹  A=8,B=7A+B = 15 \implies 2A = 16 \implies A = 8, B = 7 (Sayı: AB=87AB = 87)
2) A−B=3A-B = 3 ve A+B=5  ⟹  2A=8  ⟹  A=4,B=1A+B = 5 \implies 2A = 8 \implies A = 4, B = 1 (Sayı: AB=41AB = 41)
Çarpımları 15 olan uygun tam sayı bölenlerini belirleyip denklem sistemlerini çözmek için.
5
Koşulu sağlayan tüm ABAB sayılarının toplamını hesaplayalım.
87+41=12887 + 41 = 128 bulunur.
Soruda bizden istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve iki kare farkı özdeşliği

İpuçları

1
ABAB ve BABA sayılarını 10A+B10A+B ve 10B+A10B+A şeklinde çözümleyerek işe başlayın.
2
AB2−BA2AB^2 - BA^2 ifadesini (AB−BA)(AB+BA)(AB-BA)(AB+BA) şeklinde iki kare farkı olarak yazıp elde ettiğiniz çözümlemeleri yerleştirmeyi deneyin.
3
99(A2−B2)=148599(A^2 - B^2) = 1485 denklemini sadeleştirip A2−B2=15A^2 - B^2 = 15 elde ettikten sonra, çarpımları 15 olan pozitif tam sayı çarpanlarını (1×151 \times 15 ve 3×53 \times 5) düşünerek AA ve BB rakamlarını bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, üç basamaklı ABCABC ve CBACBA sayıları için ABC2−CBA2ABC^2 - CBA^2 farkının basamak analizi sorularında nasıl sadeleştiğini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İki kare farkından gitmek yerine doğrudan AB2−BA2=1485AB^2 - BA^2 = 1485 ifadesini (10A+B)2−(10B+A)2=1485(10A+B)^2 - (10B+A)^2 = 1485 şeklinde açarak tam kare ifadeleri düzenleyebilirsiniz. Kareler açıldığında 100A2+20AB+B2−(100B2+20AB+A2)=1485100A^2 + 20AB + B^2 - (100B^2 + 20AB + A^2) = 1485 olur. Buradan 20AB20AB terimleri birbirini götürür ve geriye yine 99A2−99B2=148599A^2 - 99B^2 = 1485 ifadesi kalır. Bu adımdan sonra değer verme aşamasına geçilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru