Examkin

Soru

Zorluk: ZorHareket Problemleri

A ve B kentleri arasındaki mesafe d kmd\text{ km}'dir. A kentinden saatteki hızı v1 kmv_1\text{ km} olan bir araç, B kentinden ise saatteki hızı v2 kmv_2\text{ km} olan başka bir araç aynı anda sabit h��zlarla birbirlerine doğru harekete başlıyor. Bu iki araç, A kentinden 120 km120\text{ km} uzaklıktaki bir C noktasında karşılaşıyorlar. Karşılaştıktan sonra, A'dan gelen araç hızını yarıya indirirken B'den gelen araç hızını 22 katına çıkarıyor ve her iki araç da durmaksızın yollarına devam ediyor. A'dan gelen araç B kentine ulaştığı anda, B'den gelen araç A kentine ulaşıyor.

Buna göre, A ve B kentleri arasındaki mesafe (dd) kaç  km\text{ km}'dir?

  1. A
    150
  2. 180Cevap
  3. C
    240
  4. D
    300
  5. E
    360

Cevap

A ve B kentleri arasındaki mesafe 180 km'dir.
Karşılaşma anına kadar geçen sürenin eşitliğinden v1v2=120d−120\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d-120} oranı kurulur. Karşılaşmadan sonraki hız değişimleriyle birlikte varış sürelerinin eşitliğinden ise v1v2=d−12030\frac{v_1}{v_2} = \frac{d-120}{30} oranı elde edilir. Bu iki hız oranının eşitlenmesiyle (d−120)2=3600(d-120)^2 = 3600 denklemi bulunur. Uzaklık negatif olamayacağından d−120=60  ⟹  d=180 kmd-120=60 \implies d=180\text{ km} doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Karşılaşma anına kadar geçen süreyi kullanarak hızlar oranını yazın.
A'dan hareket eden araç C noktasına ulaşana kadar 120 km120\text{ km} yol alır ve geçen süre t1=120v1t_1 = \frac{120}{v_1} olur. B'den hareket eden araç C noktasına ulaşana kadar d−120 kmd - 120\text{ km} yol alır ve geçen süre t1=d−120v2t_1 = \frac{d - 120}{v_2} olur. Buradan hızlar oranı v1v2=120d−120\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d - 120} olarak bulunur.
Her iki aracın da harekete başlama ve karşılaşma anları aynı olduğundan C noktasına ulaşma süreleri eşittir.
2
Karşılaşmadan sonraki yeni hızları ve kalan mesafeleri kullanarak varış sürelerini yazın.
A'dan gelen aracın yeni hızı v12\frac{v_1}{2}, kalan yolu d−120 kmd - 120\text{ km} ve varış süresi t2=2(d−120)v1t_2 = \frac{2(d - 120)}{v_1} olur. B'den gelen aracın yeni hızı 2v22v_2, kalan yolu 120 km120\text{ km} ve varış süresi t3=60v2t_3 = \frac{60}{v_2} olur.
Karşılaşma noktasından sonra A'dan gelen araç B kentine, B'den gelen araç ise A kentine doğru hareket eder.
3
Varış sürelerini eşitleyerek hızlar oranı için ikinci bir denklem elde edin.
t2=t3  ⟹  2(d−120)v1=60v2t_2 = t_3 \implies \frac{2(d - 120)}{v_1} = \frac{60}{v_2} yazılır. Buradan v1v2=d−12030\frac{v_1}{v_2} = \frac{d - 120}{30} elde edilir.
Soruda araçların hedeflerine aynı anda ulaştıkları belirtildiği için bu süreler eşittir.
4
Ende edilen iki hız oranını eşitleyerek toplam mesafeyi hesaplayın.
d−12030=120d−120  ⟹  (d−120)2=3600\frac{d - 120}{30} = \frac{120}{d - 120} \implies (d - 120)^2 = 3600 olur. Buradan d−120=60  ⟹  d=180 kmd - 120 = 60 \implies d = 180\text{ km} bulunur.
Her iki durumda da ilk hızların oranı (v1/v2v_1/v_2) sabit olduğundan bulunan oran ifadeleri birbirine eşittir. d−120=−60  ⟹  d=60d - 120 = -60 \implies d = 60 kökü, karşılaşma noktası olan 120 km120\text{ km}'den küçük olamayacağı için elenir.

Anahtar Kavram

Karşılaşma süresi, kalan yol ve hız değişimlerinin orantısal olarak modellenmesi

İpuçları

1
C noktasında karşılaşana kadar geçen sürenin her iki araç için de aynı olduğunu kullanarak araçların hızları oranı (v1/v2v_1/v_2) için bir denklem yazın.
2
Karşılaşma sonrasında A'dan gelen aracın yeni hızının v1/2v_1/2 ve kalan yolunun d−120d-120, B'den gelen aracın ise yeni hızının 2v22v_2 ve kalan yolunun 120120 olduğunu kullanarak her birinin kalan yoldaki sürelerini yazın.

Daha Fazla Pratik

Karşılaşma noktasından sonra hızlarını farklı oranlarda artıran veya azaltan iki aracın hareketini modelleyen benzer soruları çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Araçlar C noktasında karşılaştıktan sonra hedeflerine aynı sürede ulaştıkları için, bu kısımdaki hızlarının oranı aldıkları yolların oranına eşittir. Yani v1′v2′=d−120120\frac{v_1'}{v_2'} = \frac{d-120}{120} yazılabilir. Yeni hızları yerlerine koyarsak, v1/22v2=d−120120  ⟹  v14v2=d−120120  ⟹  v1v2=d−12030\frac{v_1/2}{2v_2} = \frac{d-120}{120} \implies \frac{v_1}{4v_2} = \frac{d-120}{120} \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{d-120}{30} elde edilir. İlk durumdaki v1v2=120d−120\frac{v_1}{v_2} = \frac{120}{d-120} oranı ile bu oran eşitlenerek sonuca daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru