Bir ayrıtının uzunluğu 8 birim olan ABCDA'B'C'D' küpünde; M noktası [AB] ayrıtının, N nokt… — ALES

Bir ayrıtının uzunluğu $8$ birim olan $ABCDA'B'C'D'$ küpünde; $M$ noktası $[AB]$ ayrıtının, $N$ noktası $[CC']$ ayrıtının, $P$ noktası ise $[A'D']$ ayrıtının orta noktasıdır. Buna göre, köşeleri $M$ , $N$ ve $P$ olan $MNP$ üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

A
$20\sqrt{3}$
$24\sqrt{3}$ Cevap
C
$12\sqrt{3}$
D
$32\sqrt{3}$
E
$48$

Cevap

Köşeleri M, N ve P olan MNP üçgeninin alanı

24\sqrt{3}

birimkaredir.

Küpün belirtilen ayrıtlarının orta noktalarının koordinatları belirlenip iki nokta arası uzaklık formülüyle kenar uzunlukları hesaplandığında, üç kenarın da

4\sqrt{6}

birim olduğu görülür. Kenar uzunlukları eşit olan bu eşkenar üçgenin alanı

\frac{s^2\sqrt{3}}{4}

formülüyle

24\sqrt{3}

birimkare olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Küpü 3 boyutlu kartezyen koordinat sistemine yerleştirip köşe koordinatlarını belirleme

B

köşesi orijin

(0,0,0)

alınırsa;

A(8,0,0)

C(0,8,0)

C'(0,8,8)

A'(8,0,8)

D'(8,8,8)

koordinatları elde edilir.

Noktalar arasındaki mesafeleri analitik yöntemle hatasız şekilde hesaplayabilmek için koordinat sistemi tanımlanır.

M, N ve P orta noktalarının koordinatlarını hesaplama

M

noktası

[AB]

'nin orta noktası olduğundan

M(4,0,0)

N

noktası

[CC']

'nin orta noktası olduğundan

N(0,8,4)

P

noktası

[A'D']

'nin orta noktası olduğundan

P(8,4,8)

koordinatları bulunur.

Orta nokta formülü

[(x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2, (z_1+z_2)/2]

kullanılarak hedef noktaların koordinatları belirlenir.

MNP üçgeninin kenar uzunluklarını iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplama

|MN| = \sqrt{(4-0)^2 + (0-8)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim,

|NP| = \sqrt{(0-8)^2 + (8-4)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim,

|PM| = \sqrt{(8-4)^2 + (4-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

birim bulunur.

Üçgenin kenar uzunlukları bulunarak üçgenin çeşidi (eşkenar üçgen) tespit edilir.

Eşkenar üçgenin alan formülünü uygulayarak alanı hesaplama

Bir kenar uzunluğu

s = 4\sqrt{6}

birim olan eşkenar üçgenin alanı:

\text{Alan} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{96\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}

birimkare olarak bulunur.

Kenarları eşit olan üçgen bir eşkenar üçgendir ve alanı bu formülle bulunur.

Anahtar Kavram

Küp üzerinde koordinat sistemi kurarak noktalar arası uzaklık hesaplama ve elde edilen eşkenar üçgenin alanını bulma.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru