Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÖzel Tanımlı İşlemler

Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde ⋆\star ve ∙\bullet işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:

Her a,ba, b pozitif tam sayısı için;
1. a⋆1=a+1a \star 1 = a + 1
2. a⋆(b+1)=(a⋆b)⋆ba \star (b + 1) = (a \star b) \star b

ve

a∙b=2a⋆b−2aa \bullet b = 2^{a \star b} - 2^a

biçimindedir.

Buna göre, a∙b=240a \bullet b = 240 eşitliğini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayıları için a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Cevap
  4. D
    8
  5. E
    9

Cevap

7
Doğru cevap olan 7 değerine ulaşmak için öncelikle ⋆\star işleminin ilk birkaç terimi hesaplanarak genel örüntüsü belirlenir. a⋆b=a+2b−1a \star b = a + 2^{b-1} formülü elde edildikten sonra ∙\bullet işleminde yerine yazılarak 2a(22b−1−1)=2402^a(2^{2^{b-1}} - 1) = 240 denklemi kurulur. 240 sayısı 24⋅152^4 \cdot 15 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, pozitif tam sayılarda tek çözümün a=4a=4 ve b=3b=3 olduğu görülür. Buradan a+b=7a+b=7 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
⋆\star işleminin özyinelemeli (recursive) tanımını analiz etmek ve küçük bb değerleri için sonuçları hesaplamak.
b=1b = 1 için a⋆1=a+1a \star 1 = a + 1, b=2b = 2 için a⋆2=(a⋆1)⋆1=(a+1)+1=a+2a \star 2 = (a \star 1) \star 1 = (a+1)+1 = a + 2, b=3b = 3 için a⋆3=(a⋆2)⋆2=(a+2)+2=a+4a \star 3 = (a \star 2) \star 2 = (a+2)+2 = a + 4 ve b=4b = 4 için a⋆4=(a⋆3)⋆3=(a+4)+4=a+8a \star 4 = (a \star 3) \star 3 = (a+4)+4 = a + 8 elde edilir.
İşlemin genel kuralını (örüntüsünü) keşfetmek için ilk birkaç terimi görmek gerekir.
2
Elde edilen sonuçlardaki artış miktarını inceleyerek genel bir formül bulmak.
a⋆b=a+2b−1a \star b = a + 2^{b-1} formülüne ulaşılır.
Eklenen sayıların her adımda 2'nin kuvvetleri şeklinde katlanarak arttığını (1,2,4,8,…1, 2, 4, 8, \dots) belirlemek için.
3
Bulunan genel formülü ∙\bullet işleminin tanımında yerine yazmak.
a∙b=2a+2b−1−2a=2a(22b−1−1)a \bullet b = 2^{a + 2^{b-1}} - 2^a = 2^a (2^{2^{b-1}} - 1) ifadesi elde edilir.
Denklemi çözülebilir bir çarpım durumuna getirmek için ortak paranteze almak gerekir.
4
a∙b=240a \bullet b = 240 denklemini pozitif tam sayılarda çözmek.
2a(22b−1−1)=16⋅15  ⟹  a=42^a (2^{2^{b-1}} - 1) = 16 \cdot 15 \implies a = 4 ve 2b−1=4  ⟹  b−1=2  ⟹  b=32^{b-1} = 4 \implies b-1 = 2 \implies b = 3 olarak bulunur.
240 sayısını bir 2'nin kuvveti ile tek bir sayının çarpımı şeklinde yazarak (24⋅152^4 \cdot 15) eşleştirmek için.
5
a+ba + b toplamını hesaplamak.
a+b=4+3=7a + b = 4 + 3 = 7 bulunur.
Soruda bizden istenen nihai toplama ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı özyinelemeli (recursive) işlemlerin genel terimini bulma ve üslü denklem çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru