Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) noktaları veriliyor. Bu noktaların koordinatlarını oluşturan {x1,y1,x2,y2}\{x_1, y_1, x_2, y_2\} kümesi ardışık dört pozitif tek sayıdan oluşmaktadır.

AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 2102\sqrt{10} birim olduğuna göre, ABAB doğru parçasının orta noktasının koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    6
  2. 8Cevap
  3. C
    10
  4. D
    12
  5. E
    14

Cevap

Orta noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer 8'dir.
Orta noktanın koordinatları toplamı olan formül, noktaların koordinatları toplamının yarısına eşittir. Kümenin elemanları ardışık dört pozitif tek sayı olduğundan, en küçük toplamı elde etmek için bu küme {1, 3, 5, 7} olarak seçilmelidir. Bu durumda koordinatlar toplamı 16 olur ve bu toplamın yarısı olan 8 değeri orta noktanın koordinatları toplamını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Koordinat kümesini tanımlama
x1,y1,x2,y2=2k−1,2k+1,2k+3,2k+5\\{x_1, y_1, x_2, y_2\\} = \\{2k-1, 2k+1, 2k+3, 2k+5\\} (burada kk bir pozitif tam sayıdır).
Koordinatların ardışık dört pozitif tek sayı olduğu belirtilmiştir.
2
Uzaklık formülünü uygulama
(x2−x1)2+(y2−y1)2=(210)2=40(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = (2\sqrt{10})^2 = 40.
AA ve BB noktaları arasındaki uzaklığın 2102\sqrt{10} birim olduğu verilmiştir.
3
Koordinat farklarını belirleme
Farkların karesi toplamı 40 olan tam sayı ikilisi ancak 62+22=406^2 + 2^2 = 40 olabilir. Dolayısıyla apsisler farkı ile ordinatlar farkından biri 6, diğeri ise 2 olmalıdır.
Ardışık tek sayılar kümesindeki elemanlar arasındaki farklar 2, 4 veya 6 olabilir. Toplamları 40 eden kareler sadece 36 ve 4'tür.
4
Orta noktanın koordinatlarını hesaplama
ABAB doğru parçasının orta noktası M(xM,yM)M(x_M, y_M) olmak üzere, xM=x1+x22x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} ve yM=y1+y22y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}'dir. Koordinatların toplamı ise xM+yM=x1+y1+x2+y22x_M + y_M = \frac{x_1 + y_1 + x_2 + y_2}{2} olur.
Orta noktanın koordinatları toplamı, tüm koordinatların toplamının yarısına eşittir.
5
Koordinatlar toplamının en küçük değerini bulma
xM+yM=(2k−1)+(2k+1)+(2k+3)+(2k+5)2=8k+82=4k+4x_M + y_M = \frac{(2k-1) + (2k+1) + (2k+3) + (2k+5)}{2} = \frac{8k+8}{2} = 4k+4. En küçük değer için k=1k = 1 seçilir ve sonuç 4(1)+4=84(1) + 4 = 8 bulunur.
Koordinatların pozitif olması gerektiğinden en küçük tek sayı 1'dir, bu da 2k−1=1  ⟹  k=12k-1 = 1 \implies k = 1 olmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve koordinat düzleminde bölgeler.
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Analitik İncelenmesi

Bu konudan daha fazla soru