Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNoktanın Analitik İncelenmesi

Dik koordinat düzleminde, A(a,0)A(a, 0) noktası xx-ekseni üzerinde, B(0,b)B(0, b) noktası ise yy-ekseni üzerindedir. a<0<ba < 0 < b olmak üzere, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık 1010 birimdir. [AB][AB] doğru parçasının orta noktası koordinat düzleminin II. bölgesinde yer almaktadır. Bu orta noktanın koordinatları çarpımı −12-12 olduğuna göre, a−ba - b farkı kaçtır?

  1. A
    −16-16
  2. −14-14Cevap
  3. C
    −2-2
  4. D
    22
  5. E
    1414

Cevap

İstenen farkın değeri −14-14 olur.
İki nokta arasındaki uzaklık formülünden a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 ve orta nokta koordinatlarının çarpımından a⋅b=−48a \cdot b = -48 elde edilir. Bu iki eşitlik tam kare özdeşliği olan (a−b)2=a2+b2−2ab(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab formülünde yerine yazıldığında (a−b)2=196(a-b)^2 = 196 bulunur. a<0<ba < 0 < b koşulundan dolayı a−ba - b farkı negatif olmak zorundadır. Dolayısıyla doğru cevap −14-14 olur.

Adım Adım Çözüm

1
A(a,0)A(a, 0) ve B(0,b)B(0, b) noktaları arasındaki uzaklığı veren denklemi yazıp düzenlemek.
a2+b2=100a^2 + b^2 = 100
İki nokta arasındaki uzaklık formülü d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} şeklindedir. Burada d=10d = 10 olduğundan 10=(a−0)2+(0−b)2  ⟹  a2+b2=10010 = \sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2} \implies a^2 + b^2 = 100 elde edilir.
2
[AB][AB] doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmak ve koordinatlar çarpımı eşitliğini kullanmak.
a⋅b=−48a \cdot b = -48
A(a,0)A(a, 0) ve B(0,b)B(0, b) noktalarının orta noktası C(a+02,0+b2)=C(a2,b2)C\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = C\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) olur. Bu noktanın koordinatları çarpımı −12-12 olarak verildiğinden, a2⋅b2=−12  ⟹  a⋅b4=−12  ⟹  a⋅b=−48\frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = -12 \implies \frac{a \cdot b}{4} = -12 \implies a \cdot b = -48 bulunur.
3
a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 ve a⋅b=−48a \cdot b = -48 denklemlerini tam kare özdeşliğinde yerine yazarak a−ba - b değerini belirlemek.
a−b=−14a - b = -14
İki terimin farkının karesi özdeşliğinden, (a−b)2=a2+b2−2ab(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab yazılır. Değerler yerine konulduğunda, (a−b)2=100−2(−48)=100+96=196(a - b)^2 = 100 - 2(-48) = 100 + 96 = 196 olur. Buradan a−b=14a - b = 14 veya a−b=−14a - b = -14 elde edilir. Soruda a<0<ba < 0 < b verildiğinden, küçük sayıdan büyük sayı çıkarıldığında sonuç negatif olmalıdır. Bu nedenle a−b=−14a - b = -14 olur.

Anahtar Kavram

İki nokta arasındaki uzaklık, orta nokta koordinatları ve tam kare özdeşlikleri yardımıyla bilinmeyenlerin bulunması.

Alternatif Yöntem

Orta noktanın koordinatları C(x0,y0)C(x_0, y_0) olsun. x0=a/2x_0 = a/2 ve y0=b/2y_0 = b/2 olduğundan a=2x0a = 2x_0 ve b=2y0b = 2y_0 yazılabilir. a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 denkleminde yerine yazıldığında (2x0)2+(2y0)2=100  ⟹  4(x02+y02)=100  ⟹  x02+y02=25(2x_0)^2 + (2y_0)^2 = 100 \implies 4(x_0^2 + y_0^2) = 100 \implies x_0^2 + y_0^2 = 25 bulunur. Koordinatlar çarpımı x0⋅y0=−12x_0 \cdot y_0 = -12 olduğundan, (x0−y0)2=x02+y02−2x0y0=25−2(−12)=49(x_0 - y_0)^2 = x_0^2 + y_0^2 - 2x_0y_0 = 25 - 2(-12) = 49 olur. Buradan x0−y0=−7x_0 - y_0 = -7 (çünkü x0<0<y0x_0 < 0 < y_0) bulunur. a−b=2(x0−y0)=2(−7)=−14a - b = 2(x_0 - y_0) = 2(-7) = -14 elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Analitik İncelenmesi

Bu konudan daha fazla soru