Examkin

Tüm alıştırma soruları

63 soru

Tüm türler2,563Çoktan seçmeli2,490Sayısal63Sıralama10
Soru 61Soru →

Bir su deposunun temizliğini; Hakan tek başına 1212 saatte, Murat ise tek başına 1818 saatte tamamlayabilmektedir. Hakan temizliğe tek başına başladıktan 22 saat sonra Murat da ona katılmış ve birlikte işi tamamlamışlardır. Buna göre, su deposunun tamamının temizlenmesi toplam kaç saat sürmüştür?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Su deposunun tamamının temizlenmesi toplam 8 saat sürmüştür.
Temizliğin tamamı Hakan'ın tek başına çalıştığı 2 saat ve Murat ile birlikte çalıştıkları 6 saatin toplamı olan 8 saatte bitmiştir. Hakan 8 saatte işin 812=23\frac{8}{12} = \frac{2}{3}'ünü, Murat ise 6 saatte işin 618=13\frac{6}{18} = \frac{1}{3}'ünü bitirmiş ve toplamda işin tamamı (11) tamamlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
İşçilerin birim zamandaki (1 saatteki) iş yapma hızlarını belirleme.
Hakan'ın saatlik hızı 112\frac{1}{12}, Murat'ın saatlik hızı 118\frac{1}{18}'dir.
İşçi problemlerinde toplam iş süresini bulmak için öncelikle birim zamandaki hızlar belirlenir.
2
Hakan'ın tek başına çalıştığı ilk 2 saatte yaptığı iş miktarını ve kalan işi hesaplama.
Hakan 2 saatte 2×112=162 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{6} oranında iş yapar. Geriye kalan iş 1−16=561 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} olur.
Murat katılmadan önce Hakan'ın tek başına ne kadar iş bitirdiğini bulmamız gerekir.
3
Hakan ve Murat'ın birlikte çalışarak kalan işi kaç saatte bitireceğini bulma.
Birlikte saatlik çalışma hızları 112+118=536\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{5}{36}'dır. Kalan işin bitme süresi tt ise t×536=56  ⟹  t=6t \times \frac{5}{36} = \frac{5}{6} \implies t = 6 saat bulunur.
Geri kalan işin ortaklaşa ne kadar sürede tamamlanacağını belirlemek için.
4
Toplam temizlik süresini hesaplama.
Toplam süre = 2+6=82 + 6 = 8 saattir.
İşin başından sonuna kadar geçen toplam süreyi bulmak için Hakan'ın tek başına çalıştığı süre ile birlikte çalıştıkları süreyi toplarız.

Anahtar Kavram

İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan işlerin toplanması ve işin zamana göre paylaşılması.
Soru 62Soru →
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
60!12n\frac{60!}{12^n}
ifadesi bir tek tam sayı olduğuna göre, nn kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

İfadenin tek tam sayı olmasını sağlayan n değeri 28'dir.
İfadenin tek bir tam sayı olması için sadeleşme sonucunda elde edilen sayıda hiç 2 çarpanı kalmamalıdır. 12n=22n⋅3n12^n = 2^{2n} \cdot 3^n yazıldığında, 60!60! içindeki 2 çarpanlarının sayısı olan 56, paydadaki 2 çarpanlarının sayısı olan 2n2n değerine eşitlenir. Buradan n=28n = 28 bulunur. Ayrıca 60!60! içindeki 3 çarpanlarının sayısı da tam olarak 28 olduğundan, paydadaki 3283^{28} ile paydaki 3283^{28} tam sadeleşir ve sonuç tam sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin tek sayı olma koşulunu belirleme ve paydayı asal çarpanlarına ayırma.
Paydadaki 2 çarpanlarının sayısı paydaki 2 çarpanlarının sayısına eşit olmalıdır. Payda 22n⋅3n2^{2n} \cdot 3^n olarak ayrıştırılır.
Bir tam sayının tek olması için çarpanları arasında 2 asal sayısının bulunmaması gerekir.
2
60!60! sayısı içindeki 2 asal çarpanının sayısını Legendre formülü ile hesaplama.
60!60! içinde 56 adet 2 çarpanı vardır.
Faktöriyel içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için sayı sürekli o asala bölünür ve bölümler toplanır.
3
Pay ve paydadaki 2 ��arpanlarının sayısını eşitleyerek n değerini bulma.
2n=56⇒n=282n = 56 \Rightarrow n = 28 bulunur.
Tek sayı elde etmek için paydadaki tüm 2'lerin paydaki tüm 2'leri tam olarak sadeleştirmesi gerekir.
4
n=28n = 28 için paydadaki 3 çarpanlarının sayısını kontrol etme.
60!60! içindeki 3 çarpanı sayısı da 28'dir. Bu durumda paydadaki 3283^{28} ifadesi paydaki 3283^{28} ifadesi ile tam sadeleşir ve sonuç tam sayı kalır.
Elde edilen n değerinin ifadeyi tam sayı yapma koşulunu (paydadaki 3'lerin paydaki 3'lerden fazla olmaması) sağladığından emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı içerisinde asal çarpan sayısının bulunması ve bölünebilme ilişkileri.
Soru 63Soru →

Terimleri 3'er 3'er artan ardışık pozitif tam sayılardan oluşan bir dizinin terim sayısı çifttir. Bu dizinin ilk yarısındaki terimlerin toplamı AA, ikinci yarısındaki terimlerin toplamı BB'dir.

B−A=108B - A = 108

Bu dizinin en büyük terimi ile en küçük teriminin toplamı 119119 olduğuna göre, dizinin en küçük terimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 43

Cevap

Dizinin en küçük terimi 43'tür.
Dizinin ilk yarısındaki terimler ile ikinci yarısındaki karşılık gelen terimlerin birebir farklarının toplamı 3n23n^2 formülünü verir. Buradan 3n2=108  ⟹  n=63n^2 = 108 \implies n = 6 bulunur ve toplam terim sayısı 1212'dir. En küçük terim a1a_1, en büyük terim ise a12=a1+33a_{12} = a_1 + 33 olup, toplamları 2a1+33=119  ⟹  a1=432a_1 + 33 = 119 \implies a_1 = 43 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terim sayısını 2n2n olarak tanımlayıp iki yarıya ayırmak.
İlk yarı a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n ve ikinci yarı an+1,an+2,…,a2na_{n+1}, a_{n+2}, \dots, a_{2n} şeklinde nn elemanlı iki gruba ayrılır.
Terim sayısının çift olduğu belirtildiği için iki eşit gruba ayırarak toplam farkını analiz etmek gerekir.
2
Terimler arasındaki fark ilişkisinden yararlanarak grup toplamları arasındaki farkı veren denklemi kurmak.
Her ii için an+i−ai=3na_{n+i} - a_i = 3n olup, toplam farkı B−A=3n2B - A = 3n^2 olarak elde edilir.
Ardışık terimlerin artış miktarı 3 olduğundan, ikinci yarıdaki her terim ilk yarıdaki simetriğinden tam olarak nn terim sonrasıdır ve aradaki fark 3n3n'dir.
3
3n2=1083n^2 = 108 denklemini çözerek terim sayısını bulmak.
n = 6, toplam terim sayısı 2n=122n = 12 olarak bulunur.
Dizinin en büyük terimine ulaşmak için toplam terim sayısının bulunması şarttır.
4
En büyük terimi en küçük terim cinsinden ifade etmek.
a12=a1+33a_{12} = a_1 + 33 olur.
12 terimli ve artış miktarı 3 olan bir dizide son terim ile ilk terim arasında 11 adet artış adımı (11×3=3311 \times 3 = 33) vardır.
5
Verilen toplam değerini kullanarak en küçük terimi hesaplamak.
a1+(a1+33)=119  ⟹  2a1=86  ⟹  a1=43a_1 + (a_1 + 33) = 119 \implies 2a_1 = 86 \implies a_1 = 43 bulunur.
En büyük ve en küçük terimlerin toplamı 119 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimlerin toplamı arasındaki ilişkiler.
ÖncekiSayfa 4 / 4
Tüm alıştırma soruları — ALES | Examkin