Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel
nn bir pozitif tam sayı olmak üzere,
60!12n\frac{60!}{12^n}
ifadesi bir tek tam sayı olduğuna göre, nn kaçtır?

Cevap: 28

Cevap

İfadenin tek tam sayı olmasını sağlayan n değeri 28'dir.
İfadenin tek bir tam sayı olması için sadeleşme sonucunda elde edilen sayıda hiç 2 çarpanı kalmamalıdır. 12n=22n⋅3n12^n = 2^{2n} \cdot 3^n yazıldığında, 60!60! içindeki 2 çarpanlarının sayısı olan 56, paydadaki 2 çarpanlarının sayısı olan 2n2n değerine eşitlenir. Buradan n=28n = 28 bulunur. Ayrıca 60!60! içindeki 3 çarpanlarının sayısı da tam olarak 28 olduğundan, paydadaki 3283^{28} ile paydaki 3283^{28} tam sadeleşir ve sonuç tam sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin tek sayı olma koşulunu belirleme ve paydayı asal çarpanlarına ayırma.
Paydadaki 2 çarpanlarının sayısı paydaki 2 çarpanlarının sayısına eşit olmalıdır. Payda 22n⋅3n2^{2n} \cdot 3^n olarak ayrıştırılır.
Bir tam sayının tek olması için çarpanları arasında 2 asal sayısının bulunmaması gerekir.
2
60!60! sayısı içindeki 2 asal çarpanının sayısını Legendre formülü ile hesaplama.
60!60! içinde 56 adet 2 çarpanı vardır.
Faktöriyel içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için sayı sürekli o asala bölünür ve bölümler toplanır.
3
Pay ve paydadaki 2 ��arpanlarının sayısını eşitleyerek n değerini bulma.
2n=56⇒n=282n = 56 \Rightarrow n = 28 bulunur.
Tek sayı elde etmek için paydadaki tüm 2'lerin paydaki tüm 2'leri tam olarak sadeleştirmesi gerekir.
4
n=28n = 28 için paydadaki 3 çarpanlarının sayısını kontrol etme.
60!60! içindeki 3 çarpanı sayısı da 28'dir. Bu durumda paydadaki 3283^{28} ifadesi paydaki 3283^{28} ifadesi ile tam sadeleşir ve sonuç tam sayı kalır.
Elde edilen n değerinin ifadeyi tam sayı yapma koşulunu (paydadaki 3'lerin paydaki 3'lerden fazla olmaması) sağladığından emin olunmalıdır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel kavramı içerisinde asal çarpan sayısının bulunması ve bölünebilme ilişkileri.
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel

Bu konudan daha fazla soru