Saymanın Temel Kuralları

7 soru

Bir hafta sonu tatili planlamak isteyen Hakan, deniz veya doğa tatili seçeneklerinden birini tercih edecektir.

* Deniz tatilini seçerse konaklayabileceği $3$ farklı otel ve katılabileceği $2$ farklı aktivite (tüplü dalış veya yelken) bulunmaktadır.
* Doğa tatilini seçerse konaklayabileceği $4$ farklı dağ evi ve katılabileceği $3$ farklı aktivite (yürüyüş, tırmanış veya yamaç paraşütü) bulunmaktadır.

Hakan, seçeceği tatil türüne göre $1$ konaklama yeri ve bu konaklama yerinde sunulan $1$ aktivite belirleyecektir.

Buna göre, Hakan bu hafta sonu tatilini kaç farklı şekilde planlayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Hakan'ın yapacağı deniz tatili için

3 \times 2 = 6

farklı seçeneği, doğa tatili için ise

4 \times 3 = 12

farklı seçeneği vardır. Bu iki tatil seçeneği ayrık olduğundan toplama kuralı uygulanır ve toplam plan sayısı

6 + 12 = 18

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Deniz tatili seçeneği için olası planlama sayısını hesaplama.

3 \times 2 = 6

farklı plan.

Hakan deniz tatilini seçtiğinde

3

farklı otelden birini ve bu otelde sunulan

2

farklı aktiviteden birini seçeceği için çarpma kuralı uygulanır.

Doğa tatili seçeneği için olası planlama sayısını hesaplama.

4 \times 3 = 12

farklı plan.

Hakan doğa tatilini seçtiğinde

4

farklı dağ evinden birini ve bu dağ evinde sunulan

3

farklı aktiviteden birini seçeceği için çarpma kuralı uygulanır.

Deniz ve doğa tatili seçeneklerinin toplamını bularak toplam plan sayısını hesaplama.

6 + 12 = 18

farklı plan.

Deniz tatili ve doğa tatili birbirini dışlayan (ayrık) iki farklı seçenek olduğundan, bu seçeneklerin plan sayıları toplama kuralı uygulanarak toplanır.

Anahtar Kavram

Saymanın Temel Kuralları (Toplama ve Çarpma Kuralları)

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 2Soru →

A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine ise 4 farklı yol vardır. Ayrıca A şehrinden C şehrine, B şehrine uğramadan giden 2 farklı doğrudan yol bulunmaktadır.

Buna göre, A şehrinden C şehrine gidip tekrar A şehrine dönecek olan bir kişi, giderken kullandığı hiçbir yol bağlantısını (yolu) dönüşte kullanmamak şartıyla bu gidiş-dönüş seyahatini kaç farklı şekilde gerçekleştirebilir?

112

122

182

196

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 122

Cevap

Gidiş ve dönüş yolları analiz edilerek toplam farklı seyahat sayısı 122 olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan seçenekteki sayı (122), seyahatin gidiş rotasına göre iki farklı duruma ayrılarak hesaplanmasıyla elde edilir. Eğer doğrudan yollardan biriyle gidilirse dönüşte

13

yol kalır (

2 \times 13 = 26

). Eğer B üzerinden gidilirse dönüşte

8

yol kalır (

12 \times 8 = 96

). Bu iki durumun toplamı olan

26 + 96 = 122

seyahat olasılığı doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

B şehri üzerinden A'dan C'ye gidiş yolu sayısını hesaplayın.

3 \times 4 = 12

yol.

Çarpım kuralına göre, A'dan B'ye giden 3 yol ile B'den C'ye giden 4 yol çarpılarak B üzerinden gidiş alternatifleri bulunur.

A'dan C'ye doğrudan giden yolları ekleyerek toplam gidiş alternatiflerini belirleyin.

Toplam gidiş yolu =

12

(B üzerinden) +

2

(doğrudan) =

14

yol.

Toplama kuralına göre, B üzerinden gidiş ile doğrudan gidiş ayrık olaylar olduğu için toplanır.

Birinci Durum: Gidişin doğrudan yollardan biriyle yapıldığı senaryoyu analiz edin.

Gidiş için

2

yol. Dönüş için:

1

doğrudan yol +

12

B üzerinden yol =

13

yol. Bu durumdan gelen seyahat sayısı:

2 \times 13 = 26

Giderken kullanılan 1 doğrudan yol dönüşte kullanılamaz (1 yol kalır). B üzerinden hiç gidilmediği için oradaki tüm yollar (

4 \times 3 = 12

) kullanılabilir.

İkinci Durum: Gidi��in B şehri üzerinden yapıldığı senaryoyu analiz edin.

Gidiş için

12

yol. Dönüş için:

2

doğrudan yol +

3 \times 2 = 6

B üzerinden yol =

8

yol. Bu durumdan gelen seyahat sayısı:

12 \times 8 = 96

B üzerinden gidildiğinde kullanılan 1 adet B-C yolu ve 1 adet A-B yolu dönüşte kullanılamaz. Dönüşte C-B arası 3 yol, B-A arası ise 2 yol kalır (

3 \times 2 = 6

). Doğrudan yollar hiç kullanılmadığı için 2 seçenek de dönüşte mevcuttur.

İki ayrı durumdan elde edilen seyahat sayılarını toplayarak sonuca ulaşın.

26 + 96 = 122

Bu iki durum birbirini dışlayan ayrık durumlar olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın temel kuralları olan toplama ve çarpım kurallar��nın, koşullu durumlar altında ayrık olaylara uygulanması.

İpuçları

Gidiş rotanızı B şehri üzerinden gidenler ve B şehrine uğramayan doğrudan yollar olmak üzere iki ayrı durumda inceleyin.

B üzerinden gidildiğinde, A-B arasındaki 3 yoldan biri ve B-C arasındaki 4 yoldan biri kullanılmış olur. Dönüşte bu iki yol parçası artık kullanılamaz.

Gidiş doğrudan yol ile yapıldığında dönüş için 1 doğrudan yol ve B üzerinden 12 yol kalır. Gidiş B üzerinden yapıldığında dönüş için 2 doğrudan yol ve B üzerinden

3 \times 2 = 6

yol kalır.

Daha Fazla Pratik

Bu sorunun ardından, yol bağlantısı yerine şehirlerin de tekrar ziyaret edilemeyeceği (A'ya dönene kadar B veya C'ye tekrar uğranamayacağı) durumlar için sayma kurallarını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan kısıtlamayı bozan durumları çıkarma yöntemi de denenebilir, ancak durumların karmaşıklığı nedeniyle doğrudan durum analizi yapmak işlem hatası riskini azaltır ve daha pratiktir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 3Soru →

Bir restoranda;
- $3$ farklı çorba,
- $4$ farklı ana yemek,
- $3$ farklı tatlı
seçeneği bulunmaktadır.

Bir müşteri bu menüden en az bir, en fazla iki farklı kategoriden birer ürün seçerek bir sipariş oluşturmak istemektedir. Ancak, ana yemek seçtiği her durumda mutlaka çorba da seçmek zorundadır.

Buna göre, bu müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Müşteri siparişini 27 farklı şekilde oluşturabilir.

Müşterinin seçebileceği durumlar kategorilere göre ayrılır: Yalnızca bir kategori seçildiğinde sadece çorba (

3

durum) veya sadece tatlı (

3

durum) seçilebilir (toplam

6

durum). Tam iki kategori seçildiğinde ise çorba ve ana yemek (

3 \times 4 = 12

durum) veya çorba ve tatlı (

3 \times 3 = 9

durum) seçilebilir (toplam

21

durum). Diğer durumlar koşullarla çelişmektedir. Toplamda

6 + 21 = 27

farklı sipariş verilebilir.

Adım Adım Çözüm

Tek kategori seçilen durumları hesaplayın.

Sadece çorba seçilirse

3

durum, sadece tatlı seçilirse

3

durum vardır. Sadece ana yemek seçilemez çünkü ana yemek seçildiğinde çorba da seçilmelidir. Toplam:

3 + 3 = 6

durum.

Müşteri en az bir kategori seçmek zorundadır ve ana yemek tek başına seçildiğinde çorba kuralını ihlal eder.

İki kategori seçilen durumları hesaplayın.

Çorba ve ana yemek seçilirse

3 \times 4 = 12

durum; çorba ve tatlı seçilirse

3 \times 3 = 9

durum vardır. Ana yemek ve tatlı seçilirse çorba da seçilmesi gerekeceğinden kategori sayısı üçe çıkar ve kural ihlal edilir. Toplam:

12 + 9 = 21

durum.

Müşteri en fazla iki kategori seçebilir ve ana yemek seçimi her zaman çorbayı gerektirir.

Elde edilen tüm durumları toplayın.

6 + 21 = 27

durum.

Farklı kategori seçim adetleri ayrık durumlar oluşturduğu için toplama ilkesi uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın toplama ve çarpma kurallarının koşullu durumlara uygulanması.

Soru 4Soru →

Bir teknoloji mağazasında satılan $5$ farklı marka akıllı telefon ve $3$ farklı marka akıllı saat bulunmaktadır. Bir müşteri, bu mağazadan bir akıllı telefon ve bir akıllı saat seçmek istemektedir. Buna göre, bu müşteri kaç farklı telefon ve saat ikilisi seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Müşteri, telefon ve saat ikilisini 15 farklı şekilde seçebilir.

Seçilmesi istenen telefon ve saat ikilisi için sırasıyla 5 ve 3 farklı seçenek bulunmaktadır. Saymanın çarpma kuralı gereğince, bu iki seçim birlikte yapılacağından toplam farklı seçim sayısı bu seçeneklerin çarpımı olan 15'tir.

Adım Adım Çözüm

Telefon seçimi için olası durum sayısını belirleme.

5 farklı telefon markası olduğundan telefon seçimi için 5 farklı durum vardır.

Soruda 5 farklı marka akıllı telefon olduğu belirtilmiştir.

Saat seçimi için olası durum sayısını belirleme.

3 farklı saat markası olduğundan saat seçimi için 3 farklı durum vardır.

Soruda 3 farklı marka akıllı saat olduğu belirtilmiştir.

Çarpma kuralını uygulayarak toplam seçim sayısını hesaplama.

5 \times 3 = 15

farklı seçim yapılabilir.

Birbirinden bağımsız iki seçimin birlikte yapılması durumunda toplam seçenek sayısı, her bir seçimin durum sayılarının çarpımı ile bulunur (Saymanın Çarpma Kuralı).

Anahtar Kavram

Saymanın Çarpma Kuralı

Soru 5Soru →

Bir okulda düzenlenecek olan bilim şenliğinde sergilenmek üzere projeler seçilecektir. Şenlik için:

* Fizik alanından $3$ farklı proje,
* Kimya alanından $4$ farklı proje,
* Biyoloji alanından $2$ farklı proje

hazırlanmıştır. Şenlik komitesi, bu projeler arasından her bir alandan en fazla birer proje seçerek sergilenecek projeleri belirleyecektir.

Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi zorunlu olduğuna göre, sergilenecek projeler kaç farklı şekilde seçilebilir?

9

24

59

60

23

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $59$

Cevap

Sergilenecek projeler

59

farklı şekilde seçilebilir.

Her alandan en fazla bir proje seçilebileceği için her alandaki seçenek sayısı, o alandaki proje sayısının 1 fazlasıdır (hiç seçmeme durumu dahil). Bu durumlar çarpıldığında toplam

60

olası seçim elde edilir. Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi gerektiğinden, hiçbir projenin seçilmediği tek bir durum bu toplamdan çıkarılır ve doğru cevap

59

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Fizik alanı için olası seçim durumlarını belirleme

Fizik alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya

3

projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı:

3 + 1 = 4

olur.

Soruda her alandan 'en fazla bir' proje seçilebileceği belirtilmiştir.

Kimya alanı için olası seçim durumlarını belirleme

Kimya alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya

4

projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı:

4 + 1 = 5

olur.

Her alan bağımsız olarak değerlendirilir.

Biyoloji alanı için olası seçim durumlarını belirleme

Biyoloji alanından en fazla bir proje seçilebileceğinden, ya

2

projeden biri seçilir ya da hiç proje seçilmez. Durum sayısı:

2 + 1 = 3

olur.

Her alan bağımsız olarak değerlendirilir.

Çarpma kuralını uygulayarak toplam olası durum sayısını bulma

Tüm alanlardaki seçimlerin birlikte yapılması durumunda toplam seçenek sayısı:

4 \times 5 \times 3 = 60

olur.

Bağımsız olayların ardışık olarak gerçekleşme durumları çarpma kuralı ile hesaplanır.

Hiçbir projenin seçilmediği durumu çıkartma

Şenlikte en az bir projenin sergilenmesi zorunlu olduğundan, hiçbir projenin seçilmediği tek bir durum (

1

durum) toplamdan çıkarılır:

60 - 1 = 59

bulunur.

'En az bir proje' koşulunun sağlanması için tüm projelerin seçilmeme durumu elenmelidir.

Anahtar Kavram

Saymanın çarpma kuralı ve tüm durumlardan istenmeyen durumun (boş küme) çıkarılması prensibi.

Soru 6Soru →

Bir tiyatro oyunu için bir oyuncuya şapka, gömlek ve pantolondan oluşan bir kombinasyon seçilecektir. Oyuncunun gardırobunda;
* $3$ farklı şapka (mavi, kırmızı, yeşil),
* $4$ farklı gömlek (mavi, kırmızı, yeşil, beyaz),
* $3$ farklı pantolon (mavi, siyah, gri)
bulunmaktadır.

Kıyafet seçiminde şu kurallara uyulacaktır:
- Seçilen şapka ve gömlek aynı renkte olmamalıdır.
- Seçilen gömlek ve pantolon aynı renkte olmamalıdır.

Buna göre, bu oyuncu için şapka, gömlek ve pantolondan oluşan $3$ parçalık bir kıyafet kombinasyonu kaç farklı şekilde seçilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

Gömlek rengine göre durumlar ayrıştırılıp incelendiğinde; beyaz gömlek için 9, mavi gömlek için 4, kırmızı gömlek için 6 ve yeşil gömlek için 6 farklı durum oluşur. Bu ayrık durumların toplamı olan 25 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

Gömlek rengine göre durum analizi yapılır. İlk olarak gömlek renginin beyaz olması durumu incelenir.

Eğer gömlek beyaz seçilirse (

1

durum), şapka için mavi, kırmızı, yeşil (

3

durum) ve pantolon için mavi, siyah, gri (

3

durum) seçilebilir. Buradan

1 \times 3 \times 3 = 9

farklı kombinasyon elde edilir.

Beyaz rengi şapka ve pantolon renk listelerinde bulunmadığından herhangi bir kısıtlamaya yol açmaz.

Gömlek renginin mavi olması durumu incelenir.

Eğer gömlek mavi seçilirse (

1

durum), şapka mavi olamayacağından kırmızı veya yeşil (

2

durum); pantolon da mavi olamayacağından siyah veya gri (

2

durum) seçilebilir. Buradan

1 \times 2 \times 2 = 4

farklı kombinasyon elde edilir.

Gömlek mavi olduğunda, şapka ve pantolon mavi seçilemez.

Gömlek renginin kırmızı veya yeşil olması durumları incelenir.

Gömlek kırmızı seçilirse (

1

durum), şapka kırmızı olamayacağından mavi veya yeşil (

2

durum) seçilebilir. Pantolon renkleri arasında kırmızı olmadığından pantolon için mavi, siyah, gri (

3

durum) seçilebilir. Buradan

1 \times 2 \times 3 = 6

kombinasyon elde edilir. Benzer şekilde, gömlek yeşil seçildiğinde de şapka için yeşil hariç

2

durum, pantolon için

3

durum olmak üzere

1 \times 2 \times 3 = 6

kombinasyon elde edilir.

Kırmızı ve yeşil renkleri pantolon seçeneklerinde bulunmadığı için pantolon seçimini kısıtlamaz ancak şapka seçimini kısıtlar.

Elde edilen tüm ayrık durumların kombinasyon sayıları toplanır.

9 + 4 + 6 + 6 = 25

farklı kombinasyon bulunur.

Ayrık durumların toplam seçenek sayısını bulmak için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Saymanın çarpma ve toplama kurallarının kısıtlı durumlarda ayrı ayrı incelenerek uygulanması.

Soru 7Soru →

Bir spor salonuna kayıt yaptıran Elif, kendisine bir antrenman programı hazırlayacaktır. Haftanın belirli günlerinde yapabileceği aktiviteler için seçenekler şu şekildedir:

* Hafta içi günlerinden ( $5$ farklı gün) en fazla bir gün kardiyo yapacaktır.
* Hafta sonu günlerinden ( $2$ farklı gün) en fazla bir gün ağırl��k antrenmanı yapacaktır.

Elif, antrenman yapmadığı günlerde dinlenecektir.

Buna göre, Elif bir hafta için kardiyo ve ağırlık antrenman günlerini kaç farklı şekilde planlayabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Elif bir hafta için kardiyo ve ağırlık antrenman günlerini 18 farklı şekilde planlayabilir.

Doğru yanıt 18'dir. Hafta içi antrenman gününün belirlenmesi için 5 alternatif gün ve 1 antrenman yapmama seçeneği ile birlikte 6 farklı durum vardır. Hafta sonu antrenman gününün belirlenmesi için ise 2 alternatif gün ve 1 antrenman yapmama seçeneğiyle birlikte 3 farklı durum mevcuttur. Çarpma yoluyla sayma kuralına göre bu iki bağımsız seçimin birleşimi

6 \times 3 = 18

farklı program oluşturur.

Adım Adım Çözüm

Hafta içi günlerinde yapılabilecek kardiyo antrenmanı için tüm olası seçeneklerin sayısını bulun.

Hafta içi 5 gün bulunmaktadır. Elif bu günlerden en fazla birinde kardiyo yapacaktır. Bu durumda ya 5 günden birini seçer ya da hiç kardiyo yapmaz. Toplam durum sayısı

5 + 1 = 6

olur.

En fazla bir gün antrenman yapma koşulu, antrenman yapmama seçeneğini de kapsadığı için toplama kuralı uygulanır.

Hafta sonu günlerinde yapılabilecek ağırlık antrenmanı için tüm olası seçeneklerin sayısını bulun.

Hafta sonu 2 gün bulunmaktadır. Elif bu günlerden en fazla birinde ağırlık antrenmanı yapacaktır. Bu durumda ya 2 günden birini seçer ya da hiç ağırlık antrenmanı yapmaz. Toplam durum sayısı

2 + 1 = 3

olur.

Benzer şekilde, en fazla bir gün ağırlık antrenmanı yapma koşulu antrenman yapmama seçeneğini de içerir.

Hafta içi ve hafta sonu planlamalarını birleştirerek toplam program sayısını hesaplayın.

Hafta içi ve hafta sonu yapılan seçimler bağımsız olaylar olduğundan, çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır:

6 \times 3 = 18

farklı program planlanabilir.

İki farklı bağımsız seçimin birlikte oluşturabileceği tüm durumların sayısını bulmak için çarpma kuralı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma Kuralları

Tahmini Süre:1m 30s

Saymanın Temel Kuralları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar