Examkin

Tekrarlı Permütasyon

5 soru

Soru 1Soru →

KELEBEKKELEBEK kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen anlamlı ya da anlamsız 77 harfli kelimelerin kaç tanesinde EE harfinin hemen ard��ndan LL harfi gelmez?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 240

Cevap

E harfinin hemen ardından L harfinin gelmediği kelime sayısı 240'tır.
Tüm olası 7 harfli kelime dizilimlerinin sayısı tekrarlı permütasyon ile 420 olarak bulunur. E harfinin hemen ardından L harfinin geldiği durumları bulmak için 'EL' harfleri tek bir grup olarak bağlanır; bu durumda dizilebilecek nesneler 2 adet K, 2 adet E, 1 adet B ve 1 adet 'EL' grubu olmak üzere 6 tanedir ve dizilim sayısı 180'dir. Tüm durumlardan (420) bu istenmeyen durum (180) çıkarıldığında geriye kalan 240 dizilimde E harfinden hemen sonra L harfi gelmez. Bu nedenle 240 sayısı doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
KELEBEKKELEBEK kelimesindeki harfleri ve tekrar sayılarını belirleyerek oluşturulabilecek tüm 7 harfli kelimelerin sayısını hesaplamak.
Kelime 7 harflidir. Harflerin dağılımı: K harfi 2 adet, E harfi 3 adet, L harfi 1 adet, B harfi 1 adettir. Tüm durumların sayısı: 7!2!×3!=50402×6=420\frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{5040}{2 \times 6} = 420 olur.
Harflerin kendi aralarındaki yer değişimlerinin toplam sayısını tekrarl�� permütasyon formülüyle bulmamız gerekir.
2
E harfinin hemen ardından L harfinin geldiği (yani 'EL' yan yana olan) durumların say��sını hesaplamak.
'EL' harflerini tek bir paket (blok) olarak kabul ederiz. Geriye kalan harfler: K, K, E, E, B ve (EL) bloğudur. Toplam nesne sayısı 6 olur. Bu nesnelerden K harfi 2 kez, E harfi 2 kez tekrarlamaktadır. Bu durumdaki dizilim sayısı: 6!2!×2!=7204=180\frac{6!}{2! \times 2!} = \frac{720}{4} = 180 olur.
İstenmeyen durumları (E'den hemen sonra L gelen kelimeleri) tek bir eleman gibi düşünerek tüm durumların içindeki payını hesaplarız.
3
Tüm olası kelime sayısından, istenmeyen durumların sayısını çıkarmak.
420−180=240420 - 180 = 240 bulunur.
Tüm durumlardan istenmeyen durumlar çıkarıldığında geriye yalnızca E harfinin hemen ardından L harfinin gelmediği dizilimler kalır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon ve Tüm Durumlardan İstenmeyen Durumların Çıkarılması Yöntemi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →

Bir süsleme için kullanılacak özdeş 33 sarı ve özdeş 22 kırmızı balon, düz bir ipe yan yana asılacaktır.

Buna göre, bu balonlar ip üzerinde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Balonlar ip üzerinde yan yana 10 farklı şekilde sıralanabilir.
Doğru cevap 10'dur. Toplam 5 balonun (3 sarı ve 2 kırmızı) yan yana sıralanma sayısı, özdeş balonların kendi aralarındaki yer değiştirmeleri durumu değiştirmeyeceğinden tekrarlı permütasyon formülüyle hesaplanır. Formül 5!3!⋅2!\frac{5!}{3! \cdot 2!} şeklindedir. Buradan hesaplama yapıldığında 1206⋅2=10\frac{120}{6 \cdot 2} = 10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nesne (balon) sayısını belirleme
Toplam 3+2=53 + 2 = 5 balon vardır.
Sıralanacak tüm elemanların toplam sayısını bulmamız gerekir.
2
Özdeş (tekrar eden) nesne sayılarını belirleme
Sarı balonlar 33 kez, kırmızı balonlar ise 22 kez tekrar etmektedir.
Aynı renkteki balonlar özdeş olduğu için kendi aralarındaki yer değişimleri farklı bir sıralama oluşturmaz.
3
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayarak farklı sıralama sayısını hesaplama
5!3!×2!=1206×2=12012=10\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10
Toplam eleman sayısının faktöriyeli, tekrar eden eleman sayılarının faktöriyellerinin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon, bazı elemanları özdeş olan bir kümenin elemanlarının farklı sıralanışlarının sayısını bulmak için kullanılır. Toplam nn elemandan n1,n2,…,nrn_1, n_2, \dots, n_r tanesi kendi aralarında özdeş ise sıralama sayısı n!n1!⋅n2!…nr!\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!} formülüyle bulunur.
Soru 3Soru →

MASALMASAL kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 55 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6060

Cevap

MASAL kelimesindeki harfler yer değiştirilerek 60 farklı kelime yazılabilir.
MASAL kelimesinde toplam 55 harf bulunur. Bu harflerden AA harfi 22 defa tekrar ederken, MM, SS ve LL harfleri birer defa bulunur. Tekrarlı permütasyon formülü gereği tüm harflerin sıralanma sayısı olan 5!5!, tekrar eden AA harflerinin kendi aralarındaki sıralanma sayısı olan 2!2! değerine bölünür. Buradan 5!2!=1202=60\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kelimenin toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleme
MASAL kelimesinde toplam 55 harf vardır. Bu harflerden AA harfi 22 kez tekrar etmektedir, diğer harfler (MM, SS, LL) ise birer kez bulunmaktadır.
Tekrarlı permütasyon uygulayabilmek için toplam eleman sayısı ve her bir elemanın tekrar sıklığı bilinmelidir.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulama
5!2!=1202=60\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
Özdeş elemanların kendi aralarındaki yer değişimleri yeni bir kelime oluşturmadığı için toplam permütasyon sayısı, tekrar eden harflerin faktöriyel değerine bölünür.

Anahtar Kavram

Özdeş elemanların sıralanmasında tekrarlı permütasyon formülü kullanılır. nn elemanın n1,n2,…,nrn_1, n_2, \dots, n_r tanesi özdeş ise bu elemanların farklı dizilişlerinin sayısı n!n1!⋅n2!…nr!\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!} formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1
Kelimenin içindeki harflerin toplam sayısını ve hangi harflerin kaçar kez tekrar ettiğini bulun.
2
Tekrarlanan elemanların sıralamayı değiştirmeyeceğini hatırlayarak, genel sıralama sayısını tekrar eden elemanların faktöriyeline bölün.

Daha Fazla Pratik

İçinde birden fazla harfin tekrar ettiği (örneğin 'MAKAS' kelimesi gibi) durumlar için de benzer yöntemi uygulayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Öncelikle benzersiz harfleri (MM, SS, LL) ve iki adet özdeş AA harfini yerleştirmek için basamakları düşünebiliriz. 55 boş kutudan 22 tanesini AA harfleri için seçeriz: (52)=10\binom{5}{2} = 10 durum. Kalan 33 boş kutuya ise farklı olan MM, SS, LL harflerini sıralarız: 3!=63! = 6 durum. Toplam durum sayısı 10×6=6010 \times 6 = 60 olur.
Tahmini Süre:45s
Soru 4Soru →

MAKARAMAKARA kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 6 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 120

Cevap

120
Toplam 6 harf içeren kelimede 'A' harfi 3 kez tekrarlamaktadır. Tekrarlı permütasyon gereği tüm dizilimlerin sayısı 6! değerinin tekrar sayısı olan 3!'e bölünmesiyle hesaplanır. Bu işlem sonucunda 120 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kelimenin toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleme.
MAKARAMAKARA kelimesinde toplam 6 harf vardır. Bu harflerden 'A' harfi 3 kez tekrar etmektedir.
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ve her bir tekrar eden elemanın sıklığı bilinmelidir.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kurma.
6!3!\frac{6!}{3!} ifadesi elde edilir.
Toplam nn elemanlı bir kümede tekrar eden eleman sayıları n1,n2,...n_1, n_2, ... ise farklı dizilim sayısı n!n1!⋅n2!⋅...\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...} formülüyle bulunur.
3
Matematiksel hesabı gerçekleştirme.
6!3!=6⋅5⋅4⋅3!3!=6⋅5⋅4=120\frac{6!}{3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 bulunur.
Pay kısmındaki 6! ifadesi, paydadaki 3! ile sadeleştirilerek işlem kolayca tamamlanır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 5Soru →

Bir kutuda bulunan özdeş kartların 2 tanesinin üzerinde 44, 3 tanesinin üzerinde 77 ve 2 tanesinin üzerinde 99 rakamı yazılıdır. Bu kartların tamamı yan yana dizilerek 7 basamaklı sayılar oluşturulacaktır.

Buna göre, bu kartlar kullanılarak kaç farklı 7 basamaklı çift sayı oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Kartlar kullanılarak 60 farklı çift sayı oluşturulabilir.
Çift sayı oluşturabilmek amacıyla birler basamağına tek seçenek olan 4 rakamlarından biri sabitlenir. Kalan 6 basamağa ise geriye kalan bir adet 4, üç adet 7 ve iki adet 9 rakamları tekrarlı permütasyon formülüyle sıralanır. Bu işlem sonucunda 6! / (3! * 2!) = 60 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının çift olması için birler basamağına yerleştirilmesi gereken rakamı belirleme
Birler basamağına bir adet 44 rakamı yerleştirilir.
Oluşturulacak sayının çift sayı olabilmesi için birler basamağındaki rakamın çift olması gerekir. Kartlar üzerindeki rakamlar (44, 77, 99) arasında tek çift rakam 44'tür.
2
Geriye kalan basamaklar için kullanılabilir durumda olan rakamları tespit etme
Geriye kalan rakamlar: bir adet 44, üç adet 77 ve iki adet 99 (toplam 6 rakam).
Başlangıçta iki adet 44 rakamı vardı. Bunlardan biri birler basamağında sabitlendiği için geriye dizilmesi gereken bir adet 44 rakamı kalmıştır.
3
Kalan 6 rakamın kendi aralarındaki dizilim sayısını tekrarlı permütasyon ile hesaplama
6!1!×3!×2!=7201×6×2=60 \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60
Dizilecek 6 rakam içinde 77 rakamı 3 kez, 99 rakamı ise 2 kez tekrar etmektedir. Bu nedenle toplam permütasyon sayısı, tekrar sayılarına ait fakt��riyellerin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

1
Bir sayının çift olması birler basamağına bağlıdır. Kutudaki kartlardan hangilerinin birler basamağına gelebileceğini belirleyin.
2
Birler basamağına bir adet 4 rakamını koyduktan sonra, kalan 6 basamak için hangi kartların elinizde kaldığını yazın ve bunların kaçar kez tekrar ettiğini bulun.
3
Geriye kalan rakamlar bir tane 4, üç tane 7 ve iki tane 9'dur. Bu 6 rakamın dizilimini tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak 6!1!×3!×2!\frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} şeklinde hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kalan 6 basamaktaki yerleri seçme (kombinasyon) yöntemiyle de çözebiliriz. 6 basamaktan 3 tanesini 7 rakamları için C(6,3)=20C(6,3) = 20 farklı şekilde, kalan 3 basamaktan 2 tanesini 9 rakamları için C(3,2)=3C(3,2) = 3 farklı şekilde ve son kalan 1 basamağı ise kalan tek 4 rakamı için C(1,1)=1C(1,1) = 1 farklı şekilde seçebiliriz. Çarpım kuralı gereğince 20×3×1=6020 \times 3 \times 1 = 60 farklı dizilim elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Tekrarlı Permütasyon Alıştırma Soruları — ALES | Examkin