Examkin

Soru

Zorluk: KolayTekrarlı Permütasyon

MASALMASAL kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek 55 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

  1. A
    1010
  2. B
    2424
  3. C
    3030
  4. 6060Cevap
  5. E
    120120

Cevap

MASAL kelimesindeki harfler yer değiştirilerek 60 farklı kelime yazılabilir.
MASAL kelimesinde toplam 55 harf bulunur. Bu harflerden AA harfi 22 defa tekrar ederken, MM, SS ve LL harfleri birer defa bulunur. Tekrarlı permütasyon formülü gereği tüm harflerin sıralanma sayısı olan 5!5!, tekrar eden AA harflerinin kendi aralarındaki sıralanma sayısı olan 2!2! değerine bölünür. Buradan 5!2!=1202=60\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kelimenin toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleme
MASAL kelimesinde toplam 55 harf vardır. Bu harflerden AA harfi 22 kez tekrar etmektedir, diğer harfler (MM, SS, LL) ise birer kez bulunmaktadır.
Tekrarlı permütasyon uygulayabilmek için toplam eleman sayısı ve her bir elemanın tekrar sıklığı bilinmelidir.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulama
5!2!=1202=60\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
Özdeş elemanların kendi aralarındaki yer değişimleri yeni bir kelime oluşturmadığı için toplam permütasyon sayısı, tekrar eden harflerin faktöriyel değerine bölünür.

Anahtar Kavram

Özdeş elemanların sıralanmasında tekrarlı permütasyon formülü kullanılır. nn elemanın n1,n2,…,nrn_1, n_2, \dots, n_r tanesi özdeş ise bu elemanların farklı dizilişlerinin sayısı n!n1!⋅n2!…nr!\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!} formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1
Kelimenin içindeki harflerin toplam sayısını ve hangi harflerin kaçar kez tekrar ettiğini bulun.
2
Tekrarlanan elemanların sıralamayı değiştirmeyeceğini hatırlayarak, genel sıralama sayısını tekrar eden elemanların faktöriyeline bölün.

Daha Fazla Pratik

İçinde birden fazla harfin tekrar ettiği (örneğin 'MAKAS' kelimesi gibi) durumlar için de benzer yöntemi uygulayarak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Öncelikle benzersiz harfleri (MM, SS, LL) ve iki adet özdeş AA harfini yerleştirmek için basamakları düşünebiliriz. 55 boş kutudan 22 tanesini AA harfleri için seçeriz: (52)=10\binom{5}{2} = 10 durum. Kalan 33 boş kutuya ise farklı olan MM, SS, LL harflerini sıralarız: 3!=63! = 6 durum. Toplam durum sayısı 10×6=6010 \times 6 = 60 olur.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru