Examkin

Soru

Zorluk: KolayTekrarlı Permütasyon

Bir süsleme için kullanılacak özdeş 33 sarı ve özdeş 22 kırmızı balon, düz bir ipe yan yana asılacaktır.

Buna göre, bu balonlar ip üzerinde yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?

  1. 10Cevap
  2. B
    120
  3. C
    20
  4. D
    60
  5. E
    12

Cevap

Balonlar ip üzerinde yan yana 10 farklı şekilde sıralanabilir.
Doğru cevap 10'dur. Toplam 5 balonun (3 sarı ve 2 kırmızı) yan yana sıralanma sayısı, özdeş balonların kendi aralarındaki yer değiştirmeleri durumu değiştirmeyeceğinden tekrarlı permütasyon formülüyle hesaplanır. Formül 5!3!⋅2!\frac{5!}{3! \cdot 2!} şeklindedir. Buradan hesaplama yapıldığında 1206⋅2=10\frac{120}{6 \cdot 2} = 10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nesne (balon) sayısını belirleme
Toplam 3+2=53 + 2 = 5 balon vardır.
Sıralanacak tüm elemanların toplam sayısını bulmamız gerekir.
2
Özdeş (tekrar eden) nesne sayılarını belirleme
Sarı balonlar 33 kez, kırmızı balonlar ise 22 kez tekrar etmektedir.
Aynı renkteki balonlar özdeş olduğu için kendi aralarındaki yer değişimleri farklı bir sıralama oluşturmaz.
3
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayarak farklı sıralama sayısını hesaplama
5!3!×2!=1206×2=12012=10\frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10
Toplam eleman sayısının faktöriyeli, tekrar eden eleman sayılarının faktöriyellerinin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon, bazı elemanları özdeş olan bir kümenin elemanlarının farklı sıralanışlarının sayısını bulmak için kullanılır. Toplam nn elemandan n1,n2,…,nrn_1, n_2, \dots, n_r tanesi kendi aralarında özdeş ise sıralama sayısı n!n1!⋅n2!…nr!\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots n_r!} formülüyle bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru