Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTekrarlı Permütasyon

Bir kutuda bulunan özdeş kartların 2 tanesinin üzerinde 44, 3 tanesinin üzerinde 77 ve 2 tanesinin üzerinde 99 rakamı yazılıdır. Bu kartların tamamı yan yana dizilerek 7 basamaklı sayılar oluşturulacaktır.

Buna göre, bu kartlar kullanılarak kaç farklı 7 basamaklı çift sayı oluşturulabilir?

  1. A
    30
  2. 60Cevap
  3. C
    120
  4. D
    210
  5. E
    420

Cevap

Kartlar kullanılarak 60 farklı çift sayı oluşturulabilir.
Çift sayı oluşturabilmek amacıyla birler basamağına tek seçenek olan 4 rakamlarından biri sabitlenir. Kalan 6 basamağa ise geriye kalan bir adet 4, üç adet 7 ve iki adet 9 rakamları tekrarlı permütasyon formülüyle sıralanır. Bu işlem sonucunda 6! / (3! * 2!) = 60 farklı dizilim elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının çift olması için birler basamağına yerleştirilmesi gereken rakamı belirleme
Birler basamağına bir adet 44 rakamı yerleştirilir.
Oluşturulacak sayının çift sayı olabilmesi için birler basamağındaki rakamın çift olması gerekir. Kartlar üzerindeki rakamlar (44, 77, 99) arasında tek çift rakam 44'tür.
2
Geriye kalan basamaklar için kullanılabilir durumda olan rakamları tespit etme
Geriye kalan rakamlar: bir adet 44, üç adet 77 ve iki adet 99 (toplam 6 rakam).
Başlangıçta iki adet 44 rakamı vardı. Bunlardan biri birler basamağında sabitlendiği için geriye dizilmesi gereken bir adet 44 rakamı kalmıştır.
3
Kalan 6 rakamın kendi aralarındaki dizilim sayısını tekrarlı permütasyon ile hesaplama
6!1!×3!×2!=7201×6×2=60 \frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} = \frac{720}{1 \times 6 \times 2} = 60
Dizilecek 6 rakam içinde 77 rakamı 3 kez, 99 rakamı ise 2 kez tekrar etmektedir. Bu nedenle toplam permütasyon sayısı, tekrar sayılarına ait fakt��riyellerin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Permütasyon

İpuçları

1
Bir sayının çift olması birler basamağına bağlıdır. Kutudaki kartlardan hangilerinin birler basamağına gelebileceğini belirleyin.
2
Birler basamağına bir adet 4 rakamını koyduktan sonra, kalan 6 basamak için hangi kartların elinizde kaldığını yazın ve bunların kaçar kez tekrar ettiğini bulun.
3
Geriye kalan rakamlar bir tane 4, üç tane 7 ve iki tane 9'dur. Bu 6 rakamın dizilimini tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak 6!1!×3!×2!\frac{6!}{1! \times 3! \times 2!} şeklinde hesaplayabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Kalan 6 basamaktaki yerleri seçme (kombinasyon) yöntemiyle de çözebiliriz. 6 basamaktan 3 tanesini 7 rakamları için C(6,3)=20C(6,3) = 20 farklı şekilde, kalan 3 basamaktan 2 tanesini 9 rakamları için C(3,2)=3C(3,2) = 3 farklı şekilde ve son kalan 1 basamağı ise kalan tek 4 rakamı için C(1,1)=1C(1,1) = 1 farklı şekilde seçebiliriz. Çarpım kuralı gereğince 20×3×1=6020 \times 3 \times 1 = 60 farklı dizilim elde edilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru