Şekil ve Sayı Bağıntıları Alıştırma Soruları — ALES

Soru 1Soru →

Birbirine bağlı dört dairesel hücre ve merkezlerindeki kare hücreden oluşan düzeneklerde, hücrelerdeki sayılar arasında tüm düzenekler için geçerli olan bir bağıntı bulunmaktadır. Aşağıda bu düzeneklerden ikisinin hücrelerindeki sayılar verilmiştir:

1. Düzenek:
- Üst hücre: $8$
- Alt hücre: $5$
- Sol hücre: $4$
- Sağ hücre: $6$
- Merkez hücre: $30$

2. Düzenek:
- Üst hücre: $12$
- Alt hücre: $7$
- Sol hücre: $5$
- Sağ hücre: $3$
- Merkez hücre: $40$

Buna göre, benzer biçimde oluşturulan üçüncü bir düzenekte üst hücrede $x$ , alt hücrede $4$ , sol hücrede $8$ , sağ hücrede $y$ ve merkez hücrede $72$ sayıları bulunmaktadır.

$x$ ve $y$ birer pozitif tam sayı olduğuna göre, $x + y$ toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

11

13

14

17

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

En küçük toplam değeri 13'tür.

Düzenekteki kural

|Üst - Alt| \times (Sol + Sağ) = Merkez

şeklindedir. Üçüncü düzenekte bu kural uygulandığında

|x - 4| \times (8 + y) = 72

denklemi kurulur.

y

pozitif bir tam sayı olduğu için

8 + y

ifadesi 8'den büyük olmalı ve 72'yi tam bölmelidir. En küçük toplamı elde etmek adına

8 + y = 9

seçildiğinde

y = 1

olur. Buradan

|x - 4| = 8

elde edilir.

x

pozitif bir tam sayı olduğundan

x = 12

bulunur. Dolayısıyla

x + y = 12 + 1 = 13

elde edilen en küçük toplam değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Düzeneklerdeki sayılar arasındaki bağıntıyı belirleme.

Üst ve alt hücrelerdeki sayıların farkının mutlak değeri ile sol ve sağ hücrelerdeki sayıların toplamının çarpımı merkez hücreyi vermektedir:

|Üst - Alt| \times (Sol + Sağ) = Merkez

. Birinci düzenek için:

|8 - 5| \times (4 + 6) = 3 \times 10 = 30

. İkinci düzenek için:

|12 - 7| \times (5 + 3) = 5 \times 8 = 40

bağıntıyı doğrular.

Bilinmeyenlerin yer aldığı üçüncü düzenekte kullanılacak matematiksel modeli oluşturmak için.

2

Üçüncü düzenek için denklem kurma.

|x - 4| \times (8 + y) = 72

denklemi elde edilir.

Belirlenen kuralı verilen değerlerle uygulamak için.

3

Pozitif tam sayı kısıtlamalarını analiz etme.

y

pozitif bir tam sayı (

y \ge 1

) olduğundan,

8 + y \ge 9

olmalıdır. Dolayısıyla

8 + y

ifadesi, 72 sayısının 8'den büyük bir tam sayı böleni olmalıdır. Bu bölenler 9, 12, 18, 24, 36 ve 72 olabilir.

Değişkenlerin alabileceği değer kümelerini sınırlandırmak için.

4

Olası tüm durumları inceleyerek en küçük toplamı bulma.

-

8 + y = 9 \implies y = 1

için

|x - 4| = 8 \implies x - 4 = 8 \implies x = 12

(

x - 4 = -8 \implies x = -4

pozitif tam sayı değildir). Bu durumda

x + y = 12 + 1 = 13

olur.
-

8 + y = 12 \implies y = 4

için

|x - 4| = 6 \implies x = 10 \implies x + y = 14

olur.
-

8 + y = 18 \implies y = 10

için

|x - 4| = 4 \implies x = 8 \implies x + y = 18

olur.
-

8 + y = 24 \implies y = 16

için

|x - 4| = 3 \implies x = 7

veya

x = 1 \implies x + y = 23

veya

17

olur.
- Diğer büyük çarpanlar denendiğinde toplamın daha da büyüdüğü görülür. En küçük toplam 13 olarak bulunur.

Soruda istenen en küçük toplam değerini kesinleştirmek için.

Anahtar Kavram

Şekil ve Sayı Bağıntıları

İpuçları

1

Üst ve alt hücrelerdeki sayılar arasındaki farkı, sol ve sağ hücrelerdeki sayıların toplamıyla çarpmayı deneyin.

2

|x - 4| \times (8 + y) = 72

denklemini sağlayan pozitif tam sayı çarpanlarını bulun.

y \ge 1

olduğundan

8 + y

ifadesi en az 9 olmalıdır.

3

72'nin 8'den büyük en küçük çarpanı olan 9'u

8 + y

değerine eşitleyerek

y = 1

değerini bulun. Ardından mutlak değerli denklemi çözerek

x

'i elde edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir düzenekte çarpım yerine bölme işlemi içeren veya merkezdeki sayının karesini hedefleyen şekil-sayı bağıntısı sorularını çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklem çözümü yerine 72'nin çarpan çiftleri yazılır: (1, 72), (2, 36), (3, 24), (4, 18), (6, 12), (8, 9). Bu çiftlerden büyük olanı

8 + y

ifadesine, küçük olanı ise

|x - 4|

ifadesine eşitlenir. Buradan tüm olası

(x, y)

ikilileri hızlıca hesaplanarak toplamları karşılaştırılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

Bir geometrik şeklin kenar sayısı ile içindeki sayının kullanılmasıyla o şeklin değeri hesaplanmaktadır. Aşağıda bu kurala göre değerleri belirlenmiş iki şekil verilmiştir:

- İçinde $5$ yazan bir üçgenin değeri $18$ 'dir.
- İçinde $3$ yazan bir düzgün beşgenin değeri $20$ 'dir.

Buna göre, değeri $24$ olan bir düzgün altıgenin içine yazılması gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?

2

3

4

5

18

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Düzgün altıgenin içine yazılması gereken sayı 3 olmalıdır.

Verilen örnekler incelendiğinde, bir şeklin değerinin (Kenar Sayısı

\times

İçindeki Sayı) + Kenar Sayısı formülü ile hesaplandığı görülür. Üçgen için

3 \times 5 + 3 = 18

ve beşgen için

5 \times 3 + 5 = 20

bu kuralı doğrulamaktadır. Aynı kural düzgün altıgen (

kenar sayısı = 6

) için uygulandığında, içindeki sayı

x

olmak üzere,

6 \cdot x + 6 = 24

eşitliğinden

6x = 18

ve buradan

x = 3

elde edilir. Bu nedenle doğru cevap 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Örnek olarak verilen şekillerden kenar sayısı ve içindeki sayı arasındaki matematiksel ilişkiyi kurarak genel kuralı belirleyin.

Üçgen için kenar sayısı

3

, içindeki sayı

5

ve değer

18

'dir. Buradaki ilişki

3 \times 5 + 3 = 18

şeklindedir. Beşgen için kenar sayısı

5

, içindeki sayı

3

ve değer

20

'dir. Buradaki ilişki

5 \times 3 + 5 = 20

şeklindedir. Bu durumda genel kural: (Kenar Sayısı

\times

İçindeki Sayı) + Kenar Sayısı = Şeklin Değeri şeklindedir.

Şekil ve sayı arasındaki bağıntı kuralını tespit etmek için.

2

Belirlenen kuralı düzgün altıgen için uygulayarak bilinmeyen sayıyı bulun.

Altıgenin kenar sayısı

6

'dır. İçine yazılması gereken sayıya

x

diyelim. Şeklin değeri

24

olduğuna göre denklemimiz:

6 \cdot x + 6 = 24

olur. Buradan

6x = 18

ve

x = 3

bulunur.

İstenen altıgen hücresinin değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Geometrik şekillerin kenar sayıları ile içlerinde bulunan sayılar arasındaki temel aritmetiksel ilişkileri kurma.

Soru 3Soru →

Aşağıdaki tabloda ü�� sütundan oluşan bir düzenek verilmiştir. Her sütunun en üstünde ve en altında bulunan sayılar ile ortasındaki sayı arasında aynı matematiksel kural geçerlidir:

Konum	1. Sütun	2. Sütun	3. Sütun
Üst	$4$	$6$	$8$
Orta	$14$	$22$	$?$
Alt	$3$	$5$	$9$

Buna göre, soru işareti ( $?$ ) yerine hangi sayı gelmelidir?

34

30

26

17

74

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Soru işareti yerine gelmesi gereken sayı 34'tür.

Ortadaki sayının elde edilmesi için üstte yer alan sayı ile altta yer alan sayı toplanıp elde edilen sonuç 2 ile çarpılmalıdır. Üçüncü sütun için bu kural uygulandığında

(8 + 9) \times 2 = 34

sayısı bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci sütundaki sayıların ilişkisini inceleyin.

Üstteki sayı ile alttaki sayının toplamı:

4 + 3 = 7

. Bu toplamın 2 katı:

7 \times 2 = 14

. Bu sonuç ortadaki sayıyı vermektedir.

Sütunlar arasındaki genel matematiksel kuralı tespit etmek.

2

Aynı kuralı ikinci sütun için doğrulayın.

Üstteki sayı ile alttaki sayının toplamı:

6 + 5 = 11

. Bu toplamın 2 katı:

11 \times 2 = 22

. Bu sonuç da ortadaki sayıyı vermektedir ve kuralın doğru olduğunu kanıtlar.

Bulunan kuralın düzenekteki tüm sütunlar için geçerli olduğunu doğrulamak.

3

Doğrulanan kuralı üçüncü sütuna uygulayarak soru işaretini bulun.

Üstteki sayı (

8

) ile alttaki sayıyı (

9

) toplayıp 2 ile çarpın:

(8 + 9) \times 2 = 17 \times 2 = 34

.

Bilinmeyen değeri doğru matematiksel kurala göre hesaplamak.

Anahtar Kavram

Şekil ve sayı örüntülerinde dikey/sütunsal ilişkileri ve aritmetik işlemleri belirleme

Tahmini Süre:45s

Soru 4Soru →

Bir daire, merkezinden geçen doğrularla 6 eş dilime ayrılmıştır. Bu dilimler saat yönünde 1'den 6'ya kadar numaralandırılmıştır. Her dilimde, biri dairenin merkezine yakın (iç bölge), diğeri ise dairenin sınırına yakın (dış bölge) olmak üzere ikişer sayı bulunmaktadır.

Tüm dilimlerde; dış bölgede bulunan sayı, o dilimin sağındaki ve solundaki komşu iki dilimin iç bölgesinde bulunan sayıların çarpımına eşittir.

Aşağıdaki tabloda bu dilimlerdeki bazı sayılar verilmiştir:

Dilim Numarası	İç Bölgedeki Sayı	Dış Bölgedeki Sayı
1	3	28
2	4	18
3	$x$	20
4	5	12
5	2	$y$
6	7	6

Buna göre, $x + y$ toplamı kaçtır?

18

27

41

50

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 41

Cevap

41

Doğru kurala göre x = 6 ve y = 35 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı 41'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Düzenekteki sayısal ilişkiyi (örüntü kuralını) tespit etmek amacıyla bilinen değerleri inceleyin.

1. dilimin dışındaki sayı 28'dir. Bu dilimin komşuları olan 6. dilimin içi (7) ile 2. dilimin içi (4) çarpıldığında 7 x 4 = 28 elde edilir. Aynı şekilde 3. dilimin dışındaki 20 sayısı, komşuları 2. dilimin içi (4) ile 4. dilimin içi (5) çarpılarak (4 x 5 = 20) bulunur. Kural: Bir dilimin dışındaki sayı = komşu iki dilimin içindeki sayıların çarpımı.

Örüntünün genel kuralını doğrulamak ve bilinmeyenleri bulmak için bir temel oluşturmak.

2

Bulunan kuralı kullanarak x bilinmeyenini hesaplayın.

2. dilimin dışındaki sayı 18'dir. Bu dilimin komşuları 1. dilimin içi (3) ile 3. dilimin içi (x)'tir. Buna göre, 3 x x = 18 ise x = 6 bulunur. Bu değer 4. dilim için de kontrol edilirse: 4. dilimin dışı 12'dir, komşuları 3. dilimin içi (x = 6) ile 5. dilimin içi (2)'dir. 6 x 2 = 12 eşitliği doğrulanır.

x değerini doğru bir şekilde tespit etmek.

3

Bulunan kuralı kullanarak y bilinmeyenini hesaplayın.

5. dilimin dışındaki sayı y'dir. Bu dilimin komşuları 4. dilimin içi (5) ile 6. dilimin içi (7)'dir. Buna göre, y = 5 x 7 = 35 bulunur.

y değerini doğru bir şekilde tespit etmek.

4

x ve y değerlerini toplayın.

x + y = 6 + 35 = 41 elde edilir.

Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Şekil ve sayı bağıntılarında komşuluk ilişkilerini kullanarak örüntü kuralını belirleme ve bilinmeyen değerleri hesaplama.

İpuçları

1

1. dilimin dışındaki 28 sayısı ile komşu dilimlerin içindeki 7 ve 4 sayıları arasındaki matematiksel ilişkiyi bulmaya çalışın.

2

Her dilimin dışındaki sayı, iki komşu dilimin içindeki sayıların çarpımına eşittir.

3

3 x x = 18 eşitliğinden x değerini, y = 5 x 7 eşitliğinden ise y değerini bularak toplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer dairesel düzeneklerde sayılar arasındaki toplama veya çıkarma ilişkilerini test eden sorular çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 5Soru →

Aşağıdaki üçgenlerin köşelerinde ve merkezlerinde yer alan sayılar belirli bir kurala göre yerleştirilmiştir.

* Birinci Üçgen: Üst köşede $5$ , sol alt köşede $8$ , sağ alt köşede $12$ ve merkezde $15$ sayısı vardır.
* İkinci Üçgen: Üst köşede $7$ , sol alt köşede $9$ , sağ alt köşede $14$ ve merkezde $16$ sayısı vardır.
* Üçüncü Üçgen: Üst köşede $x$ , sol alt köşede $11$ , sağ alt köşede $15$ ve merkezde $21$ sayısı vardır.

Buna göre, üçüncü üçgende verilmeyen $x$ değeri kaçtır?

5

17

25

26

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

5 sayısı doğru cevaptır.

Üçgen düzeneklerindeki sayısal ilişki incelendiğinde, her bir üçgenin merkezindeki sayının, sol alt köşedeki sayı ile sağ alt köşedeki sayının toplamından üst köşedeki sayının çıkarılmasıyla elde edildiği görülür. Üçüncü üçgende bu kural uygulandığında

11 + 15 - x = 21

eşitliğinden

x = 5

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci üçgendeki sayıların ilişkisini inceleyin.

Sol alt köşe (

8

) ve sağ alt köşe (

12

) toplandığında

20

elde edilir. Bu toplamdan üst köşedeki sayı (

5

) çıkarıldığında merkezdeki sayı olan

15

bulunur (

8 + 12 - 5 = 15

).

Düzenekte uygulanan genel kuralı tespit etmek için.

2

Bulunan kuralı ikinci üçgende doğrulayın.

Sol alt köşe (

9

) ve sağ alt köşe (

14

) toplamı

23

yapar. Üst köşedeki sayı (

7

) çıkarıldığında merkezdeki

16

sayısı elde edilir (

9 + 14 - 7 = 16

). Kural doğrulanmıştır.

Kuralın tüm düzenekler için tutarlı ve geçerli olduğunu kesinleştirmek için.

3

Doğrulanan kuralı üçüncü üçgene uygulayarak

x

değerini hesaplayın.

Kurala göre:

11 + 15 - x = 21

olmalıdır. Buradan

26 - x = 21

ve

x = 5

bulunur.

Bilinmeyen

x

değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Şekil ve Sayı Bağıntıları

Tahmini Süre:45s

Soru 6Soru →

Aşağıda, kum saati şeklindeki üç farklı düzenekte yer alan sayılar belirli bir matematiksel kurala göre yerleştirilmiştir.

* 1. Düzenek: Üst bölmede solda $8$ , sağda $6$ ; alt bölmede solda $5$ , sağda $9$ ; ortada ise $7$ sayısı bulunmaktadır.
* 2. Düzenek: Üst bölmede solda $9$ , sağda $3$ ; alt bölmede solda $2$ , sağda $11$ ; ortada ise $8$ sayısı bulunmaktadır.
* 3. Düzenek: Üst bölmede solda $7$ , sağda $5$ ; alt bölmede solda $6$ , sağda $x$ ; ortada ise $4$ sayısı bulunmaktadır.

Buna göre, üçüncü düzenekteki $x$ yerine hangi sayı gelmelidir?

8

9

10

12

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Üçüncü düzenekteki

x

yerine gelmesi gereken sayı 12'dir.

Üst bölmedeki sayıların karelerinin farkı, alt bölmedeki sayıların farkına bölündüğünde ortadaki sayı elde edilmektedir. Üçüncü düzenekte

\frac{7^2 - 5^2}{x - 6} = 4

eşitliğinden

x = 12

bulunur. Dolayısıyla 12 değeri doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Düzeneklerdeki sayılar arasındaki ilişkiyi analiz etmek için bir kural belirleriz.

Üstteki iki sayının karelerinin farkını bulup, alttaki iki sayının (sağdakinden soldakini çıkararak) farkına böleriz:

\frac{A^2 - B^2}{D - C} = E

.

1. düzenek için kuralı doğrulamak:

\frac{8^2 - 6^2}{9 - 5} = \frac{64 - 36}{4} = \frac{28}{4} = 7

elde edilir.

2

Belirlenen kuralı 2. düzenek üzerinde test ederek doğruluğundan emin oluruz.

2. düzenek için:

\frac{9^2 - 3^2}{11 - 2} = \frac{81 - 9}{9} = \frac{72}{9} = 8

elde edilir. Kural doğrulanmıştır.

Kuralın tüm düzeneklerde geçerli ve tutarlı olduğunu teyit etmek.

3

Doğrulanan kuralı 3. düzenek için uygulayarak bilinmeyen

x

değerini bulmak üzere denklem kurarız.

\frac{7^2 - 5^2}{x - 6} = 4

denklemi kurulur.

x

değişkenini içeren cebirsel eşitliği oluşturmak.

4

Kurulan denklemi çözerek

x

değerini hesaplarız.

\frac{49 - 25}{x - 6} = 4 \implies \frac{24}{x - 6} = 4 \implies x - 6 = 6 \implies x = 12

bulunur.

Bilinmeyen

x

değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Şekil ve sayı bağıntılarında üstel ve bölme içeren cebirsel ilişkileri belirleme ve denklem kurarak çözme.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 7Soru →

Aşağıdaki düzeneklerin her birinde; üstteki iki dairede bulunan sayılar ile alttaki dairede bulunan sayı arasında belirli bir matematiksel ilişki kurularak ortadaki dairedeki sayı elde edilmiştir.

1. Düzenek:
* Üstteki daireler: $6$ ve $8$
* Alttaki daire: $4$
* Ortadaki daire: $20$

2. Düzenek:
* Üstteki daireler: $5$ ve $12$
* Alttaki daire: $6$
* Ortadaki daire: $24$

3. Düzenek:
* Üstteki daireler: $8$ ve $10$
* Alttaki daire: $A$
* Ortadaki daire: $32$

Buna göre, üçüncü düzenekteki $A$ yerine gelmesi gereken sayı aşağıdakilerden hangisidir?

2

8

14

16

48

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Üçüncü düzenekte A yerine gelmesi gereken sayı 8'dir.

Düzeneklerdeki kural, üstteki iki dairedeki sayıların çarpımının yarısından alttaki dairedeki sayının çıkarılmasıyla ortadaki dairedeki sayının elde edilmesidir. Üçüncü düzenekte bu kural uygulandığında

\frac{8 \times 10}{2} - A = 32

eşitliğinden

A = 8

bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci düzenekteki sayıların ilişkisini belirlemek için üstteki sayıların çarpımının yarısı ile alttaki sayı arasındaki farkı hesaplayın.

20

sonucuna ula��ılır:

\frac{6 \times 8}{2} - 4 = 24 - 4 = 20

.

Düzenekteki kuralın doğruluğunu ilk örnek üzerinde test etmek.

2

Aynı kuralı ikinci düzenek için uygulayarak doğruluğunu kontrol edin.

24

sonucuna ulaşılır:

\frac{5 \times 12}{2} - 6 = 30 - 6 = 24

.

Bulunan kuralın t��m düzenekler için geçerli olduğunu doğrulamak.

3

Doğrulanmış kuralı üçüncü düzenek için uygulayarak

A

değerini bulun.

A = 8

olarak bulunur:

\frac{8 \times 10}{2} - A = 32 \implies 40 - A = 32 \implies A = 8

.

Bilinmeyen

A

değerini elde etmek.

Anahtar Kavram

Şekil-sayı düzeneklerinde elemanlar arası ortak matematiksel ilişkileri keşfetme ve bilinmeyeni bulma.

Şekil ve Sayı Bağıntıları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar