Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKöklü İfadeler
xx bir tam sayı olmak üzere,
16−∣x2−20∣x+5−3x−43 \frac{\sqrt{16 - |x^2 - 20|}}{\sqrt{x+5}} - \frac{3}{\sqrt[3]{x-4}}
ifadesi bir gerçel sayı belirttiğine göre, xx'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
  1. A
    6
  2. 7Cevap
  3. C
    8
  4. D
    10
  5. E
    11

Cevap

İfadenin tanımlı olduğu 7 farklı tam sayı değeri vardır.
İfadenin tanımlı olması için üç koşulun kesişimi alınmalıdır: 1) Çift dereceli kökün içi negatif olmamalı (4≤x2≤364 \le x^2 \le 36), 2) Paydadaki çift kök sıfırdan büyük olmalı (x>−5x > -5), 3) Paydadaki tek kök sıfır olmamalı (x≠4x \ne 4). Bu koşulları sağlayan tam sayılar {−4,−3,−2,2,3,5,6}\{-4, -3, -2, 2, 3, 5, 6\} olmak üzere toplam 7 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki kareköklü ifadenin tanımlı olma şartını incele: 16−∣x2−20∣\sqrt{16 - |x^2 - 20|}
16−∣x2−20∣≥0⇒∣x2−20∣≤1616 - |x^2 - 20| \ge 0 \Rightarrow |x^2 - 20| \le 16
Çift dereceli köklerin içi negatif olamaz.
2
Mutlak değer eşitsizliğini çöz.
−16≤x2−20≤16⇒4≤x2≤36-16 \le x^2 - 20 \le 16 \Rightarrow 4 \le x^2 \le 36
Mutlak değer ∣u∣≤a|u| \le a ise −a≤u≤a-a \le u \le a kuralı uygulanır.
3
x2x^2 eşitsizliğinden xx aralıklarını bul.
x∈[−6,−2]∪[2,6]x \in [-6, -2] \cup [2, 6]
Karesi 4 ile 36 arasında olan sayılar, pozitif tarafta [2,6][2,6], negatif tarafta [−6,−2][-6,-2] aralığındadır.
4
Birinci paydanın tanımlı olma şartını incele: x+5\sqrt{x+5}
x+5>0⇒x>−5x+5 > 0 \Rightarrow x > -5
Paydada olduğu için kök içi sıfırdan kesinlikle büyük olmalıdır.
5
İkinci paydanın tanımlı olma şartını incele: x−43\sqrt[3]{x-4}
x−4≠0⇒x≠4x-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4
Tek dereceli köklerin içi negatif olabilir ancak paydada olduğu için sıfır olamaz.
6
Tüm şartları sağlayan ortak kümeyi (kesişimi) bul.
Kümeler: ([−6,−2]∪[2,6])∩(x>−5)∖{4}([-6, -2] \cup [2, 6]) \cap (x > -5) \setminus \{4\}
Tüm kısıtlamaların aynı anda sağlanması gerekir.
7
Kesişim kümesindeki tam sayıları listele ve say.
Negatifler: {−4,−3,−2}\{-4, -3, -2\} (3 adet). Pozitifler: {2,3,5,6}\{2, 3, 5, 6\} (44 hariç, 4 adet). Toplam: 3+4=73 + 4 = 7.
Aralık (−5,−2]∪[2,6](-5, -2] \cup [2, 6] şeklindedir ve x≠4x \ne 4 şartı vardır.

Anahtar Kavram

Köklü İfadelerin Tanım Aralığı

İpuçları

1
Köklü ifadelerin derecelerine dikkat et: Çift dereceli köklerin içi negatif olamaz (≥0≥ 0), tek dereceli köklerin içi her reel sayı olabilir.
2
Paydada bulunan ifadeler sıfıra eşit olamaz. Ayrıca mutlak değerli eşitsizlik ∣x2−20∣≤16|x^2 - 20| ≤ 16 ifadesini çözerken alt sınırı unutma.
3
∣x2−20∣≤16|x^2 - 20| ≤ 16 eşitsizliği 4≤x2≤364 ≤ x^2 ≤ 36 sonucunu verir. Bu da çözüm kümesinin ortasında bir boşluk olduğu anlamına gelir.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değer içinde bilinmeyen içeren köklü ifadelerin tanım aralığı soruları.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde her bir kısıtlamayı ayrı renklerle çizerek kesişim bölgesini görsel olarak bulmak hataları önleyebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Köklü İfadeler

Bu konudan daha fazla soru