Examkin

Köklü İfadeler

40 soru

Soru 1Soru →

x=3+10x = \sqrt{3} + \sqrt{10}, y=5+8y = \sqrt{5} + \sqrt{8} ve z=6+7z = \sqrt{6} + \sqrt{7} gerçel sayıları veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: z>y>xz > y > x

Cevap

z>y>xz > y > x sıralaması doğrudur.
Verilen ifadelerin hepsinde kök içindeki sayıların toplamı eşittir (3+10=133+10=13, 5+8=135+8=13, 6+7=136+7=13). Bu durumda sayıların karesi alındığında sabit kısımlar aynı kalır, çarpım kısımları (2a⋅b2\sqrt{a\cdot b}) belirleyici olur. Sayılar birbirine ne kadar yakınsa çarpımları o kadar büyük olacağından, birbirine en yakın olan 6\sqrt{6} ve 7\sqrt{7} ikilisinin toplamı (zz) en büyüktür. Sayılar birbirinden uzaklaştıkça çarpım küçülür, bu nedenle xx en küçüktür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların yaklaşık değerlerini hesaplamak zor olduğu için, her bir ifadenin karesini alarak kıyaslama yöntemini kullan.
x2,y2,z2x^2, y^2, z^2 hesaplanacak.
Pozitif sayılarda a>ba > b ise a2>b2a^2 > b^2 özelliği geçerlidir.
2
Her bir ifadenin parantez karesini (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab özdeşliği ile aç.
x2=(3+10)2=3+10+230=13+230x^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{10})^2 = 3 + 10 + 2\sqrt{30} = 13 + 2\sqrt{30}
y2=(5+8)2=5+8+240=13+240y^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{8})^2 = 5 + 8 + 2\sqrt{40} = 13 + 2\sqrt{40}
z2=(6+7)2=6+7+242=13+242z^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{7})^2 = 6 + 7 + 2\sqrt{42} = 13 + 2\sqrt{42}
Köklü ifadelerin kareleri toplamı tamsayı verirken, çarpımları kök içinde kalır.
3
Elde edilen sonuçlardaki sabit terimler (13) aynı olduğu için, köklü kısımları (230,240,2422\sqrt{30}, 2\sqrt{40}, 2\sqrt{42}) karşılaştır.
42>40>3042 > 40 > 30 olduğundan 242>240>2302\sqrt{42} > 2\sqrt{40} > 2\sqrt{30} elde edilir.
Kök içindeki sayı büyüdükçe köklü ifadenin değeri artar.
4
Kareler arasındaki sıralamayı sayılara uygula.
z2>y2>x2z^2 > y^2 > x^2 olduğu için z>y>xz > y > x sonucuna ulaşılır.
Kare alma işlemi sıralamayı değiştirmez.

Anahtar Kavram

Köklü sayıların sıralanmasında, sayıların toplamları eşitse çarpımı büyük olan sayı daha büyüktür.

İpuçları

1
Köklü sayıların yaklaşık değerlerini hesaplamak yerine, ifadelerin karelerini almayı deneyin.
2
(a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab özdeşliğini kullanarak her bir ifadenin karesini açın ve sabit terimlerin eşit olduğunu fark edin.
3
Toplamları 13 olan sayıların çarpımlarına bakın: 3⋅10=303\cdot10=30, 5⋅8=405\cdot8=40, 6⋅7=426\cdot7=42. Çarpımı büyük olan ifadenin karesi de daha büyüktür.

Daha Fazla Pratik

Toplamları sabit olan sayıların çarpımının maksimum değeri ile ilgili temel kavram sorularını inceleyin.

Alternatif Yöntem

Sayıların birbirine yakınlığını inceleyin. Toplamları sabit olan iki pozitif reel sayı birbirine yaklaştıkça çarpımları (dolayısıyla ab\sqrt{ab} terimi) büyür. 6\sqrt{6} ve 7\sqrt{7} birbirine en yakın, 3\sqrt{3} ve 10\sqrt{10} en uzaktır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →
15+10+6+25+2−5+26 \frac{\sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6} + 2}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} - \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

İşlemin sonucu 0'dır.
Kesirli ifadenin payı gruplandırılarak çarpanlarına ayrıldığında payda ile sadeleşir ve geriye 3+2 \sqrt{3} + \sqrt{2} kalır. İkinci ifade olan iç içe kök 5+26 \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} da kural gereği 3+2 \sqrt{3} + \sqrt{2} olarak çıkar. Bu iki değerin farkı 0'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesirli ifadenin payını gruplandırarak ortak çarpan parantezine alalım.
15+10+6+2=5(3+2)+2(3+2) \sqrt{15} + \sqrt{10} + \sqrt{6} + 2 = \sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + \sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2})
Paydaki dört terimi ikili gruplara ayırarak çarpanlarına ayırmak gereklidir (2=2⋅2 2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} olduğu unutulmamalıdır).
2
Payı (3+2) (\sqrt{3} + \sqrt{2}) parantezine alıp kesri sadeleştirelim.
(3+2)(5+2)5+2=3+2 \frac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}
Pay ve paydadaki (5+2) (\sqrt{5} + \sqrt{2}) çarpanları birbirini sadeleştirir.
3
İkinci köklü ifadeyi A+2B \sqrt{A + 2\sqrt{B}} kuralına göre kök dışına çıkaralım.
5+26=3+2+23⋅2=3+2 \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3 + 2} + 2\sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}
Çarpımları 6, toplamları 5 olan sayılar 3 ve 2'dir. Aradaki işaret artı olduğu için sonuç 3+2 \sqrt{3} + \sqrt{2} olur.
4
Bulunan iki sonucu birbirinden çıkaralım.
(3+2)−(3+2)=0 (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 0
İki ifade birbirine eşittir, farkları sıfırdır.

Anahtar Kavram

Köklü İfadelerde Çarpanlara Ayırma ve İç İçe Kökler

İpuçları

1
Paydaki ifadede 4 terim var. Bunları ikişerli gruplandırarak ortak çarpan parantezine almayı deneyin.
2
6+2 \sqrt{6} + 2 ifadesini 2(3+2) \sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{2}) şeklinde yazabilirsiniz. Ayrıca A+2B \sqrt{A + 2\sqrt{B}} kuralını hatırlayın: Çarpımları B'yi, toplamları A'yı veren iki sayı bulun.
3
5+26=3+2 \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} 'dir. Kesirli kısmı da sadeleştirdiğinizde aynı ifadeyi bulacaksınız.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde aradaki işaretin eksi olduğu (A−2B \sqrt{A - 2\sqrt{B}} ) durumları ve mutlak değer ilişkisini inceleyen sorular çözünüz.

Alternatif Yöntem

Paydaki ifadeye A, paydadaki ifadeye B diyip A'yı B cinsinden yazmaya çalışmak yerine, doğrudan 5+26 \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} ifadesinin değerini bulup kesirli ifadeye benzetmeye çalışabilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 3Soru →
5+25−2−5 \sqrt{\frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2}} - \sqrt{5}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen ifadede paydadaki 5−2\sqrt{5}-2 terimini kökten kurtarmak için kesir 5+2\sqrt{5}+2 ile genişletilir. Bu durumda pay (5+2)2(\sqrt{5}+2)^2, payda ise (5)2−22=1(\sqrt{5})^2 - 2^2 = 1 olur. Karekök içindeki (5+2)2(\sqrt{5}+2)^2 ifadesi dışarıya 5+2\sqrt{5}+2 olarak çıkar. Bu ifadeden soruda verilen −5-\sqrt{5} çıkarıldığında sonuç 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydayı rasyonel yapmak için kesri paydanın eşleniği olan (5+2)(\sqrt{5} + 2) ile genişletin.
(5+2)⋅(5+2)(5−2)⋅(5+2)−5 \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + 2) \cdot (\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2) \cdot (\sqrt{5} + 2)}} - \sqrt{5}
Paydadaki köklü ifadeden kurtulmak için eşlenik çarpımı kullanılır.
2
Payda ve pay kısmındaki işlemleri düzenleyin.
(5+2)25−4−5=(5+2)2−5 \sqrt{\frac{(\sqrt{5} + 2)^2}{5 - 4}} - \sqrt{5} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} - \sqrt{5}
(5)2−22=5−4=1(\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1 olduğu için payda sadeleşir.
3
Kareköklü ifadeyi kök dışına çıkarın.
∣5+2∣−5=5+2−5 |\sqrt{5} + 2| - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5}
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralı gereği ve 5+2>0\sqrt{5} + 2 > 0 olduğu için ifade aynen çıkar.
4
Benzer terimleri sadeleştirerek sonucu bulun.
2 2
5\sqrt{5} ve −5-\sqrt{5} birbirini sıfırlar.

Anahtar Kavram

Paydayı Eşlenik ile Rasyonel Yapma ve Köklü İfadelerin Kareleri

İpuçları

1
Kök içindeki kesrin paydasını kökten kurtarmak için eşlenik çarpımı yapmayı deneyin.
2
Paydayı (5+2)(\sqrt{5}+2) ile genişlettiğinizde pay kısmında (5+2)2(\sqrt{5}+2)^2 ifadesi oluşacaktır.
3
Tam kare bir ifadenin karekökü mutlak değer içinde dışarı çıkar. Sayıların pozitif olduğunu kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde paydası rasyonel olmayan diğer köklü sayı sorularını çözerek eşlenik mantığını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İfadeyi xx sayısına eşitleyip her iki tarafın karesini alarak ilerlemek de mümkündür ancak bu yöntem işlemleri daha karmaşık hale getirebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →
(7−3)⋅(7+3)+−83 (\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + \sqrt[3]{-8}
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Sorudaki işlem iki aşamada çözülür. İlk kısım, (7−3)⋅(7+3)(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) ifadesidir ve bu iki kare farkı özdeşliğidir; sonucu 7−3=47-3=4 olur. İkinci kısım −83\sqrt[3]{-8} ifadesidir ve -2'ye eşittir. Sonuç 4+(−2)=24 + (-2) = 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk kısım olan (7−3)⋅(7+3)(\sqrt{7} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3}) ifadesini iki kare farkı özdeşliği (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 kullanarak hesapla.
(7)2−(3)2=7−3=4(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4
Köklü ifadelerin eşlenik çarpımı kökü ortadan kaldırır.
2
İkinci kısım olan −83\sqrt[3]{-8} ifadesinin değerini bul.
(−2)⋅(−2)⋅(−2)=−8(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 olduğu için −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2
Negatif sayıların tek dereceli kökleri negatiftir.
3
Bulunan sonuçları topla.
4+(−2)=24 + (-2) = 2
İşlem önceliğine göre çarpma yapıldıktan sonra toplama işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

İki Kare Farkı ve Köklü Sayıların Özellikleri
Soru 5Soru →
121−64+1 \sqrt{121} - \sqrt{64} + \sqrt{1}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Verilen köklü ifadelerin değerleri hesaplanıp toplama ve çıkarma işlemleri yapıldığında sonuç 4 bulunur.
Verilen ifadede 121\sqrt{121} sayısı 11'e, 64\sqrt{64} sayısı 8'e ve 1\sqrt{1} sayısı 1'e eşittir. Bu değerler yerlerine konulduğunda 11−8+111 - 8 + 1 işlemi elde edilir. 11−8=311 - 8 = 3 ve 3+1=43 + 1 = 4 olduğu için doğru cevap bu değeri içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içindeki tam kare sayıların değerlerini belirleyin.
121=112121 = 11^2, 64=8264 = 8^2 ve 1=121 = 1^2 olduğu için; 121=11\sqrt{121} = 11, 64=8\sqrt{64} = 8 ve 1=1\sqrt{1} = 1 olur.
Karekök işlemi, hangi sayının karesinin kök içindeki sayıya eşit olduğunu bulmamızı sağlar.
2
Bulunan değerleri orijinal ifadede yerlerine yazarak işlemi gerçekleştirin.
11−8+1=3+1=411 - 8 + 1 = 3 + 1 = 4 olur.
İşlem önceliğine göre soldan sağa doğru çıkarma ve toplama işlemleri yapılır.

Anahtar Kavram

Tam kare sayıların karekök dışına çıkarılması

İpuçları

1
Her bir sayının hangi sayının karesi olduğunu düşünün.
2
121\sqrt{121}, 64\sqrt{64} ve 1\sqrt{1} değerlerini ayrı ayrı hesaplayıp yerlerine yazın.
3
1111, 88 ve 11 sayılarını kullanarak işlemi soldan sağa doğru yapın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 100−49+16\sqrt{100} - \sqrt{49} + \sqrt{16} işlemini yapmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 6Soru →
A=7+43−33 A = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{3}}
B=−273+∣1−3∣ B = \sqrt[3]{-27} + |1 - \sqrt{3}|
olduğuna göre, A+BA + B toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3−2\sqrt{3} - 2

Cevap

İşlemin sonucu 3−2\sqrt{3} - 2 olarak bulunur.
Soruda verilen A ve B ifadeleri ayrı ayrı düzenlenir. A ifadesinde iç içe kök kuralı (7+212=2+3\sqrt{7+2\sqrt{12}}=2+\sqrt{3}) ve payda rasyonelleştirme uygulanarak A=2 bulunur. B ifadesinde küp kök dışına çıkarma ve mutlak değer incelemesi yapılarak B=3−4\sqrt{3}-4 bulunur. Toplamları 3−2\sqrt{3}-2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
A ifadesindeki iç içe kökü düzenleyelim.
7+43=7+212\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}} biçimine getirilir. Çarpımları 12, toplamları 7 olan sayılar 4 ve 3'tür. O halde 4+3=2+3\sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} olur.
x+2y\sqrt{x + 2\sqrt{y}} kuralını uygulamak için kök önündeki katsayı 2 yapılmalıdır.
2
A ifadesindeki kesirli kısmı eşlenik ile çarpalım.
33=333=3\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} olur.
Paydadaki köklü ifadeyi rasyonel yapmak için pay ve payda 3\sqrt{3} ile çarpılır.
3
A değerini hesaplayalım.
A=(2+3)−3=2A = (2 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} = 2 bulunur.
Bulunan terimler yerine yazılır.
4
B ifadesindeki küp kökü hesaplayalım.
−273=−3\sqrt[3]{-27} = -3 olur.
Tek dereceli köklerde içerisi negatif ise sonuç negatif olur ((−3)3=−27(-3)^3 = -27).
5
B ifadesindeki mutlak değeri açalım.
1<31 < \sqrt{3} olduğundan 1−31 - \sqrt{3} negatiftir. Dışarıya −(1−3)=3−1 -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 olarak çıkar.
Mutlak değer içi negatifse eksi ile çarpılarak çıkar.
6
B değerini hesaplayalım.
B=−3+(3−1)=3−4B = -3 + (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} - 4 bulunur.
Terimler toplanır.
7
A ve B değerlerini toplayalım.
A+B=2+(3−4)=3−2A + B = 2 + (\sqrt{3} - 4) = \sqrt{3} - 2 sonucuna ulaşılır.
Sonuç için iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda iç içe kökler, eşlenik ve mutlak değer kavramlarının birlikte kullanımı.
Soru 7Soru →
x<0x < 0 olmak üzere,
9x2+(−x)44−x33x2 \frac{\sqrt{9x^2} + \sqrt[4]{(-x)^4} - \sqrt[3]{x^3}}{\sqrt{x^2}}
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İfadenin eşiti 5'tir.
Çift dereceli kökler (karekök ve 4. dereceden kök) mutlak değer dışına çıkarken, x<0x < 0 olduğu için işaret değiştirerek −x-x şeklinde çıkarlar. Tek dereceli kök ise işaretine bakılmaksızın aynen çıkar. Pay kısmında −3x−x−x=−5x-3x - x - x = -5x elde edilir. Paydada ise −x-x elde edilir. Bölme işlemi sonucunda xx'ler sadeleşir ve sonuç 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çift dereceli kökleri mutlak değer içinde, tek dereceli kökleri ise aynen dışarı çıkar.
9x2=∣3x∣ \sqrt{9x^2} = |3x|
(−x)44=∣−x∣ \sqrt[4]{(-x)^4} = |-x|
x2=∣x∣ \sqrt{x^2} = |x|
x33=x \sqrt[3]{x^3} = x
nn çift ise ann=∣a∣\sqrt[n]{a^n} = |a|, nn tek ise ann=a\sqrt[n]{a^n} = a kuralı uygulanır.
2
x<0x < 0 bilgisini kullanarak mutlak değerlerin işaretini belirle ve ifadeleri mutlak değerden kurtar.
xx negatif olduğu için:
∣3x∣=−3x|3x| = -3x (İçerisi negatif, eksi ile çarpılarak çıkar)
∣−x∣=−x|-x| = -x (İçerisi pozitif, aynen çıkar)
∣x∣=−x|x| = -x (İçerisi negatif, eksi ile çarpılarak çıkar)
Mutlak değerin içi negatifse dışarı çıkarken eksi ile çarpılır; pozitifse aynen çıkar. Dikkat: xx negatif olduğu için −x-x pozitiftir.
3
Bulunan değerleri ana ifadede yerine yaz ve sadeleştir.
Pay: (−3x)+(−x)−(x)=−3x−x−x=−5x(-3x) + (-x) - (x) = -3x - x - x = -5x
Payda: −x-x
Sonuç: −5x−x=5\frac{-5x}{-x} = 5
Cebirsel toplama ve bölme işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde dereceye göre dışarı çıkarma kuralı: Çift dereceli kökler mutlak değer ile, tek dereceli kökler aynen çıkar.

İpuçları

1
Köklü ifadenin derecesine dikkat et. Derecesi çift olanlar (2, 4 gibi) kök dışına mutlak değer içinde çıkar.
2
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| kuralını hatırla. xx negatif olduğu için mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirir (∣x∣=−x|x| = -x).
3
Paydadaki x2\sqrt{x^2} yerine −x-x, paydaki 9x2\sqrt{9x^2} yerine −3x-3x yazarak işlemi tekrar et.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizlikler içeren ve kök dışına çıkarma gerektiren benzer sorular çözmelisin.

Alternatif Yöntem

xx yerine negatif bir sayı (örneğin -1) vererek sonucu test edebilirsin. x=−1x=-1 için ifade 9+14−−131=3+1−(−1)1=51=5\frac{\sqrt{9}+\sqrt[4]{1}-\sqrt[3]{-1}}{\sqrt{1}} = \frac{3+1-(-1)}{1} = \frac{5}{1} = 5 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →
10−615−3 \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{\sqrt{15} - 3}

ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 63\frac{\sqrt{6}}{3}

Cevap

I˙s\cleminsonucu63bulunur.İşlemin sonucu \frac{\sqrt{6}}{3} bulunur.
Verilen ifadede pay ve payda ayrı ayrı ortak çarpan parantezine alındığında, sadeleşen bir terim ortaya çıkar. Pay 2\sqrt{2}, payda ise 3\sqrt{3} parantezine alındığında (5−3)(\sqrt{5}-\sqrt{3}) çarpanı ortak olur ve sadeleşir. Geriye kalan 23\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} ifadesi de paydası rasyonel yapılarak 63\frac{\sqrt{6}}{3} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İfadeyi ortak çarpan parantezine almak için köklü sayıları çarpanlarına ayırırız.
Pay: 10−6=2⋅5−2⋅3=2(5−3)\sqrt{10} - \sqrt{6} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})
Her iki terimde de 2\sqrt{2} çarpanı ortaktır.
2
Paydadaki ifadeyi de benzer şekilde ortak çarpan parantezine alırız. Burada 3 sayısını 9\sqrt{9} yani 3⋅3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} olarak düşünmeliyiz.
Payda: 15−3=3⋅5−3⋅3=3(5−3)\sqrt{15} - 3 = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})
Her iki terimde de 3\sqrt{3} çarpanı ortaktır.
3
Elde edilen ifadeleri kesirde yerine yazar ve sadeleştirme yaparız.
2(5−3)3(5−3)=23 \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
(5−3)(\sqrt{5} - \sqrt{3}) çarpanları birbirini götürür.
4
Sonucu şıklardaki formata getirmek için paydayı rasyonel yaparız (eşlenik ile çarparız).
23⋅33=63 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Kesrin payı ve paydası 3\sqrt{3} ile genişletilir.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde ortak çarpan parantezine alma ve paydayı rasyonel yapma.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki ifadeleri doğrudan çıkarmaya çalışmak yerine, sayıları çarpanlarına ayırarak ortak bir kök bulmaya çalışın.
2
10=2⋅5\sqrt{10} = \sqrt{2}\cdot\sqrt{5} ve 15=3⋅5\sqrt{15} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} eşitliklerini kullanın. Ayrıca 3 sayısını da köklü olarak (9\sqrt{9}) düşünebilirsiniz.
3
Payı 2\sqrt{2} parantezine, paydayı ise 3\sqrt{3} parantezine alın. Ortak parantezlerin içi aynı olacaktır.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki 21−76−2\frac{\sqrt{21}-\sqrt{7}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} sorusunu çözerek pekiştirme yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

İçler dışlar çarpımı veya değişken değiştirme yöntemine gerek yoktur, ancak şıklardan giderek yaklaşık değer tahmini (10≈3.16\sqrt{10} \approx 3.16, 6≈2.45\sqrt{6} \approx 2.45 vb.) ile de sağlama yapılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →

x=7+43x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} ve y=23−1y = \frac{2}{\sqrt{3}-1} sayıları veriliyor.

Buna göre, y−xy - x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

-1
İşlem önceliğine uyularak önce iç içe kök dışarı çıkarılır (x=2+3x=2+\sqrt{3}), ardından kesirli ifade eşlenik ile genişletilerek düzenlenir (y=3+1y=\sqrt{3}+1). Son olarak y−xy-x işlemi yapıldığında sonuç -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x sayısındaki iç içe kök ifadesini düzenle.
x=7+2⋅23=7+212x = \sqrt{7 + 2\cdot 2\sqrt{3}} = \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}. Çarpımları 12, toplamları 7 olan sayılar 4 ve 3'tür. O halde x=4+3=2+3x = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} olur.
A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}} kuralını uygulamak için kök içindeki ifadeyi standart forma getirmek gerekir.
2
y sayısının paydasını rasyonel yap.
y=2(3+1)(3−1)(3+1)=2(3+1)3−1=2(3+1)2=3+1y = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3} + 1 olur.
Köklü ifadelerde paydayı kökten kurtarmak için eşlenik ile çarpma işlemi yapılır.
3
y - x farkını hesapla.
y−x=(3+1)−(2+3)=3+1−2−3=1−2=−1y - x = (\sqrt{3} + 1) - (2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 1 - 2 - \sqrt{3} = 1 - 2 = -1.
Bulunan sadeleşmiş değerler yerine yazılarak çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda eşlenik kavramı ve iç içe köklerin ( a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} ) dışarı çıkarılması.
Soru 10Soru →
64+36−64+36 \sqrt{64} + \sqrt{36} - \sqrt{64 + 36}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İşlemin doğru sonucu 4'tür.
Doğru yanıt 4'tür. 64 \sqrt{64} ifadesi 8, 36 \sqrt{36} ifadesi 6 olarak dışarı çıkar. 64+36 \sqrt{64+36} ifadesinde ise önce içerideki toplama yapılarak 100 \sqrt{100} elde edilir ve bu da 10 olarak dışarı çıkar. İşlem 8+6−10=4 8 + 6 - 10 = 4 şeklinde sonuçlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsız köklü ifadelerin değerlerini belirleyin.
64=8 \sqrt{64} = 8 ve 36=6 \sqrt{36} = 6
8'in karesi 64 ve 6'nın karesi 36 olduğu için bu sayılar kök dışına tam sayı olarak çıkar.
2
Kök içindeki toplama işlemini gerçekleştirin.
64+36=100 \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100}
Kök içindeki ifade tek bir terim haline getirilmeden kök dışına çıkarılamaz.
3
Son elde edilen köklü ifadenin değerini bulun.
100=10 \sqrt{100} = 10
10'un karesi 100 olduğu için ifade kök dışına 10 olarak çıkar.
4
Bulunan değerleri ana işlemde yerine koyarak sonucu hesaplayın.
8+6−10=14−10=4 8 + 6 - 10 = 14 - 10 = 4
İşlem önceliğine göre toplama ve çıkarma işlemleri soldan sağa doğru tamamlanır.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde toplama işlemi yapılmadan önce sayılar kök dışına çıkarılmalıdır; kök içindeki ifadeler ise önce toplanıp sonra dışarı çıkarılmalıdır.

İpuçları

1
Her bir tam kare sayıyı (64, 36 ve 100) kök dışına çıkarmayı deneyin.
2
Kök içinde bir toplama varsa (64+36 gibi), önce o toplamayı yapıp sonra kök dışına çıkarmalısınız.
3
64=8 \sqrt{64}=8 , 36=6 \sqrt{36}=6 ve 100=10 \sqrt{100}=10 değerlerini işlemde yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde 144−25+144 \sqrt{144} - \sqrt{25 + 144} işlemini çözerek kök içi işlem önceliğini pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Tam kare sayıları ezbere biliyorsanız, işlemi zihinden 8+6−10 8 + 6 - 10 şeklinde hızlıca yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 11Soru →
36−3−23−1−6 \frac{3}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3} - 1} - \sqrt{6}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −1-1

Cevap

−1-1
Soruda verilen ifadelerin paydalarını rasyonel yapmak için eşlenikleriyle çarptığımızda birinci terim 6+3\sqrt{6} + \sqrt{3}, ikinci terim ise 3+1\sqrt{3} + 1 olarak sadeleşir. Bu ifadeler yerine konulduğunda 6\sqrt{6} ve 3\sqrt{3} terimleri birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca sabit terim olan −1-1 kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terimin paydasını rasyonel yapmak için 6+3\sqrt{6} + \sqrt{3} ile genişletme.
3(6+3)(6−3)(6+3)=3(6+3)6−3=6+3 \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3})} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{3})}{6 - 3} = \sqrt{6} + \sqrt{3}
Paydadaki köklü ifadeyi rasyonel hale getirmek için eşleniği kullanılır.
2
İkinci terimin paydasını rasyonel yapmak için 3+1\sqrt{3} + 1 ile genişletme.
2(3+1)(3−1)(3+1)=2(3+1)3−1=3+1 \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} + 1
Paydadaki irrasyonel ifadeyi rasyonel bir sayıya dönüştürmek gerekir.
3
Bulunan ifadeleri orijinal denklemde yerine yazarak parantezleri açma.
(6+3)−(3+1)−6=6+3−3−1−6 (\sqrt{6} + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} + 1) - \sqrt{6} = \sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1 - \sqrt{6}
Çıkarma işlemi yapılırken parantez içindeki tüm terimlerin işareti değiştirilir.
4
Benzer terimleri sadeleştirme.
−1-1
Zıt işaretli aynı değerdeki köklü ifadeler birbirini sıfırlar.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerde paydayı rasyonel yapmak için eşlenik (conjugate) kullanımı ve işaret yönetimi.

İpuçları

1
Paydada a−b\sqrt{a} - \sqrt{b} formunda bir ifade varsa, kesri rasyonel yapmak için a+b\sqrt{a} + \sqrt{b} ile genişletin.
2
(x−y)(x+y)=x−y(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x - y özdeşliğini her iki kesir için de uygulayın.
3
İkinci kesri sadeleştirdikten sonra önündeki eksi işaretini parantez içindeki hem 3\sqrt{3}'e hem de +1+1'e dağıtmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde paydasında üçlü kök veya iç içe kök bulunan ifadelerin rasyonel yapılmasına yönelik soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →
x=−3x = -\sqrt{3} olduğuna göre,
x2−x33+2(x−1)2 \frac{\sqrt{x^2} - \sqrt[3]{x^3} + 2}{\sqrt{(x - 1)^2}}
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
İşlem yapılırken çift dereceli köklerin (x2 \sqrt{x^2} ve (x−1)2 \sqrt{(x-1)^2} ) mutlak değer olarak, tek dereceli kökün (x33 \sqrt[3]{x^3} ) ise aynen çıktığına dikkat edilmelidir. xx negatif olduğu için ∣x∣=−x|x| = -x ve ∣x−1∣=1−x|x-1| = 1-x olur. Bu düzenlemeler sonucunda pay 2(1−x)2(1-x), payda ise (1−x)(1-x) olur ve sadeleştirme ile sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çift dereceli kökleri mutlak değer içinde, tek dereceli kökleri olduğu gibi çıkar.
∣x∣−x+2∣x−1∣\frac{|x| - x + 2}{|x - 1|}
ann=∣a∣\sqrt[n]{a^n} = |a| (nn çift ise) ve ann=a\sqrt[n]{a^n} = a (nn tek ise) kuralı uygulanır.
2
x=−3x = -\sqrt{3} değeri için mutlak değer içlerinin işaretini belirle.
xx negatiftir, bu yüzden ∣x∣=−x|x| = -x. Ayrıca x≈−1.73x \approx -1.73 olduğundan x−1x - 1 de negatiftir, bu yüzden ∣x−1∣=−(x−1)=1−x|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x.
Mutlak değer içi negatif ise, ifade eksi ile çarpılarak dışarı çıkarılır.
3
İfadeleri yerine yaz ve payı düzenle.
Pay: (−x)−x+2=−2x+2=2(1−x)(-x) - x + 2 = -2x + 2 = 2(1 - x)
Benzer terimler toplanır ve ortak çarpan parantezine alınır.
4
Pay ve paydayı oranlayarak sonucu bul.
2(1−x)1−x=2\frac{2(1 - x)}{1 - x} = 2
x≠1x \neq 1 olduğu için (1−x)(1-x) çarpanları sadeleşir.

Anahtar Kavram

Köklü ifadelerin tanım aralığı ve mutlak değer ilişkisi (x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|)

İpuçları

1
Çift dereceli kökler dışarı çıkarken mutlak değer alınır (a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|), tek dereceli kökler ise aynen çıkar.
2
x=−3x = -\sqrt{3} değeri negatiftir. Bu durumda ∣x∣|x| ifadesi −x-x olur. Ayrıca x−1x-1 ifadesinin işareti de negatiftir.
3
Paydayı ∣x−1∣=−(x−1)=1−x|x-1| = -(x-1) = 1-x olarak yazın. Pay kısmında ise −x−x+2-x - x + 2 işlemini yapıp sadeleştirme fırsatını görün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla (−x)44−−x33\sqrt[4]{(-x)^4} - \sqrt[3]{-x^3} ifadesinin x<0x < 0 için değerini soran bir soru çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →

a<b<0a < b < 0 olmak üzere,

a2+2ab+b2∣a+b∣+a2−2ab+b2a2−b \frac{\sqrt{a^2 + 2ab + b^2}}{|a+b|} + \frac{\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}}{\sqrt{a^2} - b}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2aa+b\frac{2a}{a+b}

Cevap

İfadenin sadeleşmiş hali 2aa+b\frac{2a}{a+b} şeklindedir.
Çift dereceli köklerin dışarıya mutlak değer olarak çıkması kuralı (x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|) ve verilen a<b<0a < b < 0 koşuluna göre işaret incelemesi doğru yapıldığında; birinci terim 1, ikinci terim ise b−a−(a+b)\frac{b-a}{-(a+b)} olarak bulunur. Bu ifadelerin toplamı 2aa+b\frac{2a}{a+b} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içindeki ifadeleri tam kare özdeşlikleri olarak yaz ve kök dışına mutlak değerle çıkar.
(a+b)2∣a+b∣+(a−b)2∣a∣−b=∣a+b∣∣a+b∣+∣a−b∣∣a∣−b\frac{\sqrt{(a+b)^2}}{|a+b|} + \frac{\sqrt{(a-b)^2}}{|a| - b} = \frac{|a+b|}{|a+b|} + \frac{|a-b|}{|a| - b}
Çift dereceli kökler dışarıya mutlak değer içinde çıkar: x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|.
2
a<b<0a < b < 0 eşitsizliğine göre mutlak değer içlerinin işaretini belirle.
aa ve bb negatif olduğu için a+b<0a+b < 0 olur. a<ba < b olduğu için (küçükten büyük çıktığı için) a−b<0a-b < 0 olur. a<0a < 0 olduğu için ∣a∣=−a|a| = -a olur.
Mutlak değerin içi negatifse, ifade eksi ile çarpılarak dışarı çıkar.
3
Mutlak değerleri kaldırarak ifadeyi yeniden yaz.
Birinci terim: −(a+b)−(a+b)=1\frac{-(a+b)}{-(a+b)} = 1.
İkinci terim: Pay ∣a−b∣=−(a−b)=b−a|a-b| = -(a-b) = b-a. Payda ∣a∣−b=−a−b=−(a+b)|a| - b = -a - b = -(a+b).
İfade: 1+b−a−(a+b)1 + \frac{b-a}{-(a+b)}
İşaret incelemesine göre ifadeler düzenlendi.
4
Kesirleri topla ve sonucu sadeleştir.
1−b−aa+b=a+ba+b−b−aa+b=(a+b)−(b−a)a+b=a+b−b+aa+b=2aa+b1 - \frac{b-a}{a+b} = \frac{a+b}{a+b} - \frac{b-a}{a+b} = \frac{(a+b) - (b-a)}{a+b} = \frac{a+b-b+a}{a+b} = \frac{2a}{a+b}
Payda eşitleme ve çıkarma işlemi yapıldı.

Anahtar Kavram

Mutlak Değer ve Köklü İfadeler İlişkisi

İpuçları

1
Çift dereceli köklerin içindeki tam kare ifadeler kök dışına çıkarılırken mutlak değer içinde yazılmalıdır: x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|.
2
a<b<0a < b < 0 eşitsizliğine göre, mutlak değer içindeki (a−b)(a-b) ifadesinin işareti negatiftir (küçük sayıdan büyük sayı çıktığı için).
3
İkinci kesrin paydasındaki a2\sqrt{a^2} ifadesi ∣a∣|a| olur. aa negatif olduğu için bu ifade −a-a olarak dışarı çıkar.

Alternatif Yöntem

Sayı vererek kontrol etme (Değer Verme Yöntemi): a=−2a=-2 ve b=−1b=-1 seçilirse ifade 9∣−3∣+14−(−1)=1+12+1=1+13=43\frac{\sqrt{9}}{|-3|} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}-(-1)} = 1 + \frac{1}{2+1} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} olur. Şıklarda a=−2,b=−1a=-2, b=-1 yazıldığında 2aa+b=−4−3=43\frac{2a}{a+b} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} sonucunu veren tek şık bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →

Sayı doğrusu üzerinde 12\sqrt{12} noktasına olan uzaklığı 27\sqrt{27} birim olan gerçel sayıların çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

-15
Sayı doğrusunda 12\sqrt{12} (232\sqrt{3}) noktasına 27\sqrt{27} (333\sqrt{3}) uzaklıktaki noktalar, merkezin sağında ve solunda yer alır. Sağdaki nokta 23+33=532\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}, soldaki nokta 23−33=−32\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -\sqrt{3}'tür. Bu iki değerin çarpımı (53)(−3)=−5(3)=−15(5\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = -5(3) = -15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen köklü ifadeleri aba\sqrt{b} biçiminde en sade hale getir.
12=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} ve 27=9⋅3=33\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}
İşlemleri daha kolay yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir.
2
Uzaklık kavramını mutlak değer denklemi olarak ifade et.
∣x−23∣=33|x - 2\sqrt{3}| = 3\sqrt{3}
Sayı doğrusunda aa noktasına uzaklığı dd olan noktalar ∣x−a∣=d|x - a| = d denklemi ile bulunur.
3
Mutlak değer denklemini iki durum için çöz.
Durum 1: x−23=33⇒x1=53x - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \Rightarrow x_1 = 5\sqrt{3}
Durum 2: x−23=−33⇒x2=−3x - 2\sqrt{3} = -3\sqrt{3} \Rightarrow x_2 = -\sqrt{3}
Mutlak değer içi pozitif veya negatif olabilir.
4
Bulunan değerleri çarp.
(53)⋅(−3)=−5⋅(3⋅3)=−5⋅3=−15(5\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3}) = -5 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = -5 \cdot 3 = -15
Soruda bu değerlerin çarpımı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusunda uzaklık kavramı mutlak değerle ifade edilir: ∣x−a∣=d|x - a| = d. Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için kök içlerinin aynı olması gerekir.

İpuçları

1
Köklü ifadeleri aba\sqrt{b} formuna getirerek işlem yapmayı dene. (12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3})
2
Bir AA noktasına uzaklığı dd olan noktalar A+dA+d ve A−dA-d olarak bulunur.
3
Bulacağın noktalar 23+332\sqrt{3} + 3\sqrt{3} ve 23−332\sqrt{3} - 3\sqrt{3} olacaktır. Bu iki değeri çarparken işaretlere dikkat et.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 15Soru →
10−15+52−3+5−20−45−2 \frac{\sqrt{10} - \sqrt{15} + 5}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{20} - 4}{\sqrt{5} - 2}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5−2 \sqrt{5} - 2

Cevap

5−2 \sqrt{5} - 2
Verilen işlemde her iki kesir de rasyonel yapma (eşlenik alma) yöntemi yerine, pay kısımlarının çarpanlara ayrılmasıyla çok daha hızlı çözülebilir. İlk kesirde pay 5\sqrt{5} parantezine alındığında payda ile aynı ifade elde edilir ve sonuç 5\sqrt{5} olur. İkinci kesirde pay 2 parantezine alındığında payda ile sadeleşir ve sonuç 2 olur. İşlem 5−2\sqrt{5} - 2 olarak sonuçlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci kesrin payındaki ifadeyi 5\sqrt{5} parantezine al.
10−15+5=5(2−3+5) \sqrt{10} - \sqrt{15} + 5 = \sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})
Payda ile sadeleştirme yapabilmek için ortak çarpan parantezine alma yöntemi uygulanır.
2
Birinci kesri sadeleştir.
5(2−3+5)2−3+5=5 \frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})}{\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}} = \sqrt{5}
Parantez içindeki ifadeler aynı olduğu için birbirini götürür.
3
İkinci kesrin payındaki ifadeyi düzenle ve sadeleştir.
20−45−2=25−45−2=2(5−2)5−2=2 \frac{\sqrt{20} - 4}{\sqrt{5} - 2} = \frac{2\sqrt{5} - 4}{\sqrt{5} - 2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{\sqrt{5} - 2} = 2
20=25 \sqrt{20} = 2\sqrt{5} olduğu için ifade 2 parantezine alınarak payda ile sadeleştirilebilir.
4
Elde edilen sonuçları birbirinden çıkar.
5−2 \sqrt{5} - 2
Soruda istenen ana işlem çıkarma işlemidir.

Anahtar Kavram

Köklü İfadelerde Çarpanlara Ayırma ve Sadeleştirme

İpuçları

1
Kesirlerin paydalarını eşlenikle çarpmadan önce, pay kısımlarını çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
Birinci kesrin payında 10,15 \sqrt{10}, \sqrt{15} ve 5 5 sayıları var. Bunların hepsinin ortak bir köklü çarpanı var mı?

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki 6−3+152−1+5 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{15}}{\sqrt{2}-1+\sqrt{5}} ifadesini sadeleştiriniz.

Alternatif Yöntem

Eğer çarpanlara ayırma görülmezse, ikinci ifade için 5−2\sqrt{5}-2 ile genişletme yapılabilir ancak birinci ifade için bu yöntem çok zaman alır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 16Soru →
12−85−24+143+23+1 \frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{\sqrt{5 - \sqrt{24}}} + \frac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 23+1\sqrt[3]{2} + 1

Cevap

İşlemin sonucu küp kök 2 artı 1'dir.
Verilen soruda birinci terim sadeleştirildiğinde rasyonel bir sayı olan 2 elde edilir. İkinci terim ise küp farkı özdeşliği yardımıyla rasyonel hale getirildiğinde küp kök 2 eksi 1 sonucuna ulaşılır. Bu iki ifadenin toplamı olan küp kök 2 artı 1, ifadenin en sade halidir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci terimi sadeleştirmek için iç içe kök kuralını uygulayın.
5−24=5−26\sqrt{5 - \sqrt{24}} = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} ifadesinde çarpımları 6, toplamları 5 olan sayılar 3 ve 2'dir. Dolayısıyla 5−26=3−2\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} olur.
İç içe köklerde a±2b\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} formu, çarpanlara ayırma yöntemiyle sadeleştirilebilir.
2
Birinci terimin pay ve paydasını düzenleyerek bölme işlemini yapın.
12−83−2=23−223−2=2(3−2)3−2=2\frac{\sqrt{12} - \sqrt{8}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = 2
Pay kısmındaki ifadeler ortak paranteze alınarak payda ile sadeleştirilir.
3
İkinci terimin paydasını rasyonel yapmak için küp farkı özdeşliğini kullanın.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) özdeşliğinde a=23a = \sqrt[3]{2} ve b=1b = 1 alınırsa, ifadeyi (23−1)(\sqrt[3]{2} - 1) ile genişletiriz: 23−1(23)3−13=23−12−1=23−1\frac{\sqrt[3]{2} - 1}{(\sqrt[3]{2})^3 - 1^3} = \frac{\sqrt[3]{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt[3]{2} - 1
Küp köklü ifadelerde payda rasyonel yapılırken uygun küp özdeşliği seçilmelidir.
4
İki terimin sonuçlarını toplayın.
2+(23−1)=23+12 + (\sqrt[3]{2} - 1) = \sqrt[3]{2} + 1
Sadeleştirilmiş rasyonel ve köklü ifadeler toplanarak en sade hale getirilir.

Anahtar Kavram

İç içe köklerin sadeleştirilmesi ve küp köklü ifadelerde paydanın rasyonel yapılması.

Alternatif Yöntem

İkinci terimde paydanın rasyonelleştirilmesi yerine, ifadenin genel yapısı incelendiğinde terimlerin yaklaşık değerleri üzerinden seçenek eleme yöntemi de kullanılabilir, ancak bu yöntem kesin sonuç için güvenli değildir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 17Soru →
10+152+3+2+6 \frac{\sqrt{10} + \sqrt{15}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6}}

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5}

Cevap

Verilen işlemin sonucu 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5} olarak bulunur.
Verilen ifade pay ve payda kısımlarında ortak çarpanlara ayrıldığında (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) terimleri sadeleşir. Elde edilen 52+1\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1} ifadesi, paydanın eşleniği olan (2−1)(\sqrt{2} - 1) ile genişletildiğinde sonuç 10−5\sqrt{10} - \sqrt{5} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki ifadeyi ortak çarpan parantezine alın.
10+15=5(2+3)\sqrt{10} + \sqrt{15} = \sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})
Her iki terimde de ortak olan 5\sqrt{5} çarpanı belirlenerek ifade sadeleştirilmeye hazır hale getirilir.
2
Payda kısmındaki ifadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.
2+3+2+6=(2+3)+(2⋅2+2⋅3)=(2+3)+2(2+3)=(1+2)(2+3)\sqrt{2} + \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})
2=222 = \sqrt{2}^2 ve 6=23\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3} dönüşümleri yapılarak paydadaki terimler ortak paranteze alınır.
3
Pay ve paydadaki ortak (2+3)(\sqrt{2} + \sqrt{3}) terimlerini sadeleştirin.
5(2+3)(1+2)(2+3)=51+2\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}}{1 + \sqrt{2}}
Çarpım durumunda olan aynı ifadeler sadeleşerek ifadenin daha basit bir hal almasını sağlar.
4
Paydayı rasyonel yapmak için ifadeyi paydanın eşleniği olan (2−1)(\sqrt{2} - 1) ile çarpın.
5(2−1)(1+2)(2−1)=10−52−1=10−5\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2 - 1} = \sqrt{10} - \sqrt{5}
Paydada köklü ifade bırakmamak için eşlenik çarpımı yapılarak payda rasyonel bir sayıya (1) dönüştürülür.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda gruplandırma yaparak çarpanlara ayırma ve paydayı eşlenik yardımıyla rasyonel hale getirme.

İpuçları

1
Pay ve paydadaki terimleri daha küçük köklü çarpanlara ayırmayı deneyin.
2
Paydada bulunan 2+62 + \sqrt{6} kısmını 2(2+3)\sqrt{2}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) şeklinde yazarak ortak çarpan oluşturabilirsiniz.
3
Gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra paydada kalan köklü ifadeyi rasyonel yapmak için eşleniği ile genişletin.

Daha Fazla Pratik

Gruplandırma yöntemi ve eşlenik çarpımını bir arada kullanan karmaşık köklü sayı soruları ile pratiğinizi artırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 40s
Soru 18Soru →

a<0<ba < 0 < b olmak üzere,

a2+a2−2ab+b2+ba33−b \frac{\sqrt{a^2} + \sqrt{a^2 - 2ab + b^2} + b}{\sqrt[3]{a^3} - b}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

İfadenin sadeleşmiş biçimi -2 değerine eşittir.
Verilen eşitsizlik (a<0<ba < 0 < b) kullanılarak kök dışına çıkarma işlemi yapılmalıdır. a2=−a\sqrt{a^2} = -a, (a−b)2=b−a\sqrt{(a-b)^2} = b-a ve a33=a\sqrt[3]{a^3} = a olarak bulunur. Yerine yazıldığında pay 2(b−a)2(b-a), payda ise a−ba-b olur. Bu terimler sadeleştiğinde sonuç -2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini belirle.
a<0a < 0 olduğu için aa negatif, b>0b > 0 olduğu için bb pozitiftir.
Mutlak değer dışına çıkarma işlemi için işaretlerin bilinmesi gerekir.
2
Pay kısmındaki köklü ifadeleri mutlak değer kuralına göre dışarı çıkar.
a2=∣a∣=−a\sqrt{a^2} = |a| = -a (Çünkü a<0a < 0)
a2−2ab+b2=(a−b)2=∣a−b∣\sqrt{a^2 - 2ab + b^2} = \sqrt{(a-b)^2} = |a-b|.
a<ba < b olduğundan a−b<0a-b < 0 olur, bu yüzden ∣a−b∣=−(a−b)=b−a|a-b| = -(a-b) = b-a.
Çift dereceli kökler mutlak değer içinde çıkar: x2n2n=∣x∣\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|.
3
Paydadaki tek dereceli kökü dışarı çıkar.
a33=a\sqrt[3]{a^3} = a.
Tek dereceli köklerde mutlak değer kullanılmaz, sayı işaretini koruyarak çıkar: x2n+12n+1=x\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x.
4
Bulunan değerleri yerine yaz ve ifadeyi düzenle.
Pay: (−a)+(b−a)+b=−2a+2b=2(b−a)(-a) + (b-a) + b = -2a + 2b = 2(b-a).
Payda: a−ba - b.
Cebirsel toplama işlemi yapılır.
5
Kesri sadeleştir.
2(b−a)a−b=2(b−a)−(b−a)=−2\frac{2(b-a)}{a-b} = \frac{2(b-a)}{-(b-a)} = -2
a−ba-b ifadesi −(b−a)-(b-a) ifadesine eşittir, sadeleşince -1 çarpanı gelir.

Anahtar Kavram

Köklü sayılarda çift dereceli köklerin mutlak değer olarak, tek dereceli köklerin ise aynen dışarı çıkması kuralı.

İpuçları

1
Çift dereceli köklerin dışarı mutlak değer içinde çıktığını (x2=∣x∣ \sqrt{x^2} = |x| ) hatırlayınız.
2
a<ba < b olduğu için (a−b)(a-b) ifadesinin işareti negatiftir. Mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirmelidir.
3
Pay kısmını düzenlediğinizde 2(b−a)2(b-a) ifadesini bulmalısınız. Payda ise a−ba-b olur. Bu iki ifade birbirinin ters işaretlisidir.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi (sadece test tekniği olarak): a=−1a=-1 ve b=2b=2 vererek sonucu kontrol edebilirsiniz. Pay: 1+9+2=1+3+2=6\sqrt{1} + \sqrt{9} + 2 = 1+3+2=6. Payda: −13−2=−1−2=−3\sqrt[3]{-1} - 2 = -1-2=-3. Sonuç: 6/(−3)=−26/(-3) = -2.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →
3,61−1,210,04+0,0083 \frac{\sqrt{3,61} - \sqrt{1,21}}{\sqrt{0,04} + \sqrt[3]{0,008}}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen işlemde ondalık sayıların karekökleri ve küpkökü doğru hesaplanarak kesir sadeleştirildiğinde sonuç 2 bulunur. Özellikle 3,61=1,9\sqrt{3,61}=1,9 ve 0,0083=0,2\sqrt[3]{0,008}=0,2 dönüşümlerine dikkat edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içindeki ondalık sayıları rasyonel sayıya veya kök dışına çıkabilen ondalık forma dönüştür.
3,61=361100=1910=1,9\sqrt{3,61} = \sqrt{\frac{361}{100}} = \frac{19}{10} = 1,9 ve 1,21=121100=1110=1,1\sqrt{1,21} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1,1
Ondalık sayıların karekökünü almak için kesirli ifadeye çevirmek işlemi kolaylaştırır.
2
Paydadaki köklü ifadeleri hesapla.
0,04=0,2\sqrt{0,04} = 0,2 ve 0,0083=0,2\sqrt[3]{0,008} = 0,2
0,2×0,2=0,040,2 \times 0,2 = 0,04 ve 0,2×0,2×0,2=0,0080,2 \times 0,2 \times 0,2 = 0,008 olduğu için.
3
Pay ve paydadaki toplama/çıkarma işlemlerini yap.
Pay: 1,9−1,1=0,81,9 - 1,1 = 0,8; Payda: 0,2+0,2=0,40,2 + 0,2 = 0,4
Bulunan kök dışı değerleri yerine koyarak kesri sadeleştir.
4
Son bölme işlemini gerçekleştir.
0,80,4=2\frac{0,8}{0,4} = 2
Ondalık kesirlerde bölme işlemi.

Anahtar Kavram

Ondalık İfadelerin Kök Dışına Çıkarılması

İpuçları

1
Ondalık sayıları kesirli sayıya çevirerek kök dışına çıkarmayı deneyin (Örn: 3,61=3611003,61 = \frac{361}{100}).
2
361 sayısı 19'un karesidir; 121 sayısı 11'in karesidir.
3
Pay: 1,9−1,11,9 - 1,1. Payda: 0,2+0,20,2 + 0,2. Bu değerleri hesaplayıp oranlayın.

Alternatif Yöntem

Virgülleri en baştan yok sayıp sayıları kök dışına çıkarıp (361=19\sqrt{361}=19 vb.), sonradan virgülden sonraki basamak kuralına göre (karekök için 2->1, küpkök için 3->1) virgülleri yerleştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 20Soru →
10+68+60−2\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{\sqrt{8 + \sqrt{60}}} - \sqrt{2}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

İşlemin sonucu 0'dır.
Soru, iç içe kökler (A±2B\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}) kuralının ve köklü sayılarda ortak çarpan parantezine alma yönteminin bir arada kullanılmasını gerektirir. Paydadaki ifade 5+3\sqrt{5}+\sqrt{3} olarak dışarı çıkar. Pay ise 2\sqrt{2} parantezine alındığında 2(5+3)\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3}) olur. Sadeleştirme sonucu elde edilen 2\sqrt{2} değerinden, sorudaki 2\sqrt{2} çıkarıldığında sonuç 0 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki 8+60\sqrt{8 + \sqrt{60}} ifadesini düzenle.
8+215\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}
A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}} kuralını uygulayabilmek için 60\sqrt{60} ifadesi 2152\sqrt{15} şeklinde yazılmalıdır.
2
Kök dışına çıkarma kuralını uygula.
5+3\sqrt{5} + \sqrt{3}
Çarpımları 15 (5×35 \times 3), toplamları 8 (5+35 + 3) olan sayılar 5 ve 3'tür. Bu durumda ifade 5+3\sqrt{5} + \sqrt{3} olarak kök dışına çıkar.
3
Pay kısmındaki 10+6\sqrt{10} + \sqrt{6} ifadesini ortak çarpan parantezine al.
2(5+3)\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})
Sadeleştirme yapabilmek için pay, payda ile benzer terimler içerecek şekilde çarpanlarına ayrılır.
4
Kesirli ifadeyi sadeleştir ve çıkarma işlemini yap.
2(5+3)5+3−2=2−2=0\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0
Pay ve paydadaki (5+3)(\sqrt{5} + \sqrt{3}) terimleri birbirini götürür, geriye kalan 2\sqrt{2}'den 2\sqrt{2} çıkarılır.

Anahtar Kavram

İç İçe Kökler Kuralı

İpuçları

1
Paydadaki 8+60\sqrt{8 + \sqrt{60}} ifadesini A+2B\sqrt{A + 2\sqrt{B}} formatına benzetmeye çalışın.
2
60=4×15=215\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} dönüşümünü yapın ve çarpımları 15, toplamları 8 olan iki sayıyı düşünün.
3
Pay kısmındaki 10+6\sqrt{10} + \sqrt{6} ifadesini 2\sqrt{2} ortak parantezine alırsanız, payda ile sadeleşecek bir terim elde edersiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıdaki 7−24\sqrt{7 - \sqrt{24}} gibi ifadelerin sadeleştirilmesi üzerine pratik yapın.

Alternatif Yöntem

Paydadaki ifadenin karesini alıp sonra karekökünü tekrar alarak da ( (x+y)2=x+y+2xy \,(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+y+2\sqrt{xy}\, özdeşliğinden faydalanarak) 5+3\sqrt{5}+\sqrt{3} olduğu görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki